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第二章 二次函数(天府前言)未校稿

发布时间:2013-12-10 15:31:14  

第二章 二次函数

第一节 二次函数所描述的关系

【今日复习】

1.二次函数的定义:一般地,形如的函数,叫作二次函数.

2.二次函数的识别:已知函数y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数).

(1)当时,是二次函数.

(2)当,时,是一次函数.

(3)当,,

名师点拨

1.字母系数,应特别注意二次项系数是否为零.

2.确定字母系数的值则是根据条件构建方程组,通过求方程组的解求得问题的解.

【同步阶梯训练】

A级(双基过手)

一、填空题

1.(1)某种商品的价格是2元,准备进行两次降价.如果每次降价的百分率都是x,经过两次降价后的价格y(单位:元)与x之间的函数关系式为 .

(2)二次函数y=ax2+bx-3过点(2,4),则代数式8a+4b+1的值为.

2.二次函数y=ax2中,当x=-1时,y=-3,则a= .

3.如果函数y?(k?3)xk?3k?2?kx?1是二次函数,则k的值一定是.

4.(1)一个圆柱的高等于底面半径,则它的表面积S与半径r之间的关系式为

(2) n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,则比赛的场次m与球队数n之间的关系式为 .

二、选择题

5.若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点 ( )

A.(2,4) B.(-2,-4) C.(-4,2) D.(4,-2)

6.下列函数:①y=x2+x+1,②y=2x2,③y?21,④y?x2?x?1中,是二次函数的有 ( ) 2x

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7.函数y?(m?n)x2?mx?n是二次函数的条件是 ( )

A.m、n是常数,且m≠0 B.m、n是常数,且n≠0

C.m、n是常数,且m≠n D.m、n为任何实数

8.若函数y?(2?m)xm?2是二次函数,则m的值是 ( )

A.2 8.-2 C.±2 D.±1

三、解答题

9.当m是何值时,下列函数是二次函数?并写出这时的函数关系式.

(1)y?mxm22?3m?4,m2,y; . (2) y?(m?1)xm?m,m,my(3) y?(m?4)xm2?3m?2,y10.(1)一辆汽车的行驶距离s(单位:m)与行驶时间t(单位:s)的函数关系式是s?9t?12t,2

经12s汽车行驶了多远?行驶380 m需要多少时间?

(2)函数y?(kx?1)(x?3),当k为何值时,y是x的一次函数?当k为何值时,y是x的二次函数?

B级(能力提升)

一、填空题

11.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元的价格出售,每天可销售100件.现

在他采用提高售出价、减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每提高1元,其销售

量就要减少10件.若他将售出价定为x元,每天所赚利润为y元,则y与x之间的函数表达式为 .

12.已知函数y?(a?1)x2?bx是二次函数,函数y?ax?b是一次函数且其图象不经过第

一象限,则符合上述条件的a、b的一组值为 .

13.如图1,苗圃的形状是直角梯形ABCD,AB∥DC,BC⊥CD.其中AB、AD是已有的

墙,∠BAD=135°,另外两边BC与CD的长度之和为30 m.如果梯形的高BC为变量x(m),梯形的面积为y(m2),则y与x的关系式是.

二、解答题

14.如图2,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P从点A开始沿边AB

向B以2 mm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动.已知P、Q分别从A、B同时出发,求△PBQ的面积S与出发时间t的函数关系式,并求出t的取值范围.

C级(综合拓展)

15.把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起,使三角板

EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合(如图3).现将三角板EFG绕O点按顺时针方向旋转(旋转角α满足条件:0°<α<90°),四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图4).

(1)在上述过程中,BH与CK有怎样的数量关系?证明你发现的结论.

(2)连结HK,在上述旋转过程中,设BH=x,△GKH的面积为y.

①求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

②当△GKH的面积恰好等于△ABC面积的 5时,求此时BH的长.

16

第二节 结识抛物线

【今日复习】

1.函数y=±x2的图象和性质.

2.二次函数y=x2的图象是一条开口向 的 .当x 时,y随x的增大而减小;当时,y随x的增大而增大;当x取时,y取最小值为y=x2的顶点坐标是 ,该点也是图象的最低点.抛物线y=x2关于 对称.

