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(修改)26.2.1用函数观点看一元二次方程

发布时间:2013-12-10 12:25:34  

请准备好你的数学课本、

笔记本以及学习用具等。

一元二次方程根的情况与b2 -4ac的关系
? 我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
当b 2 ? 4ac ? 0时, 方程 ax 2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?有两个不相等的实数根
? b ? b 2 ? 4ac ? x1, 2 ? . 2a 当b 2 ? 4ac ? 0时, 方程 ax 2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?有两个相等的实数根 b ? x1, 2 ? ? . 2a

:

当b 2 ? 4ac ? 0时, 方程 ax 2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?没有实数根
根的判别式 .用 ?" 来表示 .即? ? b 2 ? 4ac . "

? 我们把代数式 b 2 ? 4ac叫做方程 ax 2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?的

问题1:如图,以 40 m/s的速度将小球沿与地面成30度角的 方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气 阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s) 之间具有关系: h= 20 t – 5 t2
考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要多少时间? (2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能,需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m? 若能,需要多少时间? (4)球从飞出到落地要用多少时间?

蒲河九年制学校

制作人:唐志康
时 间:2012.12.19

1、了解一元二次方程的根的几何意义 ; 2、掌握用二次函数图象求解一元二次方程
的根 的方法;

3、会利用数形结合的方法判断抛物线与x轴
的交点个数。

问题1:如图,以 40 m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击 出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞 行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系: h= 20 t – 5 t2
考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要多少时间?

(2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能,需要多少时间?
(3)球的飞行高度能否达到 20.5 m? 若能,需要多少时间? (4)球从飞出到落地要用多少时间?

解:(1)解方程 (3)解方程 h 15=20t-5t2 20.5=20t-5t2 t2 -4t+3=0 t2 -4t+4.1=0 t 1 =1, t 2 =3. ∵△=(-4)2 ×4.1<0, -4 当球飞行1s和3s时, ∴方程无实数根 它的高度为15m。 (4)解方程 (2)解方程 0=20t-5t2 20=20t-5t2 t2 -4t=0 t2 -4t+4=0 t 1 =0, t 2 =4. t 1 = t2 =2. 当球飞行0s和4s时, 当球飞行2s时, 它的高度为20m。 它的高度为0m,即0s飞 出,4s时落回地面。

(2,20)

t

?

从以上可以看出, 已知二次函数y的值为m,求相应自变量x的 值,就是求相应一元二次方程的解.

例如,已知二次函数y=-x2+4x的值为3,求自变 量x的值. 就是求方程3=-x2+4x的解, 例如,解方程x2-4x+3=0 就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0,求自变 量x的值.

结论: 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为
x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1,0),(x2,0)

y

y=x2 -x+1 观察:下列二次函数的图 象与x轴有公共点吗?如

y=x2 +x-2 y=x2 -6x+9 果有,公共点横坐标是多 少?当x取公共点的横坐 x 标时,函数的值是多少? 由此,你得出相应的一 元二次方程的解吗? (1)y=x2+x-2 (2)y=x2-6x+9 (3)y=x2-x+1 ?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

(1)设y=0得x2+x-2=0 y x1=1,x2=-2 ∴抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公 y=x2 -x+1 共点,公共点的横坐标分别是1和 -2,当x取公共的的横坐标的值时, y=x2 +x-2 函数的值为0. (-2,0) (2)设y=0得x2-6x+9=0 x1=x2=3 ∴抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点, 公共点的横坐标是3当x取公共点的横坐 标的值时,函数的值为0. (3)设y=0得x2-x+1=0 ∵b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0 ∴方程x2-x+1=0没有实数根 ∴抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点。

y=x2 -6x+9

(1,0)

x

?

?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点 有两个交点
只有一个交点 没有交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个不相 等的实数根

一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判 别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0

有两个相等 的实数根
没有实数根

二次函数与一元二次方程
?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有 三种情况: b2 – 4ac > 0 ?(1)有两个交点 ?(2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 ?(3)没有交点 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0

二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点

Y

△<0 △=0

△>0

O

X

判别式: b2-4ac

二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)
与x轴有两个不 同的交点 (x1,0) (x2,0)
与x轴有唯一个 b 交点

图象

一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根
有两个不同的 解x=x1,x=x2

y
O

b2-4ac>0

x y
O

b2-4ac=0

(?

