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张家集中学相似全章导学案

发布时间:2013-12-10 12:25:41  

第二十七章 图形的相似

教材分析

(一)本章知识结构框图

(二)教材内容

在前面,我们已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识,也研究了几种图形的全等变换,“全等”是图形间的一种关系,具有这种关系的两个图形叠合在一起,能够完全重合,也就是它们的形状、大小完全相同。“相似”也是指图形间的一种相互关系,但它与“全等”不同,这两个图形仅仅形状相同,大小不一定相同,其中一个图形可以看成是另一个图形按一定比例放大或缩小而成的,这种变换是相似变换。当放大或缩小的比例为1时,这两个图形就是全等的,全等是相似的一种特殊情况。从这个意义上讲,研究相似比研究全等更具有一般性,所以这一章所研究的问题实际上是前面研究图形的全等和一些全等变换基础上的拓广和发展。

本章共有三小节内容。第1小节“图形的相似”主要介绍相似图形、相似多边形的概念,并探索出相似多边形的性质;第2小节“相似三角形”主要研究相似三角形的判定方法、相似三角形在测量中的应用以及相似三角形的周长与面积;第3小节“位似”研究了一种特殊的相似──位似,研究了位似图形的画法以及平面直角坐标系中的位似变换。

在“27.1 图形的相似”中,教科书首先结合生活中常见的相似图形的形象,给出了相似图形的概念。接下来,教科书证明了相似的正三角形、正六边形、以至正多边形的对应边成比例、对应角相等,从而给出相似多边形对应边成比例、对应角相等的性质。

教科书接下来在第2小节进一步深入的研究了相似三角形,它分为相似三角形的判定和相似三角形的应用举例以及相似三角形的周长与面积三部分。在相似三角形的判定中,教科书介绍了四种判定方法,这些方法都是先通过学生探究,再进行证明得到,这四种方法的地位作用以及证明方法也有区别和联系。对于第一个判定方法,也就是“平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”,根据学生当前的知识储备,学生还不能证明,因此教科书仅就它的一种特殊情况进行了证明,并直接把这个定理告诉学生,它可以作为后三个判定定理的预备定理。后三个判定方法,则要通过构造全等三角形,利用前面的预备定理来证明。相似三角形的判定和性质在实际生活中应用很多,主要在测量方面,教科书接下来的第2小节安排了几个例子,举例说

明了它的应用。在第3小节中,教科书则重点研究了相似多边形的周长和面积的问题。教科书首先证明了相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方,进而利用分割的方法,得到相似多边形周长比等于相似比、面积也等于相似比的平方。

位似变换是一种特殊的相似变换,此时对应顶点的连线交于一点,对应边也是互相平行的。教科书在第3节重点研究了这种变换,教科书在给出位似变换概念的基础上,重点研究了如何利用位似变换将一个图形放大或缩小,以及在平面直角坐标系下位似图形的对应点坐标的变化。最后教科书简单对学生学过的四种变换进行了总结,要求学生在一个图形中辨析这些变换,并能综合利用这些变换进行一些图案设计。

这一章主要研究相似多边形,因此相似多边形的有关性质以及相似三角形的判定是本章的重点内容。对于相似三角形的判定方法,定理的证明涉及到要构造一个全等的三角形作为中介,再应用前面的定理进行证明,学生不太习惯,这也是本章教学的难点。教学中要注意引导学生分析证明思路,引导学生进行转化,帮助学生克服难点。

教学目标

1.了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段;

2. 通过具体实例认识图形的相似,探索相似图形的性质,理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方,探索并掌握相似三角形的判定方法,并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题;

3. 了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小,在同一直角坐标系中,感受位似变换后点的坐标的变化;

4. 结合相似图形性质和判定方法的探索和证明,进一步培养学生的合情推理能力,发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力;通过这一章的教学,进一步培养学生综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力,同时对学生进行辩证唯物主义世界观的教育。