名师点拨

1.说明函数y=±x2函数值的增减性时,分在对称轴的左侧(即x<0时)和在对称轴的右侧(即x>0时)两种情况.

2.点在函数图象上,则点的坐标使函数解析式成立.

【同步阶梯训练】

A级(双基过手)

一、填空题

1.若二次函数y?(m?1)xm?2的图象开口向下,则

2.已知函数y=ax2,当y=1时,y=3,则a= ,对称轴是 ,顶点是 ,抛物线的开口向 ,在对称轴的左侧,y随x增大而 ,当x= 时,函数y取最 值 .

3.抛物线y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于(1,b),则,,抛物线的解析式为,开口向 ,顶点坐标为 ,对称轴是 .

4.函数y?x,y?2212x,y??2x2的图象大致如图1所示,则开口由小到大2

依次是 (填序号).

图象①对应的函数为 ,

图象②对应的函数为 ,

图象③对应的函数为 .

二、选择题

5.下列函数中,y随x增大而增大的是 ( )

A.y??3112 B.y??x?5 C.y??x D.y?x(x?0) x22

6.下列判断中正确的一项是 ( )

A.函数y=ax2的图象开口向上,函数y=-ax2的图象开口向下

B.二次函数y=ax2,当x<0时,y随x的增大而增大

C.y=2x2与y=-2x2图象的顶点、对称轴、开口方向完全相同

D.抛物线y=ax2与y=-ax2的图象关于x轴对称

7.已知a<0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图象有可能是 (

)

8.已知原点是抛物线y=(m+1)x的最高点,则m的取值范围是 ( )

A.m<-1 B.m<1 C.m>-1 D.m>-2

三、解答题

9.在如图2所示的直角坐标系中,画出下列函数y?2x,y?

的图象.

22 121x,y??2x2与y??x2 22

10.已知直线y=kx与抛物线y=ax都经过点(-1,6).

(1)求直线及抛物线的解析式;

(2)判断点(k,a)是否在抛物线上;

(3)求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标;

(4)讨论y=ax2的增减性.

B级(能力提升

) 2

一、填空题

11.把抛物线y=-4x2绕其顶点旋转l80°,得到的抛物线解析式为 .

12.如图3,四边形OABC是边长为l的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15°,点B在

2抛物线y=ax(a<0)的图象上,则a的值为.

13.若一抛物线y=ax与四条直线x=1、x=2、y=1、y=2围成的正方形有公共点,则a的取

值范围是 .

二、解答题 2

14.有一桥孔形状是一条开口向下的抛物线y??12x. 4

(1)作出这条抛物线;

(2)利用图象,当水面与抛物线顶点的距离为4m时,求水面的宽;

(3)当水面宽为6 m时,水面与抛物线顶点的距离是多少?

C级(综合拓展)

15.如图4,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°,AE⊥BD于点E,F是

CD的中点,DG是梯形ABCD的高.

(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;

(2)设AE=x,四边形DEGF的面积为y,求y关于x的函数关系式;

(3)判断(2)中所求函数的增减性.

第三节 刹车距离与二次函数(1)

【今日复习】

1.画实际问题中的函数图象时,应根据自变量的取值范围画图,在列表时应根据自变量的取值范围列表.

2.函数y=ax2(a≠0)的图象是,顶点坐标是a>0时,开口向 ;当a<0时,开口向 .

3.抛物线y=ax2,当a>0时,在抛物线的对称轴的左侧,y随x的增大而 ;而在对称轴的右侧,y随x的增大而 .

名师点拨

1.注意y=ax2(a≠0)中a的符号,从而讨论它的图象及性质.

2.合理建立直角坐标系,结合图象,根据相关线段长写出点的坐标.由点的坐标求相应线段长,是顺利解决问题的关键.

【同步阶梯训练】

A级(双基过手)

一、填空题

1.(1)抛物线y=2x2向下平移3个单位,所得抛物线的解析式为 ,此时抛物线的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .

(2)抛物线y=-2x2向上平移2个单位,所得抛物线的解析式为 ,此时抛物线的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .

2.抛物线y=ax2+c的开口方向、大小与抛物线y=3x2相同,且顶点坐标为(0,1),则a= ,

23.已知抛物线y=-2x-1,当时,y随x增大而减小.

4.已知抛物线y??12x?3,当时,函数取得最 2

1 x二、选择题 5.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的是 ( ) A.y??x?1 B.y?x2?1 C.y?D.y??x2?1

6.在平面直角坐标系中,抛物线y?x2?1与x轴的交点的个数是 ( )

A.3 8.2 C.1 D.0

7.抛物线y=ax2+b的图象如图1所示,则下列各式中正确的是( )

A.a>0,b<0

B.a>0,b>0

C.a<0,b<0

D.a<0,b>0

8.如图2是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m,水面宽4 m如图3建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是 (

)

A.y??2x B.y?2x

C.y?22 121x D.y??x2 22

三、解答题

1211x,y??x2?2,y?x2?2的开口方向、对称轴及顶点. 222

210.(1)已知抛物线y?ax?c经过点(-1,2)和点(0,-4),求该抛物线的解析式. 9.分别指出抛物线y?

(2)若抛物线y?ax?c经过点A(-3,2)、B(0,-1),求该抛物线的解析式.

B级(能力提升)

一、填空题

11.将抛物线y=x2向下平移h个单位所得到的抛物线经过点(2,1),则平移后的抛物线与x

轴的交点坐标为 .

12.(1)写出顶点坐标为(0,-3),开口方向与抛物线y=-x2的方向相反,形状相同的抛物线解

析式为 .

(2)抛物线y=4x2++1关于x轴对称的抛物线解析式为.

13.如图4,抛物线y=x2+1与双曲线y?2k的交点A的横坐标是1,则关于x的不等式x

k?x2?1?0的解集是.

x

二、解答题

14.如图5,已知抛物线的顶点为A(0,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在

x轴上,CF交y轴于点B(0,2),且其面积为8.求此抛物线的解析式.

C级(综合拓展)

15.已知直线y=-2x+4与抛物线y=ax2+b相交于A(-3,m)、B(1,n)两点,O为坐标原点.抛

物线y=ax2+b与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象;

(3)求△ABC的面积.

第三节 刹事距离与二次函数(2)

【今日复习】

1.函数y=ax2+c的图象的性质:函数y=ax2+c,当a>0时,图象开口向对称轴是,且在y轴的左侧,y随x的增大而 ,在y轴的右侧,y随x的增大而 ,其顶点坐标是 ,且当x=0时,y取最 值,为 .

2.函数y=ax2+c与y=ax2的图象的关系: 函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象沿y轴上、下平移得到.当c>0时,y=ax2+c的图象由y=ax2的图象向 平移 个单位得到;当c<0时,y=ax2+c的图象由y=ax2的图象向 平移 个单位得到.

名师点拨

1.正确理解题意,建立恰当的坐标系.利用抛物线的图象和性质顺利解决问题.

2.抛物线y=ax2+c(a≠0)的对称轴为y轴,因而若点P(x,y)在抛物线上,则点P′(-x,y)也在该抛物线上.

【同步阶梯训练】

A级(双基过手)

一、填空题

1.抛物线y=-x2+1的顶点坐标是x<0时,y随x的增大而当x>0时,y随x的增大而 .

2.已知直线y=-x+1与抛物线y=ax2+4相交于点A(-2,m),O为坐标原点,那么该抛物线开口 .

3.抛物线y=ax2-1与y=-2x2+b关于x轴对称,则,

4.已知抛物线y=x2-2与直线y=x+k有交点,则k的取值范围为

二、选择题

5.若正比例函数y=mx(m≠0),y随x的增大而减小,则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是 ( )

6.在抛物线y=x-4上的一个点是( )

A.(4,4) B.(1,-4) C.(2,0) D.(0,4)

7.已知函数y1=x2与函数y2??

值范围是 ( )

A.?2

1x?3的图象大致如图1所示,若y1<y2,则自变量x的取233?x?2 B.x?2或x??

22

C.?2?x?

