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分式的乘除(新人教版)

发布时间:2013-12-09 16:30:34  

[问题1]:一个长方体容器的容积为V,底面的
m 长为a,宽为b,当容器的水占容积的 时,求 n

水面高度为多少?
分析:长方体容器的高为

v ab
.

;

水高为

v m ? ab n

分式乘法

[问题2]:大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕 地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作
a 分析:大拖拉机的工作效率是 m
小拖拉机的工作效率是

效率的多少倍?

公顷/天,

b n

公顷/天,

a b ? 大拖拉机的工作效率是小拖拉机的 m n 倍.

分式除法

1.根据分数的乘除法的法则计算: 2 ? 5 ? 2 ? 5 2 4 (2)2 ? 4 ? 2?4 计算: (1) 3 5 3?53 5 3 4 3 ? 4 a d a ? d ad bc b d b c ? ? ? ? ? ? ? a c b?c a d b c ad bc

复习回顾?

? ?

【分数的乘除法法则 】
两个分数相乘, 把分子 相乘的积作为积的分子, 把分母相乘的积作为积的 分母. 两个分数相除, 把除式 的分子分母颠倒位置后, 再与被除式相乘.

【分式的乘除法法则 】 两个分式相乘, 把分子 相乘的积作为积的分子, 把分母相乘的积作为积的 分母. 两个分式相除, 把除式 的分子分母颠倒位置后, 再与被除式相乘.

例1:

计算

4x y (1)    ? 3 3y 2x
ab ? 5a b ( )   2 ? 2 4cd 2c 2 3b ( )   ? ? 3 2ab ( ) a
3 2 2

[注意]:运算结果如不是最简分式时,一定
要进行约分,使运算结果化为最简分式.

巩固练习:

计算

3a 16b 12 xy 2 ()  ? 2      (2)  ? 8 x y 1 4b 9a 5a 2 2y x? y x? y (3) 3 xy ? ?     (4)  ? 3x x? y x? y

想一想
下面的计算对吗?如果不对,应该怎样改正?

? x 6b 3xb ()  ? 2 ? 2 1 2b x x b

? x 6b 3 ? 2 ?? 2b x x

4x a 2 ( )  ? 2 ? 3a 2x 3

4x a 4x 2x 4x ? ? ? ? 2 3a 2x 3a a 3a

2

例2:

计算
2

a ? 4a ? 4 a ? 1 ()   1 ? 2 2 a ? 2a ? 1 a ? 4

1 1 ( )   2 ? 2 2 49 ? m m ? 7m
m 2 ? 16 2 ( )   3 ? m ? 4m 12 ? 3m

?

?

[解题技巧] (1)分式的分子,分母都是多项式的
分式除法先转化为乘法,然后把多项式进行因式分解, 最后约分,化为最简分式. (2)如果除式是整式,则把它的分母看做”1”.

巩固练习:

计算
2 3

3a ? 3b 25a b ()  1 ? 2 2 10ab a ?b 2 2 x ? 4y x ? 2y ( )  2 ? 2 2 2 x ? 2xy ? y 2x ? 2xy

4 x ? 4 xy ? y 2 2 ( 3)   ? (4 x ? y ) 2x ? y
2 2

例3: “丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形 减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分,“丰 收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)米的正方形,两块 试验田的小麦都收获了500千克. (1)哪种小麦的单位面积产量高? (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?

丰收1号

丰收2号

丰收1号

丰收2号
2

解:“丰收1号”小麦试验田面积为 ? 1

(a ) “丰收2号”小麦试验田面积为 a ? 1 2 ( )
500 单位面积产量是 千克/米2 (a ? 1 2 )

米 2;

500 单位面积产量是 2 千克/米2; a ?1

米 2;

∵a2-1>(a-1)2>0 ∴“丰收2号”小麦单位面积产量高。

例4:计算

2x 3 x ? ? 2 5 x ? 3 25 x ? 9 5 x ? 3

1 2 (1) a ? b ? ? a b 3y y 3y ( 2) ? (4 x ? )? ?y x 4x x 2 1? x x?2 ? ( x ? 1) ? 2.计算 x 2 ? 4 x ? 4 x ?1
2

1.判断正误:

仔细观察上面的式子,能根据有理数 乘除运算顺序进行计算吗?试试看吧!

x?3 x?2 D 3、 使代数式 ? 有意义的 的值( ) x x?3 x?4

A.x≠3且x≠-2 C.x≠3且x≠-3
2

B.x≠3且x≠4 D.x≠-2且x≠3且x≠4
2

a ? 2a a ?4 4、 计算: 2 ? 2 a ? 6a ? 9 a ? 3a

例5.计算:
16 ? a a?4 a?2 ? ? 2 a ? 8a ? 16 2a ? 8 a ? 2
2

1、分式混合运算一定要按照运算顺序。 2、乘除混合运算统一为乘法运算。



3a ? 3b a ?b 2 ? 8a b ? 4ab 2a
2

2



2m n 5p q 5mnp ? ? 2 3q 3pq 4mn

2

2

(3)

a?b 1   ? ?a ?b a?b a?b

.

