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2.4绝对值(第一课时)

发布时间:2013-09-20 17:57:55  

§2.4 绝对值

第一课时
内容:绝对值的定义、性质,如何求一个数的绝对值

两辆汽车从同一处O出发,分别向东、西 方向行驶10km,到达A、B两处(如图)。
它们的行驶路线相同吗? 它们行驶路程的远近(线段OA、OB的长度) 相同吗?
A
-10 10

O
0

10

B
10

观察下图,回答问题:
两只小狗分别距原点 几个单位长度?

大象距原点 几个单位长 度?

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

A

│-3│=3

│+3│=3 │+4│=4

B
4 5 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1 2 3

大象在数轴上+4点,距离原点4个单位长度,我们就 说+4的绝对值等于4。写作: │+4│=4

两只小狗呢?

记作│+ 3│=3 │-3│=3

绝对值:

数轴上表示数a的点与原点的距 离叫做数a的绝对值.用“| |”表示,记作|a| (这里的数a可以是正数、负数和0)

如果一个数为-5,则它的绝对值是多少?

练习: 1.表示+7的点与原点的距离是 7个单位长度 ,即+7的绝对 值是 ,记作 ; 7 │+7│=7

2.表示2.8的点与原点的距离是 2.8个单位长度 ,即2.8的绝 对值是 ,记作 ; 2.8 │2.8│=2.8 3.表示0的点与原点的距离是 0个单位长度 ,即0的绝对值是
,记作 0 ;
│0│=0

4. 表示-5的点与原点的距离是 5个单位长度 ,即-5的绝对值
是 ,记作 5 ; │-5│=5

例1、求下列各数的绝对值:

解:

15 1 ? , ? , ?4.75,10.5 2 10
15 15 ? ? , 2 2

1 1 ? ? , 10 10

?4.75 ? 4.75,

10.5 ? 10.5

议一议 一个数的绝对值与这个数有什 么关系? 例如:|3|=3,|+7|=7 ………… 一个正数的绝对值是它本身
例如:|-3|=3,|-2.3|=2.3 …………

一个负数的绝对值是它的相反数
而 原点到原点的距离是0 0的绝对值是0。即 |0|=0

做一做
写出下列各数的绝对值:

5 2 6,?8,?3.9, ,? ,100 ,0 2 11

解:

5 5 6 ? 6, ? 8 ? 8, ? 3.9 ? 3.9, ? 2 2 2 2 ? ? , 100 ? 100 , 0 ? 0 11 11

互为相反数的两个数的绝对 值有什么关系?
原点

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3到原点的距离是3

+3到原点的距离是3

互为相反数的两个数的绝对值相等.

例2. 求下列各组相反数的绝对值。
1 1 (1)9,-9;(2)0.6,-0.6;(3) ; ? 8 8

解: (1)|9|=9
(2)|0.6|=0.6
1 (3) 8

| -9 |= 9 |-0.6|=0.8

| |=

1 8

|- |=
1 8

1 8

小组之间讨论一下:

正数的绝对值是它 本身

a (1)当a是正数时,|a|=____; -a (2)当a是负数时,|a|=__;

0 (3)当a=0时,|a|=___.

(a ? 0) ?a ? | a |? ?? a (a ? 0) ?0 (a ? 0) ?

0的绝对值是0

负数的绝对值 是它的相反数

a

(a>0) (a=0)

即:︱a︱=
或者:

0

- a (a<0)

?a (a ≥ 0) a ?? ?-a (a ? 0)

?a (a ? 0) a ?? ?-a (a ≤ 0)





a ≥0

想一想: (1)绝对值是3的数有几个? 各是什么?

(2)绝对值是0的数有几个?

它是什 么?
(3)是否存在绝对值是-2的数?若 存在,请说出来?

例3、
解:

1 1 化简(1) ?(? ) (2) - -1 2 3

1 1 1 (1) ?(? ) ? ? ? 2 2 2

(2)

1 1 - -1 ? ?1 3 3

? ? 5 ? ___ ? ? 5 ? ___
1 ? ? 2 ? ___ 4

? ? 5 ? ___

? ? 5 ? ___
? (? ? 0.3 ) ? ___

例4 计算.