课时安排

本章共安排三个小节和两个选学内容,教学时间大约需要11课时,具体安排如下(仅供参考): 27.1 图形的相似 1课时 27.2 相似三角形 6课时 27.3 位似 3课时 数学活动

小结 1课时

- 1 -

第一课时 图形的相似

学习目标:

1.理解并掌握两个图形相似的概念.2.了解成比例线段的概念,会确定线段的比.3.知道相似多边形的性质.4.会根据相似多边形的特征性质识别两个多边形是否相似,并会运用其性质进行相关的计算.5.通过观察、归纳等数学活动,与他人交流思维的过程和结果,能用所学的知识去解决问题. 学习重难点:

1.重点:相似图形和相似多边形的性质.

2.难点:探索相似多边形对应角相等,对应边的比相等. 学习过程:

一、复习引入 指导预习

1.什么样的两个图形叫全等形?全等三角形有什么性质?

2.请同学们观察五星红旗,五星红旗上的大五角星与小五角星他们的形状、大小有什么关系?再如下图的两个画面,他们的形状、大小有什么关系. 3.自学27.1图形的相似思考下列问题: (1)什么样的两个图形叫相似图形? (2)什么是线段的比?什么叫比例线段?

(3)相似多边形有什么样的性质?如何判断两个多边形是否相似? 二、自主合作 探究新知

1.观察下列几组几何图形,你能发现它们之间有什么关系? 从而得出:具有相同形状的图形叫相似形.

对3组图形,通过图形的缩小或放大,再利用图形的平移或旋转等变换,使它与另一个图形能够重合,从而加以验证它们是相似的图形。

你还见过哪些相似的图形,请举出一些例子与同学们交流.

2.问题:如果把老师手中的教鞭与铅笔,分别看成是两条线段AB和CD,那么这两条线段的长度比是多少? 归纳:两条线段的比,就是两条线段长度的比.

成比例线段:对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,如{ EMBED Equation.3

(1)如果a=125cm,b=75cm,那么长与宽的比是多少? (2)如果a=1250mm,b=750mm,那么长与宽的比是多少?

2.已知:一张地图的比例尺是1:32000000,量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm,求北京到上海的实际距离大约是多少km?

例.已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14,若四边形ABCD的周长为40,求四边形ABCD的各边的长.

四.归纳提升 培养能力

1.相似图形的概念,相似多边形的性质。2,比例线段 五.达标反馈 落实目标

1.下列说法正确的是( )

A.小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B.商店新买来的一副三角板是相似的. C.所有的课本都是相似的. D.国旗的五角星都是相似的.

2.下列说法正确的是( )A.所有的平行四边形都相似 B.所有的矩形都相似

C.所有的菱形都相似 D.所有的正方形都相似

3.△ABC与△DEF相似,且相似比是,则△DEF 与△ABC与的相似比是( ).

A. B. C. D.

4.下列所给的条件中,能确定相似的有( )

(1)两个半径不相等的圆;(2)所有的正方形;(3

)所有的等腰三角形;(4)所有的等边三角形;(5)所

A

有的等腰梯形;(6)所有的正六边形.

5A/

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 3

1105.如图,△ABC与△A′B′C′相似,则∠C′= °,B′C′= . BB/CC/6.AB两地的实际距离为2500m,在一张平面图上的距离是5cm,那么这张平面地图的比例尺是多少?

7.已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似,四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm,如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm,那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少?

ac

?(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.

bd

3.思考:如图的左边格点图中有一个四边形,请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形.

问题:对于图中两个相似的四边形,它们的对应角,对应边的比是否相等.

【结论】:(1)相似多边形的特征:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等. 反之,如果两个多边形的对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似. (2)相似比:相似多边形对应边的比称为相似比. 问题:相似比为1时,相似的两个图形有什么关系?

结论:相似比为1时,相似的两个图形全等,因此全等形是一种特殊的相似形.

例(教材P37例题).

