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八年级数学全册知识点整理

发布时间:2013-09-20 17:57:55  

第一章 轴对称图形

第二章 勾股定理与平方根 一、勾股定理 1.勾股定理

直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a2

?b2?c2,

2.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a,b,c有关系a2

?b2?c2,那么这个三角形是直角

三角形。

1

3.勾股数 满足a

2

?b2?c2的三个正整数,称为勾股数。

二、实数的概念及分类 1.实数的分类

实数

2.无理数:无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如

7,2等;

(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如π3

+8等;

(3)有特定结构的数,如0.1010010001?等; (4

)某些三角函数值,如sin60o

等。 三、平方根、算数平方根和立方根

1.算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2

=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地,0的算术平方根是0。

表示方法:记作“

a”,读作根号a。

性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。

2.平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2

=a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。

表示方法:正数a的平方根记做“?

a”,读作“正、负根号a”。

1

性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。 a?0

注意a的双重非负性:a?0

3.立方根

一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3

=a那么这个数x就叫做a 的立方根(或三次方根)。

表示方法:记作

a

性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。

注意:

?a??a,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、实数大小的比较

1.实数比较大小:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。 2.实数大小比较的几种常用方法

(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。 (2)求差比较:设a、b是实数:

a?b?0?a?b, a?b?0?a?b, a?b?0?a?b

(3)求商比较法:设

a、b

是两正实数,

2

ab?1?a?b;ab?1?a?b;a

b

?1?a?b; (4)绝对值比较法:设a、b是两负实数,则a?b?a?b。

(5)平方法:设a、b是两负实数,则a

2

?b2?a?b。

五、实数的运算

1.六种运算:加、减、乘、除、乘方、开方。 2.实数的运算顺序

先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。 3.运算律

加法交换律 a?b

?b?a

加法结合律 (a?b)?c?a?(b?c)

乘法交换律 ab?ba

乘法结合律 (ab)c?a(bc) 乘法对加法的分配律 a(b?c)?ab?ac

第三章 中心对称图形(一) 一、平移 1.定义

在平面内,将一个图形整体沿某方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。 2.性质

平移前后两个图形是全等图形,对应点连线平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等。 二、旋转

2

1.定义

在平面内,将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角叫做旋转角。 2.性质

旋转前后两个图形是全等图形,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。 三、四边形的相关概念 1.四边形

在同一平面内,由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。

2.四边形具有不稳定性

3.四边形的内角和定理及外角和定理

四边形的内角和定理:四边形的内角和等于360° 四边形的外角和定理:四边形的外角和等于360°

推论:多边形的内角和定理:n边形的内角和等于(n?2)?180° 多边形的外角和定理:任意多边形的外角和等于360° 4.设多边形的边数为n,则多边形的对角线共有

n(n?3)

2

条。从n边形的一个顶点出发能引(n-3)条对角线,将n边形分成(n-2)个三角形。 四、平行四边形 1.平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质

(1)平行四边形的对边平行且相等。 (2)平行四边形相邻的角互补,对角相等。 (3)平行四边形的对角线互相平分。

(4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点。

常用点:(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对

3

边截下的线段的中点是对角线的交点,并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

(2)推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。 3.平行四边形的判定

(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 (2)定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 (3)定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 (4)定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形。 (5)定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4.两条平行线的距离

两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。 5.平行四边形的面积

S平行四边形=底边长×高=ah 五、矩形 1.矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.矩形的性质

(1)矩形的对边平行且相等。 (2)矩形的四个角都是直角。 (3)矩形的对角线相等且互相平分。

(4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到矩形四个顶点的距离相等);对称轴有两条,

是对边中点连线所在的直线。 3.矩形的判定

(1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。 (2)定理1:有三个角是直角的四边形是矩形。 (3)定理2:对角线相等的平行四边形是矩形。 4.矩形的面积

3

S矩形=长×宽=ab 六、菱形 1.菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质

(1)菱形的四条边相等,对边平行。 (2)菱形的相邻的角互补,对角相等。

(3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角。 (4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条,

是对角线所在的直线。 3.菱形的判定

(1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 (2)定理1:四边都相等的四边形是菱形。

(3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 4.菱形的面积

S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 七、正方形 1.正方形的定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2.正方形的性质

(1)正方形四条边都相等,对边平行。 (2)正方形的四个角都是直角 。

(3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

(4)正方形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点;对称轴有四条,是对角线所在的直线和对边中点

