haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

用待定系数法求二次函数的解析式

发布时间:2013-12-10 09:01:45  

毕达哥拉斯说: “数支配着宇宙”

二次函数

y ? ax ? bx ? c
2

b 对称轴公式:直线 x ? ? 2a 2 b 4ac ? b 顶点公式: (? , ) 2a 4a

a b c 2a+b 2a-b b2-4ac a+b+c a-b+c
4a+2b+c 4a-2b+c

开口方向 大小 向上a>0 向下a<o 对称轴与y轴比较 左侧ab同号 右侧ab异号

与y轴交点 交于上半轴c>o 下半轴c<0

-

与1比较 b 2a b 与-1比较

2a
与x轴交点个数 令x=1,看纵坐标 令x=-1,看纵坐标 令x=2,看纵坐标 令x=-2,看纵坐标

用待定系数法 求二次函数的解析式

1.求一次函数解析式的方法是什么?

待定系数法

2. 二次函数的一般形式是什么?它有几个待定系数? y=ax2+bx+c(a≠0),有3个待定系数a、b、c 3. 二次函数的顶点式是什么?它有几个待定系数? y=a(x+h)2+k (a≠0),有3个待定系数a、h、k 4 、二次函数的交点式:y=a(x-x1)(x-x2), 其中x1 ,x2 为两交点的横坐标 它有3个待定系数 a、 x1 、x2

今天学习用待定系数法求二次函数的解析式

一、设 二、代 三、解 四、还原

方 法 小 结
用待定系数法确定函数解析 式的基本方法分四步完成: 一设、二代、三解、四还原

一设:指先设出函数的解析式 二代:指根据题中所给条件,代入函数解 析式,得到关于待定系数的方程组 三解:指解此方程或方程组

四还原:指将求出的待定系数还原回原解析式中

1、已知抛物线y=ax2+bx+c 0 当x=1时,y=0,则a+b+c=_____

0 当x=-1时,y=0,则a-b=c=_________
a-b+c=0 经过点(-1,0),则___________ c=-3 经过点(0,-3),则___________

16a+4b+c=5 经过点(4,5),则___________
? b 对称轴为直线x=1,则___________ 2 a =1

2、已知抛物线y=a(x+h)2+k 3 4 顶点坐标是(-3,4), 则h=_____,k=______, a(x+3)2+4 代入得y=______________ h=1 对称轴为直线x=1,则___________

a(x-1)2+k 代入得y=______________

例1 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)、
(2,7)三点,求这个函数的解析式 解:设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c

a-b+c=10 由条件得: a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程组得: a=2, b=-3, c=5 因此:所求二次函数是: y=2x2-3x+5

已知抛物线上任意三点时, 通常设为一般式

待定系数法

练习:已知关于x的二次函数,当x=-1时,函数值为10,当x=1时, 函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.

解:设所求的二次函数为y ? ax2 ? bx ? c,由题意得:



a ? b ? c ? 10 a?b?c ? 4

解得,a ? 2, b ? ?3, c ? 5 ?所求的二次函数是y ? 2 x 2 ? 3x ? 5

4a ? 2b ? c ? 7

例2:已知抛物线的顶点是(1,2)且过点(2,3),求 出对应的二次函数解析式 解:设所求的二次函数为y=a(x+h)2+k 已知抛物线的顶点与 抛物线上另一点时, ∵顶点是(1,2) 通常设为顶点式 2+2, ∴y=a(x-1) 又

过点(2,3) ∴a(2-1)2+2=3,∴a=1 ∴ y=(x-1)2+2,即y=x2-2x+3
练习: 已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3 时有最大值4,求出对应的二次函数解析式;

y=-7(x-3)2+4 也就y=-7x2+42x-59

已知条件中的当x=3时有最大值4 也就是抛物线的顶点坐标为(3,4), 所以设为顶点式较方便

例3:已知抛物线与x轴两交点横坐标为1,3且图像过(0, -3),求出对应的二次函数解析式。
解:设所求的二次函数为y=a(x-x1)(x-x2) 由抛物线与x轴两交点横坐标为1,3, ∴y=a(x-1)(x-3), 又过(0,-3), ∴ a(0-1)(0-3)=-3, ∴a=-1 ∴ y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3
已知抛物线与x轴的交点 或交点横坐标时,通常 设为交点式(两根式)

练习:已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(0,-5),B(5, 0)两点,它的对称轴为直线x=2,那么这个二次函数的解析式 y=(x-5)(x+1),即y=x2-4x-5 是____________ ___。
分析:因为抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称, 又B(5,0)关于直线x=2的对称点坐标为(-1,0),所以可以设为交 点式,类似例3求解,当然也可以按一般式求解。