小结:求相似多边形中的某些角的度数和某些线段的长,可根据相似多边形的对应角相等,对应边的比相等来解题,关键是找准对应角与对应边,从而列出正确的比例式. 三.分层练习 变式提高

练习:1.一张桌面的长a=1.25m,宽b=0.75m,那么长与宽的比是多少?

|

第二课时 相似三角形的判定(1)

学习目标:

- 2 -

(1) 会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △;

(2) 知道当△ABC与△的相似比为k时,△与△ABC的相似比为1/k. (3) 理解掌握平行线分线段成比例定理 学习重难点

重点: 理解掌握平行线分线段成比例定理及其推论. 难点: 平行线分线段成比例定理的推论的推理证明. 学习过程:

一.复习引入 指导预习

1、相似多边形的主要特征是什么?相似三角形有什么性质? 2、全等三角形的判定方法有哪些?

3、1)在相似多边形中,最简单的就是相似三角形.

在△ABC与△A′B′C′中,如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且. 我们就说△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC∽△A′B′C′,k就是它们的相似比.反之如果△ABC∽△A′B′C′,则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且.

2)问题:如果k=1,这两个三角形有怎样的关系? 二.自主合作 探究新知

活动1.平行线分线段成比例定理

(1) 如图27.2-1),任意画两条直线l1 , l2,再画三条与l1 , l2 相交的平行线l3 , l4, l5.分别量度l3 , l4, l5.在l1 上截得的两条线段AB, BC和在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗?任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗?

(2) 问题,AB︰AC=DE︰( ),BC︰AC=( )︰DF.强调“对应线段的比是否相等” (3) 归纳总结:平行线分线段成比例定理 三条_________截两条直线,所得的________线段的比________。应重点关注:平行线分线段成比例定理中相比线段同线; 活动2.平行线分线段成比例定理推论

思考:1、如果把图27.2-1中l1 , l2两条直线相交,交点A刚落到l3上,如图27.2-2(1),,所得的对应线段的比会相等吗?依据是什么?

2、如果把图27.2-1中l1 , l2两条直线相交,交点A刚落到l4上,如图27.2-2(2),所得的对应线段的比会相等吗?依据是什么?

A

3、 归纳总结:平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线),所得的_______线段的比

D

E _________.

讨论:如图在?ABC中,点D是边AB的一点, DE∥BC,DE交AC于点E ,?ADE与?ABC有什么 关系?(教师引导证明)

B

C F

归纳:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。 三.分层练习 变式提高

1.如图,△ABC∽△AED, 其中DE∥BC,找出对应角并写出对应边的比例式.

2.如图,△ABC∽△AED,其中∠ADE=∠B,找出对应角并写出对应边的比例式.

例. 如图,在△ABC中,DE∥BC,AC=4 ,AB=3,EC=1.求AD和BD.

四.归纳提升 培养能力

(1) 谈谈本节课你有哪些收获.“三角形相似的预备定理”.这个定理揭示了有三角形一边的平行线,

必构成相似三角形,因此在三角形相似的解题中,常作平行线构造三角形与已知三角形相似.

(2) 相似比是带有顺序性和对应性的:

如△ABC∽△A′B′C′的相似比,那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是,它们的关系是互为倒数.

五.达标反馈 落实目标

1.如图,E是平行四边形ABCD的边BC的延

长线上的一点,连结AE交CD于F,则图中共有相似三角形( ) A、1对 B、2对 C、3对 D、4对 2.下列各组三角形一定相似的是( )

A.两个直角三角形 B.两个钝角三角形 C.两个等腰三角形 D.两个等边三角形

3.如图,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形一共有( )

A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

4.如图,在□ABCD中,EF∥AB,DE:EA=2:3,EF=4,求CD的长.

5.如图△ABC∽△DCA,AD∥BC,∠B=∠DCA.

(1)写出对应边的比例式; (2)写出所有相等的角;

(3)若AB=10,BC=12,CA=6.求AD、DC的长.