2a

,0)

x y

有两个相等的 解 b x1=x2= ?

2a

b2-4ac<0

与x轴没有 交点
O

没有实数根 x

利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实 数根(精确到0.1). y 方法: (1)先作出图象; (2)写出交点的坐标: (-1.3,0)、(2.3,0) (3)得出方程的解。 x =-1.3,x =2.3。 2 1
1

x

用你学过的一元二次方程的解法来解, 准确答案是什么?

?

1.不与x轴相交的抛物线是( D )

A y=2x2 – 3
C y= - x2 – 3x

B y= - 2 x2 + 3
D y=-2(x+1)2 - 3

2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴 交点情况是( C ) A 无交点 C 有两个交点 B 只有一个交点 D不能确定

3、已知二次函数y=ax +bx+c的图象如图所示,则
一元二次方程ax +bx+c=0的解是
Y 2

2

x1=0,x2=5

.

4、若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是 (C ) A 无交点 C 有两个交点 B 只有一个交点 D不能确定

0

5

X

(0,-5) 1.抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点____,与 x轴交于点 (5/2,0), (-1,0).

2.一元二次方程 3x2+x-10=0的两个根是 x1= -2

,x2=5/3, 那么二次函数y= 3x2+x-10 (-2,0) (5/3,0) 与x轴的交点坐标是_____.
归纳:一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐 标是(x1,0),(x2,0)

3.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由 图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 -3.3 x1=1.3 ,x2=___ y
3
-1
o

.
1.3
x

A X=-1

思考:已知抛物线y=x2 + mx +m – 2 求证: 无论 m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.

思考:已知抛物线y=x2 + mx +m – 2

求证: 无论 m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.

证明: △=m2 -4(m-2) =m2 -4m+4+4 =(m-2)2 +4 不论m取何值都有(m-2)2≥0 所以△=(m-2)2 +4>0 所以方程x2 +mx+m-2=0总有两个不相等 的实数根 可得:二次函数y=x2 +mx+m-2总与x轴有 两个交点.

本节课我们学习了哪些知识?
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情 况: b2 – 4ac > 0 (1)有两个交点 b2 – 4ac= 0 (2)有一个交点 b2 – 4ac< 0 (3)没有交点 2、(1)利用二次函数的图象求一元二次方程 的根.(数形结合) (2)由于作图或观察可能存在误差,由图象 求得的根,一般都是近似的.

你还有哪些困惑?

1.校运会上,某运动员掷铅球,铅球的飞行
高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式 为 y ? ?0.2 x 2 ? 2 x ? 1.7 ,则此运动员的成绩是多少?

(50分) 2.根据二次函数y=x2+3x-4的图象回答:
(1)方程x2+3x-4=0的解是什么? (2)当x取什么值时,y>0? (3) 当x取什么值时,y<0?

(50分)

预 习 作 业
1、预习课本第22——23页的课文 内容,完成课本第26页习题26.3
1、2题。 大练习册第10——11页9—12题。。

冲击中考:
1.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则 无解 方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是_____.

2.直线 y=2x+1 与抛物线 y= x2 + 4x +3 无 有____个交点.

5、已知二次函数y=x2-mx-m2 (1)求证:对于任意实数m,该二次函数的图像与x轴 总有公共点; (2)该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B,且A 点坐标为(1、0),求B点坐标。
(1)证明 : 令y ? 0, 得2 x ? mx ? m ? 0
2 2

? ? ? (?m) ? 4 ? 2 m ? 9m ? 0
2 2 2

? 不论m取何值, 抛物线与x轴总有公共点 .
( 2) ? A(1,0)在抛物线y ? ? 0 ? 2 ?1 ? m ? 1 ? m
2 2 2

2x

2

? mx ? m 上
2

即 m ? m ? 2 ? 0, ( m ? 2)( m ? 1) ? 0 ? m1 ? ?2, m2 ? 1   B点坐标为( ?2,0) ?

?


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