连线所在的直线。 3.正方形的判定

4

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种: 先证它是矩形,再证它是菱形。 先证它是菱形,再证它是矩形。 4.正方形的面积

设正方形边长为a,对角线长为bS正方形

a2

?

b2

=2

八、梯形

(一) 1、梯形的相关概念

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底。

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。 梯形的两底的距离叫做梯形的高。 2、梯形的判定

(1)定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。 (2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形。 (二)直角梯形的定义:一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地,梯形的分类如下: 梯形

特殊梯形

(三)等腰梯形 1.等腰梯形的定义

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 2.等腰梯形的性质

(1)等腰梯形的两腰相等,两底平行。

4

(2)等腰梯形同一底上的两个角相等,同一腰上的两个角互补。 (3)等腰梯形的对角线相等。

(4)等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,即两底的垂直平分线。 3.等腰梯形的判定

(1)定义:两腰相等的梯形是等腰梯形。

(2)定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 (3)对角线相等的梯形是等腰梯形。(选择题和填空题可直接用) (四)梯形的面积

(1)如图,S1

梯形ABCD

?

2

(CD?AB)?DE (2)梯形中有关图形的面积:

①S?ABD?S?BAC; ②S?AOD?S?BOC; ③S?ADC

?S?BCD

九、中心对称图形 1.定义

在平面内,一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心。 2.性质

(1)关于中心对称的两个图形是全等形。

(2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。

(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。 3.判定

5

如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。

第四章 数量、位置的变化

一、 在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据。 二、平面直角坐标系及有关概念 1.平面直角坐标系

在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系。其中,

水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;

铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点;建立了直

角坐标系的平面,叫做坐标平面。

2.为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、 第四象限。

注意:x轴和y轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。 3.点的坐标的概念

对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线,垂足在上x轴、y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,

有序数对(a,b)叫做点P的坐标。

点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标

是有序实数对,当a

?b时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。

平面内点的与有序实数对是一一对应的。 4.不同位置的点的坐标的特征 (1)各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限?

x

?0,y?0

5

6

点P(x,y)在第二象限?点P(x,y)在第三象限?点P(x,y)在第四象限?(2)坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上?点P(x,y)在y轴上?即原点

x?0,y?0 x?0,y?0 x?0,y?0

点P(x,y)到y轴的距离等于

x

x2?y2

点P(x,y)到原点的距离等于三、坐标变化与图形变化的规律:

y?0,x为任意实数 x?0,y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上?x,y同时为零,即点P

(3)两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上?x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x与y互为相反数 (4)和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 (5)关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征

点P与点p’关于x轴对称?横坐标相等,纵坐标互为相反数,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y)

点P与点p’关于y轴对称?纵坐标相等,横坐标互为相反数,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y)

点P与点p’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y) (6)点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离: 点P(x,y)到x轴的距离等于

第五章 一次函数

一、函数:

一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,

其中x是自变量,y是因变量。 二、自变量取值范围

使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。一般从整式(取全体实数),分式(分母不为0)、二次根式(

被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。 三、函数的三种表示法 1.关系式(解析)法

两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做关系式(解析)法。 2.列表法

6

y

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。 3.图象法

用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 四、由函数关系式画其图像的一般步骤

1.列表:列表给出自变量与函数的一些对应值

2.描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点

3.连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。 五、正比例函数和一次函数 1.正比例函数和一次函数的概念

一般地,若两个变量x,y间的关系可以表示成

y?kx?b(k,b为常数,

k?0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,

y为因变量)。 特别地,当一次函数

y?kx?b中的b=0时(即y?kx)(k为常数,k?0),

称y是x的正比例函数。

2.一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线 3.一次函数、正比例函数图像的主要特征:

一次函数

y?kx?b的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数y?kx

的图像是经过原点(0,0)的直线 4.正比例函数的性质

一般地,正比例函数

y?kx有下列性质:

(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大。 (2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。 5.一次函数的性质

7

一般地,一次函数

y?kx?b有下列性质:

(1)当k>0时,y随x的增大而增大。 (2)当k<0时,y随x的增大而减小。

6.正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y?kx(k?0)中的

常数k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式

y?kx?b(k?0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

7.一次函数与一元一次方程的关系:

任何一个一元一次方程都可转化为:kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式. 而一次函数解析式形式正是y=kx+b

(k、b为常数,k≠0).当函数值为0时,?即kx+b=0就与一元一次方程完全相同. 结论:由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式.所以解一元一次方程可以转化为: 当一次函数值为0时,求相应的自变量的值。