(1) | ?35 | ? | ?21 | ? | ?27 |;
1 (3) | ?49 | ? | ?2 |; 7 1 (4) | 0.75 | ? | ?1 | ? 2
4 4 1 (2) | ?3 | ? | | ? | ?3 |; 5 5 2

分析 这些题中都带有绝对值符号,应先去掉绝对值 符号再进行其它计算·

解:(1)原式=35+21+27=83

4 4 1 1 (2)原式 ? 3 ? ? 3 ? 6 ? 5 5 2 2
1 (3)原式 ? 49 ? 2 ? 105 . 7

1 (4)原式 ? 0.75 ? 1 ? 0.5 2

计算
? ? ? ? 1、|-5.15|- |5.15|; 2、|-6|×|-2|; 3、|-7|﹢|+6|; 4、|-9|-|-4|

小结:
绝对值 (1. 几何定义) :在数轴上,一个数所对应的

点与原点的距离叫做该数的绝对值.
(2.代数定义) 正数的绝对值是它本身; 负数的绝对值是它的相反数;

0 的绝对值是 0.

第二课时
内容:绝对值的非负性;利用数轴化简带绝对值符号 的式子。绝对值的应用。

回顾
? 1、什么是绝对值? ? 2、绝对值的性质: (1)几何意义 数轴上表示一个数的点到原点的距离。 (2)代数意义 正数的绝对值是本身;负数的绝对值是 它的相反数;0的绝对值是0。

a ≥0

a

(a>0) (a=0)

即:︱a︱=

0

- a (a<0)

知识点1:非负性 │a│≥0的应用
例1、若│a│+ │b│=0,求 a、b是多少? 解:∵│a│≥0 ,│b│ ≥0 , 可以这样想: │a│+ │b│=0 ∴ │a│=0 ,│b│ =0 , ∴ a=0 ,b =0 ,
│a│≥0 ,│b│ ≥0 ,
非负数+非负数=0, 非负数即为正数和0, 正数+正数>0 正数+0 >0 0+正数>0 只有0+0=0 所以:两个数的绝对值都只有等 于0才满足题意。

点评: 任何有理数的绝对值都是非负数(正数和 0), 如果几个负数的和等于0,那么每个非负数都 必须等于0.

变一变:若│x-2│+ │y-3│=0,求 x+y
解:∵ │x-2│≥0,│y-3│ ≥ 0
│x-2│+ │y-3│=0

∴ │x-2│=0, │y-3│=0 ∴ x-2=0, y-3=0 ∴ x=2, y=3 ∴ x+y=2+3 =5

试 一 试:

a ? 2 ? 3 ? b ? 0, 求3a ? 2b的值.

再变一变:│x-3│与│5y-10│互为相反数,求 3x-2y的值。
解:∵ │x-3│与│5y-10│互为相反数, ∴ │x-3│+│5y-10│=0 又∵ │x-3│≥0,│5y-10│ ≥ 0 ∴ │x-3│=0, │5y-10│=0 即: x-3=0, 5y-10=0 ∴ x=3, y=2 ∴ 3x-2y
=3×3-2×2 =5 数的数有 点评: 一个数的绝对值与 什么性质? 另一个数的绝对值要互 为相反数,只有这两个 数都是0,因为0的相反 数是0,互为相反数的两 个数相加等于0,所以可 以0加0等于0得出结论。 互为相反数的两个 想一想: 数相加等于0 互为

相反

试 1 一 已知: 2 2a ? 10 与 2 9 ? 3b ? 0互为相反数, 求5ab的值. 试:

知识点2:利用条件求绝对值中相关 字母的值。
解: ∵|a|=4 ∴ a=4 或 a= -4 , ∵ |b|=3 ∴ b=3 或 b= -3. ∴a=4或 a=-4, b=3 或 b= -3. 点评:互为相反数的绝对值相等,如 :绝对值等 于4的数有两个4,与-4.

例2:已知 | a | = 4 | b | = 3 求: a、b分别是多少?

