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28.1锐角三角函数(2)

发布时间:2013-12-10 10:29:02  

新人教版九年级数学(下册)第二十八章

§28.1 锐角三角函数(2)
——余弦和正切

复习

如图:在Rt △ABC中,∠C=90°, B 则

1.角:∠A+ ∠B =90°
A
┌ C

2.勾股定理(三边关系) AC2 + BC2 = AB2

3.三角函数(边与角的关系) AC BC sinB= sinA= AB AB

一、余弦

当直角三角形的一个锐角的大小确 定时,其邻边与斜边的比值也是惟一 确定的吗?
B1 B2 B3

相似三角形的对应 边的比值相等.
C1

A

C3

C2

如图:在Rt △ABC中,∠C=90°, 我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做 ∠A的 余弦,记作 cosA。
?A的邻边 = cosA= ?A的斜边

b

c

30o 、45o 、60o 角的正、余弦值分别为多少?
B

B

2
A 30°

1

2
A 45°

1 1
C

3

C

1 sin30o = 2

sin45o =
3 2

2 2
2 2

sin60o =

3 2

cos30o =

cos45o =

1 cos60o 2 =

如图,在RT△ABC中, ∠C=90°,求cosA和cosB的值.

练习:
1.根据下面图中所给出的条件,求锐角A 、B 的余弦值。
A


1
C 3 C 3

B

② A 4

B

练习
2.如图,在Rt△ABC中,锐角B的对边和邻边 同时扩大100倍,cosB的值( C ) A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定
B

A

┌ C

二、正切
B3

B1

B2

A

C3

C2

C1

相似三角形的对应 边的比值相等.

?在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比 叫做∠A的正切,记作tanA,即 tanA=
?A的对边 ?A的邻边

对于锐角A的每一个确定的值, sinA有唯一的值与它对应,所以sinA是 A的函数。同样地,cosA、tanA也是A 的函数。

锐角A的正弦、余弦、正切都叫

做∠A的锐角三角函数。

30o 、45o 、60o 角的正、余弦、正切值分别为多少?
B

B

2
A 30°

1

2
A 45°

1 1
C

3

C

1 sin30o = 2

sin45o = cos45o =

2 2
2 2

sin60o =

3 2

cos30o = tan30o =

3 2

1 cos60o 2 =

3 3

tan45o 1 =

tan60o 3 =

如图,在RT△ABC中,∠C=90°, 求tanA和tanB的值.

练习:
1.根据下面图中所给出的条件,求锐角A 、B 的正切值。
A


1
C 3 C 3

B

② A 4

B

练习
2.如图,在Rt△ABC中,锐角B的对边和邻边 同时扩大100倍,tanB的值( C ) A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定
B

A

┌ C

练习
下图中∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D. 指出∠A和∠B的对边、邻边. (AD) (1) cosA = = AC B (AB ) AC D (BC ) (2) cosB= = BD ( CD) AB C A
(CD ) ( AC) (AD ) (3) tan B ? ? ? . ( BD) (BC ) ( CD)

例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, BC=6, A ? 3 ,求cosA和tanB的值. B sin 5
6

BC 解: sin A ? ? , AB BC 5 ? AB ? ? 6 ? ? 10 . sin A 3
2 2 2

A

C

又AC ? AB ? BC ? 10 ? 6 ? 8,
2

AC 4 AC 4 ? cos A ? ? , B? tan ? . AB 5 BC 3
rldmm8989889

应用举例
1、在Rt △ABC中,∠C=90°,求∠A的三角函数值。

① a=9 b=12

② a=9 b=12

2、在△ABC中,AB=AC=4,BC=6,求∠B的三角函 数值。 15 ,求cosA、tanA的值。 3、∠A为锐角,sinA= 17 4、如

图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,
B

3 tanA= ,求sinA,cosB的值。 4
A C

1. 分别求出下列直角三角形中两个 锐角的正弦值、余弦值和正切值.
解:由勾股定理
C
2 2





BC ?
2

AB ? AC
2

12 B

? 13 ? 12 ? 5

13

A

BC 5 ? sin A ? ? AB 13
AC 12 cos A ? ? AB 13

AC 12 ? sin B ? ? AB 13
BC 5 cos B ? ? AB 13 AC 12 tan B ? ? BC 5

BC 5 tan A ? ? AC 12

2: 如图,在Rt△ABC中,∠C=90° 1.求证:sinA=cosB,sinB=cosA

sin A 2.求证:tan A ? cos A
3.求证: sin
2 2

B

A ? cos A ? 1
A
C

小结
如图,Rt△ABC中, ∠C=90度,
BC sin A ? , cos A ? AB AC sin B ? , cos B ? AB AC , tan A ? AB BC , tan B ? AB BC AC AC BC

sin A ? cos B cos A ? sin B 1 tan A ? tan B
B

因为0<sinA <1, 0<sinB <1,

0<cosA <1, 0<cosB <1, tan A>0, tan B>0 所以,对于任何一个锐角α ,有
0<sin α <1,

0<cos α <1,
tan α >0,

A

C

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

小结

回顾

在Rt△ABC中

?A的对边 = sinA= ?A的斜边 ?A的邻边 = cosA= ?A的斜边

a

c b
c

a = tanA= b ?A的邻边

?A的对边

回顾

小结
定义中应该注意的几个问题:

1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定 义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三 角形)。

2、sinA、 cosA、tanA是一个比值(数值)。
3、sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小 有关,而与直角三角形的边长无关。

作业
?
?

1、课本82页1、2、6题。 2、全效学习64-65页。


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