从图象上看,这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值。

7

第六章 数据的集中度

一、刻画数据的集中趋势(平均水平)的量:平均数 、众数、中位数 二、平均数

(1)平均数:一般地,对于n个数

x1,x2,?,xn,

我们把

1

n

(x1?x2???xn)叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记为x。 三、众数

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 四、中位数

一般地,将一组数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 第七章 不等式

用不等号连接的式子叫不等式 不等式的解

能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解 不等式的解集

一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集 解不等式

求不等式解集的过程叫做解不等式 不等式的性质:

1、 不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号方向不变 2、 不等式两边同时乘或除以同一个正数,不等号方向不变 3、 不等式两边同时乘或除以同一个负数,不等号方向改变 一元一次不等式

只含一个未知数,并且为指数的最高次数是1,系数不等于0的不等式 解一元一次不等式的步骤: 1、 去分母

8

2、 去括号 3、 移项 4、 合并同类项 5、 化系数为1

用一元一次不等式解决问题步骤: 1、 设未知数 2、 列不等式 3、 解不等式 4、 写出答案 一元一次不等式组

有几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组 不等式组的解集

不等式组中所有不等式的解集的公共部分 解不等式组

求不等式组解集的过程叫解一元一次不等式组 第八章 分式

如果有A、B两个整式,并且B中含有字母,那么代数式A/B叫做分式,A是分式的分子,B是分数的分母 分式的基本性质:

分式的分子和分母都乘以同一个不等于0的整式,分式的值不变 分式的约分

把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式 分式的通分

把几个异分母的分式化成同分母的分式 分式的运算:

1、同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减 2、异分母的分式相加减,先通分,再加减

3、分式乘分式,用分式的分子的积做积的分子,分母的积做积的分母

8

4、分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置,与被除式相乘 分式方程

分母含有未知数的方程叫分式方程 第九章 反比例函数

形如y=k/x(k为常数,k≠0)的函数叫做反比例函数,其中x是自变量,y是x的函数,k是比例系数 反比例函数图象

反比例函数y=k/x(k≠0)的图像是有两条分支组成的,是双曲线 反比例函数的性质:

1、 当k>0时,双曲线的两个分支分别在第一、三象限,在每一象限内,y随x

的增大而减小

2、 当k<0时,双曲线的两只分别在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大

而增大

第十章 线段成比例

4条线段中,如图两条线段的比等于另两条线段的比,那么称这4条线段成比例 比例的性质:

1、 如果a:b=c:d,那么ad=bc

2、 如果a/b=c/d,那么(a+b)/b=(c+d)/d 3、 如果a/b=c/d,那么(a-b)/b=(c-d)/d 黄金分割

9

如果AB/AC=BC/AB,那么称线段AC被点B黄金分割

点B为线段AB与AC的比值约为0.618 相似图形

形状相同的图形是相似图形 相似三角形

各角对应相等、各对边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形 三角形相似的条件:

1、 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角

形相似

2、 平行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原

三角形相似

3、 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那

么这两个三角形相似

4、 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边成比例,那么这两个三角形

相似

相似三角形的性质: 1、 周长比等于相似比 2、 面积比等于相似比的平方 3、 对应高的比等于相似比 位似图形

如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫位似中心 平行光线的照射下,不同物体的物高与其影长成比例 第十一章 定义

对名称或术语的含义进行描述、作出规定,就是给出它们的定义 命题

判断某一件事情的句子叫命题 证明

9

用推理的方法证实真命题的过程叫证明

定理

经过证明的真命题叫定理

16条公理和定理:

同位角相等两直线平行

1、 两直线平行同位角相等 两边机器夹角对应相等的两个三角形全等

三边对应相等的两个三角形全等

2、 同角的补角相等 对顶角相等 内错角相等两直线平行 同旁

内角互补两直线平行

10、两直线平行内错角相等 两直线平行同旁内角互补 三角形三个内角的和等于180o

13、三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

15、直角三角形两个锐角互余 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行

互逆命题

两个命题中,如果一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题互为逆命题

第十二章等可能性

设一个实验的所有可能发生的结果有n个,它们都是随机事件,每次试验有且只有一个结果出现,如果每个结果出现的机会均等,那么我们说这n个事件的发生是等可能的,也称这个实验结果具有等可能性

如果一个实验有n个等可能的结果,当其中的m个结果之一出现时,事件A发生,那么事件A发生的概率为

m

P(A)= 10 10

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