第三课时 相似三角形的判定(2)

学习目标:

1.掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似的判定定理;2.掌握两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似的判定定理。3、会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理。4、通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动,培养学生获得数学猜想的经验,激发学生探索知识的兴趣。

学习重难点

重点: 掌握两个判定定理,会运用两个判定定理判定两个三角形相似

- 3 -

难点:1.探究两个三角形相似的条件;2.运用两个三角形相似的判定定理解决问题。 学习过程:

一.复习引入 指导预习

(1) 两个三角形全等有哪些判定方法?SSS SAS ASA AAS

(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法?定义 、 (预备定理)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所成的三角形与原来三角形相似。

(3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系?相似比k=1时,两个相似三角形全等 二.自主合作 探究新知

活动1提出探讨问题:1、如图,如果要判定△ABC与△A’B’C’相似,

是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系?

2、可否用类似于判定三角形全等的SSS方法,能否通过一个三角形的三

条边与另一个三角形的三条边对应的比相等,来判定两个三角形相似

呢?

3、(教材P42页 探究2)任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍,度量这两个三角形的对应角,它们相等吗?这两个三角形相似吗?与同学交流一下,看看是否有同样的结论。 教师活动:带领学生画图探究并取k=1.5;

学生活动:学生细心观察思考,小组讨论后回答问题

教师活动:(1)提出问题:怎样证明这个命题是正确的呢? (2)教师带领学生探求证明方法.(已知、求证、证明)

如图27.2-4,在△ABC和△A′B′C′中,,求证△ABC∽△A′B′C′

【归纳】 三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等, 那么这两个三角形相似.

活动2

教师活动:1、提出探讨问题:可否用类似于判定三角形全等的SAS方法,能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等,来判定两个三角形相似呢?

2、出示(教材P44页 探究3)学生自主画图,展开探究活动.

【归纳】 三角形相似的判定方法2 两个三角形的两组对应边的比相等,且它们的夹角相等,那么这两个三角形相似.

归纳分析:判定两个三角形是否相似,可以根据已知条件,画草图,看是否符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法中,对于(1)由于是已知一对对应角相等及三条边长,因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”,对于(2)给的几个条件全是边,因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可,其方法是通过计算成比例的线段得到对应边.

三.分层练习 变式提高

练习:教材P45.1、2、3.

根据下列条件,判断△ABC与△A′B′C′是否相似. (1)∠B=100°,∠C=30°,∠A′=50°,∠B′=100°; (2)∠A=40°,AB=8,AC=15, ∠A=40°,A′B′=16,A′C′=20; (3)AB=4,BC=2,CA=3, A′B′=6,B′C′=3,C′A′=4.5. 四.归纳提升 培养能力 谈谈本节课你有哪些收获. 五.达标反馈 落实目标

1.在△ABC和△A'B′C′中,如果∠A=34°,AC=5cm,AB=4cm,∠A′=34°,A'C′=2cm,A′B′=1.6cm,那么这两个三角形能否相似的结论是______,理由是____________________.

2.在△ABC和△DEF中,如果AB=4,BC=3,AC=6;DE=2.4,EF=1.2,FD=1.6,那么这两个三角形能否相似的结论是____________,理由是__________________. 3.已知零件的外径为25cm,要求它的厚度x,需先求出它的内孔直径AB现用一个交叉卡钳(AC和BD的长相等)去量(如图),若OA:OC=OB:OD=3,CD=7cm。

求此零件的厚度x。

4.如图,△ABC中,点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,求证:△ABC∽△DEF.

5.已知:如图,在四边形ABCD中,∠B=∠ACD,AB=6,BC=4,AC=5,CD=,求AD的长.

第四课时 相似三角形的判定(3)

学习目标::

1.经历两个三角形相似的探索过程,进一步发展学生的探究、交流能力. 2.掌握“两角对应相等,两个三角形相似”的判定方法. 3.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题. 学习重难点

重点:三角形相似的判定方法3——“两角对应相等,两个三角形相似” 难点:三角形相似的判定方法3的运用. 学习过程:

活动3 例题讲解

- 4 -

一.复习引入 指导预习

(1)我们已学习过哪些判定三角形相似的方法?