变一变
已知 | a | = 4, | b | = 3 且 a > b, 求: a+b.
解: ∵|a|=4 ∴ a=4 或 a= -4 , |b|=3 ∴ b=3 或 b= -3. 提示: 又 a>b ∴a=4 b=3 或 a=4 b= -3. 正数×正数=正数 负数×负数=正数 即:同号两数相乘,积为正数。 ∴ a+ b= 4+3=7 ; 或 a+ b= 4+(-3)=1 ∴ a+ b的值为7或1。

练 已知 | x | = 2, | y| = 3 且 xy>0, 求: x+y. 一 思考:如果把xy>0变为xy<0, x+y的值 练 又是多少呢: 提示:
正数×负数=负数 即:异号两数相乘,积为负数。

例3、绝对值 小于 3的整数有 5 个,是 -2、-1、0、1、2



思路:对于这种类型的题,可以利用数轴来解答。
思考:小于3和不大 于3有什么区别?
绝对值也小于3 绝对值小于3

变一变、绝对值不大于 3的整数有

7

个,是

-3、-2、-1、0、1、2



再变、绝对值不大于3的整数有

7

个,是 -3、-2、-1、0、1、2、3 ,它们的和是

0



还要变、绝对值不大于3且大于1的整数有

4

个,是

-3、-2、2、3



绝对值不大于3, 绝对值不大于 且大于1 3,且大于1

4、有条件的绝对值化简

? ? ? ? ? ? ?
?

挑战极限 1若|a|+|b-1|=0,求a,b 2字母X表示数,结合数轴,回答下列问题: |3|=|3-0|= ; |-2|= |-2-0|= ; |3-1|= ; |-2-1|= ; |x|=2,则x= ; |x-1|=2,则x= ; |x-1|+ |x-3|=2, 在数轴上画出符合条件的所有 点来表示x |x-1|+ |x-3|=4, 在数轴上画出符合条件的所有 点来表示x |x-1|-|x-3|=4, 在数轴上画出符合条件的所有 点来表示x

判断: (1)一个数的绝对值是 2 ,则这数是2 。 (2)|5|=|-5|。 (3)|-0.3|=|0.3|。 (4)|3|>0。 (5)|-1.4|>0。 (6)有理数的绝对值一定是正数。 (7)若a=b,则|a|=|b|。 (8)若|a|=|b|,则a=b。 (9)若|a|=-a,则a必为负数。 (10)互为相反数的两个数的绝对值相等。

判断: (×) (1)一个数的绝对值是 2 ,则这数是2 。 (√) (2)|5|=|-5|。 (√) (3)|-0.3|=|0.3|。 (√) (4)|3|>0。 (×) (5)|-1.4|>0。 (×) (6)有理数的绝对值一定是正数。 (√) (7)若a=b,则|a|=|b|。 (8)若|a|=|b|,则a=b。 (×) (√) (9)若|a|=-a,则a必为负数。 (√) (10)互为相反数的两个数的绝对值相等。

2、一个数的绝对值是7,求 这个数? 3、满足︱x︱≤3的所有整 ±3,±2,±1,0 数是___________。 4、绝对值大于2并且不大于5 -3,-4 的负整数有_____________________。

实践应用
1.若∣m

∣+ ∣n∣=0,则m= 2.若∣m-1∣+ ∣n+2∣=0,则m= ,n= 。

,n=



3.已知|x-4| + |y+1| =0,求x,y 的值

1、已知︱x︱=6, ︱y︱=4,并且x>y,求 x+y的值;
2、根据绝对值的意义,思考:
a (1)如果 ? 1 ,那么a ________0 > a (2)如果a<0,那么-︱a︱= a 。 a ? -1 则 _____。 a

(1)若 |x| = 4, 则 x = ____.

(

)

(D) 2 (2)若 |a| > a , 则 a 是 ____. ( ) (A) 正数 (B) 负数 (C) 非正数 (D) 非负数 (3)一个数的相反数的绝对值是正数,这个数一定是 (A) 非正数 (B) 非负数 (C) 非零数 (D)不能确定

-4 (C) ± 4
(A)

(B) 4

1. 字母 a 表示一个数,-a 表示什 么?-a一定是负数吗? 2. 已知:x ? 2 ? y ? 2x+3y的值.

