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(修改)26.3实际问题与二次函数(第3课时)

发布时间:2013-12-10 12:25:39  

请准备好你的数学课本、

笔记本以及学习用具等。

问题1:某涵洞是抛物线形,它的截面如图 所示,现测得水面宽1.6m,涵洞顶点O到 水面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内, 涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么?

问题2: 一个涵洞成抛物线形,它的截面如图,现测 得,当水面宽AB=1.6 m时,涵洞顶点与水面 的距离为2.4 m.这时,离开水面1.5 m处,涵 洞宽ED是多少?是否会超过1 m?

蒲河九年制学校

制作人:唐志康
时 间:2012.12.24

1、.初步学会运用二次函数知识分析和解决

抛物线形实际问题;
2、在解决实际问题过程中体验数学建模思 想; 3、提高自己分析和解决实际问题的能力 。

问题1:某涵洞是抛物线形,它的截面如图 所示,现测得水面宽1.6m,涵洞顶点O到 水面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内, 涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么?

如图,以AB的垂直平分线为y轴,以过点O的y 轴的垂线为x轴,建立了直角坐标系.这时, 涵洞所在的抛物线的顶点在原点,对称轴是y 轴,开口向下,所以可设它的函数关系式 y ? ax2 (a ? 0) 是 .此时只需抛物线上的一个点就 能求出抛物线的函数关系式.

A

B

解:如图,以AB的垂直平分线为y轴,以过点 O的y轴的垂线为x轴,建立了直角坐标系。 由题意,得点B的坐标为(0.8,-2.4), 又因为点B在抛物线上,将它的坐标代入 2 ,得 y ? ax (a ? 0)

? 2.4 ? a ? 0.8
所以
15 a?? 4

2

A

B

15 2 因此,函数关系式是 y ? ? 4 x

问题2: 一个涵洞成抛物线形,它的截面如图,现测 得,当水面宽AB=1.6 m时,涵洞顶点与水面 的距离为2.4 m.这时,离开水面1.5 m处,涵 洞宽ED是多少?是否会超过1 m?

如图,以AB的垂直平分线为y轴,以过点O的y 轴的垂线为x轴,建立了直角坐标系.这时, 涵洞所在的抛物线的顶点在原点,对称轴是y 轴,开口向下,所以可设它的函数关系式 2 是 y ? ax (a ? 0) .此时只需抛物线上的一个点就 能求出抛物线的函数关系式.

解:如图,以AB的垂直平分线为y轴,以过点O的y轴的垂线 为x轴,建立了直角坐标系。 由题意,得点B的坐标为(0.8,-2.4), 又因为点B在抛物线上,将它的坐标代入 2 ,得

y ? ax (a ? 0)
? 2.4 ? a ? 0.8 2
15 a?? 4

所以

15 2 x 因此,函数关系式是 y ? ? 15 4 当y=-1.5时,有 -1.5 ? ? x2
4

15x2=6

x

2

2 ? 5

10 x?? ? ?0.64 5
∴会超过1米。

∴∣ED∣=1.28 即ED的长为1.28米。

图中是抛物线形拱桥,当水面在 L 时,拱 顶离水面2m,水面宽4m,水面下降1m时,水面宽度 增加了多少? 解一

解二
解三

继续

解一

如图所示, 以抛物线的顶点为原点,以抛物线的

对称轴为

y

轴,

建立平面直角坐标系。 ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:

y ? ax

2

当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即抛物线过点(2,-2)
? a ? ?0.5 ∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y ? ?0.5 x 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-3,这时有:

? ?2 ? a ? 2 2

? 这时水面宽度为 6 m 2
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 ? 4 )m 返回

? 3 ? ?0.5 x 2 x?? 6

解二 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴,以抛物线 的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:

y ? ax 2 ? 2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0)

?0 ? a ? 22 ? 2

? a ? ?0.5 ∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y ? ?0.5 x 2 ? 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:

? 1 ? ?0.5 x 2 ? 2 x ? ? 6 ? 这时水面宽度为 6 m 2
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 ? 4 )m 返回

解三 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴,以其中 的一个交点(如左边的点)为原点,建立平面直角坐标系.