2

(2)如图,△ABC中,点D在AB上,如果AC=AD?AB, 那么△ACD与△ABC相似吗?说说你的理由.

(3)如(2)题图,△ABC中,点D在AB上,如果∠ACD=∠B,

那么△ACD与△ABC相似吗?——引出课题.(也可用两副三角板引出课题) 二.自主合作 探究新知

活动1.教材P46的探究3 .

师生【归纳】

三角形相似的判定方法3 如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等,那么这两个三角形相似. 活动2例题讲解

例1. 如图27·2-7,弦AB和CD相交于⊙O内一点P,

求证:PA·PB=PC·PD。

分析:欲证PA·PB=PC·PD,只需,欲证只需?PAC∽?PDB,欲证?PAC∽?PDB,只需∠A=B∠D,∠C=∠B。 C

活动3

学生活动:学生自主阅读(教材47页),展开探究活动 三.分层练习 变式提高

练习:教材P48的练习1、2.

例2 已知:如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于F,若AB=4,AD=5,AE=6,求DF的长. 四.归纳谈谈本五.达标1.如图

于E交AB于F,则图中相似三角形的对数有 对。

2.已知:如图,∠1=∠2=∠3,求证:△ABC∽△ADE.

3.下列说法是否正确,并说明理由.

(1)有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形; (2)有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形.

4.已知:如图,DE∥BC,求证:(1)△ABC∽△ADE;(2)AB·AE=AC·AD.

5.完成下面的证明过程: 已知:如图,∠B=∠ACD.

2

求证:AC=AB·AD.

证明:∵∠B=∠ACD,∠A=∠A, ∴△ ∽△ . ∴.

2

∴AC=AB·AD.

6.已知:如图,AD=2DB,AE=2EC. 求证:(1); (2)DE∥BC.

ADB

E

CB

C

A

DB

EC

第五课时 相似三角形应用举例

学习目标:

1. 进一步巩固相似三角形的知识.

2. 能够运用三角形相似的知识,解决不能直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、

盲区问题)等的一些实际问题.

3. 通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,进一步了解数学建模的思想,培养分析问题、解决问题

的能力. 学习重难点

1.重点:运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.

2.难点:灵活运用三角形相似的知识解决实际问题(如何把实际问题抽象为数学问题). 学习过程

一.复习引入 指导预习

提升 培养能力

节课你有哪些收获. 反馈 落实目标 AD⊥AB于D,CE⊥AB

- 5 -

1、判断两三角形相似有哪些方法? 2、相似三角形有什么性质?

3、学校操场上的国旗旗杆的高度是多少?你有什么办法测量? 师生活动:学生小组讨论;师生共同交流. 二.自主合作 探究新知

活动1.例3:据史料记载,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度.如图,如果木杆EF长2 m,它的影长FD为3 m,测得OA为201 m,求金字塔的高度BO. (思考如何测出OA的长?)

师生活动:学生小组讨论;师生共同交流,画出示意图:通过观察示意图,使学生建立起相似图形的几何直觉,并能明确表述求OA的方法中蕴含的数学知识。

分析:根据太阳光的光线是互相平行的特点,可知在同一时刻的阳光下,竖直的两个物体的影子互相平行,从而构造相似三角形,再利用相似三角形的判定和性质,根据已知条件,求出金字塔的高度. 活动2.问题:估算河的宽度,你有什么好办法吗?

例4 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS = 45 m,ST = 90 m,QR = 60 m,求河的宽度PQ.

师生活动:学生先小组讨论;教师在这一活动中重点关注学生们探究的主动性,特别应

关注那些平时学习有一定困难的学生,他们往往在解决实际问题时,显示出创造的能力,这也是树立这些学生自信心的一个契机,然后通过例4进一步完善学生们的想法,让学生体会用数学知识解决实际问题的成就感和快乐..