1 3

? 0 ,求

课前小测

1、绝对值等于3的数有 _________个,它 们是_________。 2、若│x│=4,则x=______,若│x-5│=0, 则x=_________. 3、绝对值小于5但大于2的整数是 _________.

4、(1)、若│x-3│+ │y+5│=0,求 x+y= _________ 5、已知|x|=3,|y|=4,求x+y的值。

(二) 化简与计算
(1) | -28 | - | -12 |=____ (2)若| a -2 |= 0 则 a =____ (3)化简 |π-3.142 |=____ (4)若 a < 0 则 |a| +a =____ ? 解: (1) 原式 =28 – 12 =16 (2) ∵ a-2 = 0 ∴ a=2 (3) ∵π-3.142 < 0 ∴ |π-3.142 |=3.142-π (4) ∵ a <0 ∴|a|= - a , ∴ |a| +a = 0

已知有三个数a、b、c在数轴上的位置 如下图所示

c

b

0

a

则a、b、c三个数从小到大的顺序是—— —— 则│a│ │c│, │b│ │c│

3.(1)如果数 a 的绝对值等于a ,那么a可能是 正数吗?可能是零吗?可能是负数吗?

解:a可能是正数,可能是零,不可能是负数.
(2)如果数 a 的绝对值大于 a ,那么 a 可能是正 数吗?可能是零吗?可能是负数吗? 解:a 不可能是正数,不可能是零,一定是负数. (3)一个数 的绝对值可能小于 它本身吗?

解:一个数的绝对值不可能小于它本身.

(2) 若 | x -2 | + |y + 3 | = 0, 求:① x+y,②y-x 的值
解: ∵ |x -2 |+ |y +3| = 0 又 |x -2|≥0 , |y+3|≥0 ∴ x -2=0 , y+3=0 ∴ x=2 , y= -3 ① X+y=2+(-3)=-1 ② X-y=2-(-3)=2+3=5 点评: 任何有理数的绝对值都是非负数(正数和0), 如果几个负数的和等于0,那么每个非负数 都必须等于0.

例6、当 x ? x ? 2时,求代数式 19 x
2004

? 3 x ? 27的值.
3

分析 由 x ? ? x, x ? x ? 2,
得-x ? x ? 2,或 x ? x ? 2 所以 x ? ? x,即x<0 很显然x ? x ? 2不成立,

解 由 x ? x ? 2, 所以x<0,
因此-x ? x ? 2,x ? ?1,
所以19 x2004 ? 3x3 ? 27 ? 19 ? (?1)2004 ? 3 ? (?1)3 ? 27

? 43

例7、已知 a-1 + b+2 =0,求a和b的值.
分析
由绝对值的非负性可知, ? 0, a-1 b+2 ? 0,

所以当且仅当 a-1 和 b+2 都等于0时, 它们的和才等于0.

解 ? a-1 ? 0, ? 0

,又 ? a-1 + b+2 =0 b+2

? a-1 ? 0, ? 0 b+2

? a ? 1, b ? ?2

例8、已知有理数a、b、c在数轴上的位置 a ? ?b ? c 如图所示,化简

解 由数轴上a,b,c的位置知 a<b<0,c>0,-b>o, 所以

a ? ?b ? c ? ?a ? b ? c

练习一: 1、用>、<、=号填空: │-0.05│ > 0; │-3│ > 0; │0.8│ │-0.8│ = 2、判断(对的打“√”,错的打“×”):

(1)一个有理数的绝对值一定是正数。 (× ) (2)-1.4<0,则│-1.4│<0。 ( × ) (3) │-32︱的相反数是32 ( ×)

3、填空 4或 (1)如果| a | = 4,那么 a 等于____. - 4 (2)一个数的绝对值是它本身,那么这个数一 正数或零 定是__________. 9 (3).绝对值小于5的整数有___个,分别是 4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4 _______________.

小结:
绝对值 (1. 几何定义) :在数轴上,一个数所对应的

点与原点的距离叫做该数的绝对值.
(2.代数定义) 正数的绝对值是它本身; 负数的绝对值是它的相反数;

0 的绝对值是 0.


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