练习:如图,已知二次函数 y ? ax ? 4 x ? c 的图像经过点A和点B. (1)求该二次函数的表达式; (2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标; (3)点P(m,m)与点Q均在该函数图像上(其中m>0),且这两 点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q 到x轴的距离.
2

解:(1)将x=-1,y=-1;x=3,y=-9分别代

?? 1 ? a ? (?1) 2 ? 4 ? (?1) ? c, 入 y ? ax ? 4 x ? c 得 ?? 9 ? a ? 32 ? 4 ? 3 ? c. ? 解得 ?a ? 1, ?c ? ?6. ?
2

y

-1 O A -1

3
x

∴二次函数的表达式为. ? x y

2

? 4x ? 6

(2)对称轴为直线x=2 ;顶点坐标为(2,-10). 2 2 (3)将(m,m)代入 y ? x ? 4 x ? 6 ,得m ? m ? 4m ? 6 , m1 ? ?1 不合题意,舍去-9 解得 m1 ? ?1, m2 ? 6 ,∵m>0,∴ 图13 ∴ m=6 ∵点P与点Q关于对称轴 x=2 对称,∴点Q到x轴的距离为6.

B

练习:已知一抛物线与x轴的交点A(-2,0),B(1,0) 且经过点C(2,8)(1)求该抛物线的解析式 (2)求 该抛物线的顶点坐标
分析:由已知,抛物线过点(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点, 因此可以设一般式求解析式

解:设这个抛物线的表达式为Y=ax2+bx+c

4a-2b+c=0
a+b+c=0 4a+2b+c=8 所以该抛物线的表达式为y=2x2+2x-4 (2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+1/2)2-9/2 解这个方程组得,

a=2 b=2 C=-4

所以该抛物线的顶点坐标为(-1/2,-9/2)还有其他方法吗?

数学是来源于生活又服务于生活的.

数学是来源于生活又服务于生活的.
1. 有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度
为16m,跨度为40m.现把它的图形放在坐标

系里 (如图所示),求抛物线的解析式. 解: 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, 根据题意可知 抛物线经过(0,0),(20,16)和(40,0)三点 评价 通过利用给定的条件 可得方程组
列出a、b、c的三元 一次方程组,求出a、 b、c的值,从而确定 函数的解析式. 过程较繁杂,

数学是来源于生活又服务于生活的.
1.
有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度 为16m,跨度为40m.现把它的图形放在坐标系里 (如图所示),求抛物线的解析式.
根据题意可知 ∵ 点(0,0)在抛物线上,

解: 设抛物线为y=a(x-20)2+16

评价
通过利用条件中的顶 点和过愿点选用顶点 式求解, 方法比较灵活

∴ 所求抛物线解析式为

数学是来源于生活又服务于生活的.
1.
有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度 为16m,跨度为40m.现把它的图形放在坐标系里 (如图所示),求抛物线的解析式.
解: 设抛物线为y=ax(x-40 ) 根据题意可知 ∵ 点(20,16)在抛物线上, 评价
选用两根式求解, 方法灵活巧妙,过 程也较简捷

数学是来源于生活又服务于生活的. 2.小燕去参观一个蔬菜大棚,大棚的横截面为抛 物线,有关数据如图所示。小燕身高1.40 米,在她不弯腰的情况下,横向活动范围是多 少?

M

N

3.2米

8米

y
1 y ? ? ( x ? 4) 2 ? 3.2 5

y

B

C
3.2

3.2

O

8米

A x

B

O8米

A x

O

y

1 2 y ? ? x ? 3.2 5

x
3.2

B

8米

A

1 2 y ?? x 5

y

C M B
8米
3.2 N

x

A

一、设 二、代 三、解 四、还原

方 法 小 结
用待定系数法确定二次函数解析 式的基本方法分四步完成: 一设、二代、三解、四还原

一设:指先设出函数的解析式 二代:指根据题中所给条件,代入函数的 解析式,得到关于待定系数的方程组 三解:指解此方程或方程组

四还原:指将求出的待定系数还原回原解析式中

求二次函数解析式的一般方法:
? y ? 已知图象上三点或三对对应值, 通常选择一般式y=ax2+bx+c; 已知图象的顶点坐标(对称轴和最值) 通常选择顶点式y=a(x+h)2 +k, o ? 已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2, x 通常选择交点式(两根式)y=a(x-x1)(x-x2) 。 确定二次函数的解析式时,应该根据条件的特点, 恰当地选用一种函数表达式,


网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com