此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:

y ? a ( x ? 2 )2 ? 2

? a ? ?0.5

? 0 ? a ? ( ?2 )2 ? 2

∵抛物线过点(0,0)

∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y ? ?0.5( x ? 2 )2 ? 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:

x1 ? 2 ? 6 , x 2 ? 2 ? 6
∴这时水面的宽度为:

x 2 ? x1 ? 2 6 m
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 ? 4 )m 返回

? 1 ? ?0.5( x ? 2 )2 ? 2

某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物, 大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为 4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶 部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否 顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若 不能,请简要说明理由.

解:如图,以AB所在的直线为x轴, 以AB的垂直平分线为y轴,建立平面 直角坐标系. ∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0) ∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为

y ? ax 2 ? 4.4

? 4a ? 4.4 ? 0 ? a ? ?1.1

∵抛物线过A(-2,0)

∴抛物线所表示的二次函数为 y ? ?1.1 x 2 ? 4.4
当x ? 1.2时,y ? ?1.1 ? 1.2 2 ? 4.4 ? 2.816 ? 2.7

∴汽车能顺利经过大门.

河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型, 建立如图所示的坐标系,其函数的解析式为 1 2 y?? x , 当水位线在AB位置时,水面宽 25 D AB ? 30米,这时水面离桥顶的高度h是() A、米 B、米;C、米; 、米 5 6 8 D9 y
0 h

x B

A

如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的 长是8m,宽是2m,抛物线可以用

1 2 y ?? x ?4

4

表示.(1)一辆货运卡车高4m,宽2m,它能通过该隧 道吗?(2)如果该隧道内设双行道,那么这辆货运卡 车是否可以通过?
(1)卡车可以通过. 提示:当x=±1时,y =3.75, 3.75+2>4. (2)卡车可以通过.
-3
3 1 -1 -1 -3

O
1 3

提示:当x=±2时,y =3, 3+2>4.

谈谈你的学习体会
实际问题 解题步骤: 1、分析题意,把实际问题转化为数学问题,画出图形。 2、根据已知条件建立适当的平面直角坐标系。 3、选用适当的解析式求解。 4、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。 抽象 转化 数学问题 运用 数学知识 问题的解决

你还有哪些困惑?

1、有一抛物线拱桥,已知水位在AB位置时,水面的宽度是4 6 m,水位上升4 m就达到警戒线CD,这时水面宽是4 3米.若洪 水到来时,水位以每小时0.5 m速度上升,求水过警戒线后几小 时淹到拱桥顶端M处. (50分) 2、有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横截 面为抛物线的隧道,如图2,已知沿底部宽AB为4m,高OC 为3.2m;集装箱的宽与车的宽相同都是2.4m;集装箱顶部离 地面2.1m。该车能通过隧道吗?请说明理由.(50分) y

M C A N O
1题图

D B x
2题图

预 习 作 业
1、预习课本第29页的课文内容,完成 课本第26页习题26.3 8、10题。

大练习册第15页9—12题。。

2.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球 在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平 距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最 大高度4m(B处),设篮球运行的路线为抛物线. 篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? ②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的 最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?

如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD, 其中AB和AD分别在两直角边上.(1)设矩形的一 边AB=x m那么AD边的程度如何表示?(2)设矩形 的面积为y m2,当x取何值时,y的值最大?最大值 是多少?

3 AD ? 30 ? x 4

3 2 y ? ? x ? 30 x 4
当x=20时,y最大=300

30m

D

C

B A 40m

做一做

用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的 矩形菜园,墙长为18m,这个矩形的长,宽 各为多少时?菜园的面积最大,面积是多少?


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