1.

a a 表示什么? n表示什么? m n n n n mn (ab) ? a b (a ) ? a
n中的 可以是数,也可以是整式,那

n 是什么意思?

a a a 可不可以是一个分式呢?即两个整式的商
的次

n方?



a n ( ) ?? b

动脑筋
填一填:

a a ? a ?; ?a? ? ? ? ? b ?? ? b ? ? 2 ?b ? ?b?
2

2

?a? ? ? ?? ?b?
4

3

a a a ?? ? ?? ? ? ? b b b

? a ?;    ? b 3?   
3
4

? a ? ;? ?a? a a a a ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? 4 b b b b ?b ? ?b?
猜想

?a ? . ?a? ? ? ? n ?b ? ?b?
n

n

分式的乘方法则:
n 即: ? a ? ?     ? ? (n是正整数) n     ?b? ? b 2 2 2 例题2: ( 3x ) 3 x 3x
n

a

(1) (

2y

)

2

?

(2y )

2

?

2 y

2

2

9x ? 2 4y
3 3

2

ab 3 (ab) a b ab 3 ?? 3 ( 2) ( ? ) ? ? ( ) ? ? 3 2c ( 2c) 8c 2c
xy ( xy ) 3 ( 3) ( ) ? 3 x?y (x ? y )
3

3

x y ? 3 (x ? y )

3

3

例3:计算

? ? 2a b ? ? ? (1)    ? 3c ? ? ?
2

2

? a b ? 2a ? c ? ? ? ? 3 ?? ? ( 2)   ? 2a ? ? cd 3 ? d ? ? ? ?
2

3

2

? 2x y 2 (1)( ) 3z 2ab3 2 6a 4 ? 3c 3 ( 2)   2 ) ? 3 ? ( 2 ) ( ?c d b b 2 x ?1 2 x ? 6x ? 9 2 1 ( 3)( ) ?( ) ? 2 2 3? x 9? x x ? 2x ? 1
4 2

3a y 2 4mn 3 ( 4) ( ) ?( ) 3 2 2mn 3m n
? ? ?a ?x a x ?5??? ?? 2? ? a2 ? 3?a ? x ? ? ?
7 2 2 2 2

2

2

? ?a ? ?? ? ? ?

4

2

? x ? a ??
2

3

? . ?

例4:先化简,再求值。

x ?y 2 ? x ? y 3? x ( ) ? ?( x ? y ) ? ( ) ?? 2 xy x ? ? y 其中x ? 21, y ? 14
2 2

例5 一个长、宽、高分别为l,b,h的长方形纸箱装满 了一层高为h的圆柱

形易拉罐(如图).求纸箱空间的 利用率(易拉罐总体积与纸箱容积的比,结果精确到 1%). 解 设易拉罐的底面半径为r由题意得,易拉罐的总数为
l b lb (个) ? ? 2 2r 2r 4r

由于纸箱的高度与易拉罐的高度相等,因此易拉罐 所占空间的总体积与纸箱的容积之比为 lb lb ? ?r 2 ? h ? ? ? ? ?r 2 ? h ? ? ?lb ? h ? ? ? ? 79 % ? 2 2 4r ? lb ? h 4 ? 4r ?
l
r

答:纸箱空间的利用率约
b 为79%.

练习. 老师布置一道作业:计算

x ?x x ?1 1 ? ? ? x的值 2 3 x ? 2 x ? 1 ( x ? 1) 1 ? x
2

其中x=2007,但小明在计算时,把2007错抄成 x=207,可是计算结果还是正确的,请你分析这 是什么原因?

例: 已知a ? 3a ? 1 ? 0, 求:
2

1 (1) a ? a

1 ( 2)a ? 2 a
2

1 ( 3) a ? 4 a
4

1 a ? a ?1 例: 已知a ? ? 5, 求 的值。 2 a a
4 2

1 1 例: 已 知 ? ? 5, x y 2 x ? 3 xy ? 2 y    求 的 值。 x ? 2 xy ? y

x 2 例: 已 知 ? , y 7 x ? 3 xy ? 2 y    求 2 的 值。 2 2 x ? 3 xy ? 7 y
2 2

例: 已知x ? y ? 4 xy, 2 x ? 3 xy ? 2 y    求 的值。 x ? 2 xy ? y
例: 已 知x ? y ? 4 x ? 6 y ? 13 ? 0,
2 2

y 3 1 4 x 2    求( ? 3 ) ? ( ? ) ? ( 2 ) 的 值。 x xy y

已知

x : y : z ? 2 : 3: 4
x ?y ?z 2 2 2 2x ? y ? z
2 2 2

则分式

的值.

已知

2 x ? 3 y ? z ? 0,3x ? 2 y ? 6 z ? 0, z ? 0

则分式

x ?y ?z 2 2 2 2x ? y ? z
2 2 2

的值.


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