分析:设河宽PQ长为x m ,由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线,故可得到相似三角形,因此有,即.再解x的方程可求出河宽.

解:略(见教材P49) 活动3.例5已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB = 8 m和CD = 12 m,两树根部的距离BD = 5 m.一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进,当他与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端点C? 三.分层练习 变式提高 1.某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,

某一高楼的影长为90米,那么高楼的高度是多少米? (在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.) 2、如图,测得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求河宽AB。 四.归纳提升 培养能力 谈谈本节课你有哪些收获. 五.达标反馈 落实目标

1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?

2.小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地面的高度

DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高?

3.如图:小明想测量一颗大树AB的高度,发现树的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面CB上,测得CD=4m,BC=10m,CD与地面成30度角,且测得1米竹杆的影子长为2米,那么树的高度是多少?

C

4 、如图,要在底边BC=160cm,高AD=120cm的△ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH,使点H在AB上,点G在AC上,点E,F在BC上,AD交HG于点M,此时有AM/AD=HG/BC (1)设矩形EFGH的长HG=y,宽HE=X,确定y与X的函数关系式 (2)当X为何值时,矩形EFGH的面积S最大?

第六课时 相似三角形的周长与面积

学习目标:

1、相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比。

2、 理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方. 3、 能用三角形的性质解决简单的问题. 学习重难点

1.重点:相似三角形的性质与运用.

2.难点:相似三角形性质的灵活运用,及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解,特别是对它的反向应用的理解,即对“由面积比求相似比”的理解. 学习过程:

一.复习引入 指导预习

1.复习提问:已知: ?ABC∽?A’B’C’,根据相似的定义,我们有哪些结论? (从对应边上看; 从对应角上看:)

问:两个三角形相似,除了对应边成比例、对应角相等之外, 我们还可以得到哪些结论? 2.思考:

(1)如果两个三角形相似,它们的之间有什么关系? (2)如果两个三角形相似,它们的面积之间有什么关系? (3)两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系? 二.自主合作 探究新知

活动1.推导教材P51探究.相似三角形的结论——相似三角形的性质: 性质1 相似三角形周长的比等于相似比,对应高的比等于相似比。 即:如果 △ABC ∽△A′B′C′,且相似比为k ,那么 . 性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方.

即:如果 △ABC ∽△A′B′C′,且相似比为k , 那么 . 相似多边形的性质1.相似多边形周长的比等于相似比.

相似多边形的性质2.相似多边形面积的比等于相似比的平方.

- 6 -

活动2.例题讲解

例1如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,△ABC的周长A是24,面积是12,求△DEF的周长和面积.

D

BCEF

三.分层练习 变式提高

练习:教材P53页.1、2.

例 2(补充) 已知:△ABC ∽△A′B′C′,它们的周长分别是 60 cm 和72 cm,且AB=15 cm,B′C′=24 cm,求BC、AB、A′B′、A′C′的长.

四.归纳提升 培养能力 谈谈本节课你有哪些收获. 五.达标反馈 落实目标 1.填空:

(1)如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ,那么它们的相似比为________,周长的比为_____,面积的比为_____.

(2)如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ,那么它们的相似比为________,周长的比为________.

(3)连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______,面积比等于_______.

(4)两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm,若较大三角形的周长是42 cm ,面积是12 cm 2,则较小三角形的周长为________cm,面积为_______cm2. 2.如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形相似吗?如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.

(第3题

)

3.如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点(P异于A、D),Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ,过P作PE∥DQ交AQ于E,作PF∥AQ交DQ于F. (1)求证:△APE∽△ADQ;

(2)设AP的长为x,试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式,并求当P在何 处时,S△PEF取得最大值?最大值为多少?

(3)当Q在何处时,△ADQ的周长最小?(须给出确定Q在何处的过程或方法,不必给出证明)

P

A

E

B

Q

C

第七课时 位似(1)

学习目标:

1.了解位似图形及其有关概念,了解位似与相似的联系和区别,掌握位似图形的性质. 2.掌握位似图形的画法,能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小. 学习重难点:

重点:位似图形的有关概念、性质与作图. 难点:利用位似将一个图形放大或缩小. 学习过程:

一.复习引入 指导预习

1.相似三角形的性质又哪些? 2.相似三角形的判定方法有哪些?

3.观察:在日常生活中,我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形,它们有什么特征?

4.问:已知:如图,多边形ABCDE,把它放大为原来的2倍,即新图与原图的相似比为2.应该怎样做?你能说出画相似图形的一种方法吗? 二.自主合作 探究新知

活动1.建构新知:位似图形及其有关概念

如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.

2、让学生进一步操作,亲身感受位似图形与相似图形的联系与区别。通过观察、思考、交流、讨论得出如下结论:位似图形是一种特殊的相似图形,而相似图形未必都能构成位似关系。 活动2.例题讲解

例1如图,指出下列各图中的两个图形是否是位似图形,如果是位似图形,请指出其位似中心.

- 7 -

A. 3∶2 B. 2∶3 C. 5∶2 D. 5∶3

第八课时 位似(2)

分析:位似图形是特殊位置上的相似图形,因此判断两个图形是否为位似图形,首先要看这两个图形是否相似,再看对应点的连线是否都经过同一点,这两个方面缺一不可. 例2(教材P61例题)把图1中的四边形ABCD缩小到原来的.

分析:把原图形缩小到原来的,也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 .

作法一: 作法三: 作法二:

三、分层练习 变式提高 练习1.教材P60.1、2

2.画出所给图中的位似中心.

学习目标:

1.巩固位似图形及其有关概念.2.会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换,掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律.3.了解四种变换(平移、轴对称、旋转和位似)的异同,并能在复杂图形中找出这些变换. 学习重难点:

重点:用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换.

难点:把一个图形按一定大小比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律. 学习过程:

一.复习引入 指导预习

1、我们学习了哪几种变换?

2、什么叫位似图形?怎样画一个图形关于某点的位似图形?

1.如图,△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),(1)将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1,写出A1、B1、C1三点的坐标;

(2)写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标; (3)将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3,写出A3、B3、C3三点的坐标. 二.自主合作 探究新知

活动1探究:(1)如图,在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为,把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化,你有什么发现?

(2)如图,△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以点O为位似中心,相似比为2,将△ABC放大,观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现?

【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律:在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

活动2.例题讲解

例1(教材P62的例题)

问:你还可以得到其他图形吗?请你自己试一试! 解法二:点A的对应点A′′的坐标为(-6×,6×),即A′′(3,-3).类似地,可以确定其他顶点的坐标.(具体解法与作图略)

3.把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍. 四.归纳提升 培养能力 谈谈本节课你有哪些收获. 五.达标反馈 落实目标

1 下列说法正确的是( )A.两个图形如果是位似图形,那么这两个图形一定全等;B.两个图形如果是位似图形,那么这两个图形不一定相似;C.两个图形如果是相似图形,那么这两个图形一定位似;D.两个图形如果是位似图形,那么这两个图形一定相似。

2 下列每组图中的两个多边形,是位似图形的是( )

3下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形,它们的位似中心是( ) A. 点E B. 点F C.点G D.点D

4 已知上图中,AE∶ED=3∶2,则四边形ABCD与四边形EFGD的位似比为( )

- 8 -

例2(教材P63)在右图所示的图案中,你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗?

分析:观察的角度不同,答案就不同.如:它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角,连续旋转八次得到的旋转图形;它还可以看作位似中心是图形的正中心,相似比是4∶3∶2∶1的位似图形,……. 解:答案不惟一,略.

三、分层练习 变式提高 练习 1.教材P62.1、2

2.△ABO的定点坐标分别为A(-1,4),B(3,2),O(0,0),试将△ABO放大为△EFO,使△EFO与△ABO的相似比为2.5∶1,求点E和点F的坐标.

3.如图,△AOB缩小后得到△COD,观察变化前后的三角形顶点,坐标发生了什么变化,并求出其相似比和面积比. 四.归纳提升 培养能力 谈谈本节课你有哪些收获. 五.达标反馈 落实目标

1. 如图,已知△ABC和点O.以O为位似中心,求作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长 缩小到原来的一半.

2. 如图,在直角坐标系中,△ABC的各个坐标为A(-1,1),B(2,3)(0,3)。

现要以坐标原点0为位似中心,位似比为,作△ABC的位似图形△A/B/C/,则它的顶点A、B、C的坐标各是多少?

第九课时 相似三角形(复习)

学习目标

1.知道第二十七章相似的知识结构图.

2.通过基本训练,巩固第二十七章所学的基本内容.

3.通过典型例题的学习和综合运用,加深理解第二十七章所学的基本内容,发展能力. 学习重点和难点

1.重点:知识结构图和基本训练. 2.难点:典型例题和综合运用. 学习过程:

一.复习引入 指导预习 归纳总结,完善认知

三边比相等

判定

相似图形形状相同特殊位似图形

相似多边形对应角相等对应边的比相等

性质

面积比等于相似比的平方

相似三角形

两边比及夹角相等两角相等

斜边及一直角边比相等周长比等于相似比

AF

E

二.自主合作 探究新知

BC例1 已知:如图,D、E、F分别是△ABC三边BC、CA、AB的中点.

D

求证:△ABC∽△DEF.

(先让生尝试,然后师分析证明思路,最后师生共同完成证明过程,证明过程如下)

例2 如图,△ABC是一块三角形材料,边BC=120毫米,高AD=80毫米,要把它加工成正方形零件,使正方形的

A

一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少? (先让生尝试,然后师分析解题思路,最后师边讲解边板书,解题过程如下)

E

F

BC

D

三、分层练习 变式提高

1在比例尺为1:10000000的地图上,量得甲、乙两地距离是30厘米,则两地的实际距离为 千米. 2如图,四边形EFGH相似于四边形KNML,则∠E= °,∠G= °,∠N= °,x= ,y= ,z= . A3图中两个三角形相似的是 . 6

5.2D

2.63E?3

75? 6.14

2

4

45?

BC

(1)

(2)

(3)

- 9 -

C4如图,∠C=∠ADE,则△ABC∽△ ,.

5如图,Rt△ABC中,CD是斜边上的高,则△ABC∽△ ,.

A6如图,弦AB和CD相交于⊙O内一点P,则PA· =PC· . 7△ABC的三边分别为5、12、13,与它相似的△DEF的最小边长为15,则△DEF

D8一个四边形的各边扩大为原来的3倍,则这个四边形的面积扩大为原来的

倍. B四.归纳提升 培养能力

谈谈本节课你有哪些收获.

五.达标反馈

落实目标

1.填空:有一块三角形的草地,它的一条边长为25米,在图纸上,这条边的长为5厘米,其他两条边的长为4厘米,则其他两边的实际长度是 米.

2.填空:卓玛要在报纸上刊登广告,一块10cm×5cm的长方形版面要付180元的广告费,如果要把版面的边长扩大为原来的3倍,要付广告费 元.

3.填空:如图,PS⊥a,PS⊥b,测得QS=45米,ST=90米,QR=60米,则河宽PQ=

米.

4.如图,矩形草坪长30m,宽20m,沿草坪四周

有1m宽的环行小路,小路内外边缘所形成的两

个矩形相似吗?说出你的理由.

5.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,它的另外两条边长应当是多少?你有几个答案?

6.已知:如图,ABCD是正方形,BP=3PC,Q是CD的中点. AD 求证:△ADQ∽△QCP.

Q

BC

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