8.将抛物线y=2x2向下平移1个单位,得到的抛物线是 ( )

A.y=2(x+1)2 B.y=2(x-1)2 C.y=2x2+1 D.y=2x2-1

三、解答题

9.在如图2所示的直角坐标系内,描点画出二次函数y?

并写出对称轴及顶点坐标.

3 2D.x??2或x?3 2121x?3与y?x2?2的图象,33

10.抛物线y=ax+c经过直线y=x-1和y=-2x-4的交点A,顶点B在直线y=2x-3上.

(1)求抛物线的解析式;

(2)求抛物线的顶点B到直线y=x-1的距离.

B级(能力提升)

一、填空题

11.如图3,两条抛物线y1??2 121x?1和y2?x2?1与分别经过点(-2,0)、(2,0)且平行22

于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 .

12.已知点A(-3,y1)、B(-1,y2)、C(2,y3)在抛物线y?

关系是 . 22x?2上,则y1、y2、y3的大小3

13.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx(k为常数)与抛物线y?12x?2交于A、B两点,3

且A点在y轴左侧,P点坐标为(0,-4),连结PA、PB.有以下说法:

①PO2=PA·PB;②当k>0时,(PA+AO)(PB-BO)的值随k的增大而增大;

③当k?时,BP2=BO·BA;④△PAB

面积的最小值为.

其中正确的是

二、解答题

14.如图5,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在的直线为x轴,建立平面直角坐 .(写出所有正确说法的序号)

标系,点B的坐标为(2,0).若抛物线y?

点,求实数k的取值范围.

12x?k与扇形OAB的边界总有两个公共2

C级(综合拓展)

15.如图6,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB<AC,M是BC边的中点,MN⊥BC交AC

于点N,动点P从点B出发沿射线BA

同时,动点Q从点N出发沿射线NC运动,且始终保持MQ⊥MP.设运动时间为t秒(t>0).

(1)△PBM与△QNM相似吗?以图6为例说明理由.

(2)若∠ABC=60°,

AB=

①求动点Q的运动速度;

②设Rt△APQ的面积为S(平方厘米),求S与t的函数关系式.

(3)探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系,以图7为例说明理由.

第四节 二次函数y=ax+bx+c的图象(1)

【今日复习】

1.一般地,将函数y=ax2的图象向左(右)平移h个单位,就得到y=a(x±h)2的图象,再向上(下)

2平移k个单位,就得到y=a(x±h)±k(h>0,k>0)的图象.

22.二次函数y=a(x-h)+k的图象的性质:

(1)当a>0时,抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向向,对称轴是直线是 ,当x>h时,y随x的增大而 ,当x<h时,y随x的增大而 ,当x=h时,函数取最值为

(2)当a<0时,抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向向,对称轴是直线是 ,当x>h时,y随x的增大而 ,当x<h时,y随x的增大而 ,当x=h时,函数取最 值为 .

名师点拨

1.抛物线的平移只改变它的位置,而不改变其形状和开口方向,即a值不变,顶点坐标变,看顶点需进行怎样的平移.简记:左加、右减,上加、下减.

2.解题规律与方法:五点画图中的交点求法.

【同步阶梯训练】

A级(双基过手)

一、填空题

1.(1)把抛物线y=x2向左平移1个单位,所得抛物线的函数表达式为 .

(2)抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标是.

2.抛物线y??(x?2)的开口向,对称轴是可由抛物线y??2 152

3.某抛物线和y=2x2的图象形状相同,开口方向相同,对称轴平行于y轴,且顶点坐标是(1,0),则此抛物线的解析式为 12x向5个单位得到.

4.已知抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的顶点坐标是(-2,0),且图象经过点(-4,2),则

a= ,

h=

二、选择题

5.二次函数y=2(x-1)2+3的图象的顶点坐标是 ( )

A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,-3) D.(-1,-3)

26.二次函数y=-x+bx+c的图象如图1所示,若点A(x1,y1)、B(x2,y2)

在此函数图象上,x1<x2<1,y1与y2的大小关系是 ( )

A.y1≤y2

B.y1<y2

C.y1≥y2

D.y1>y2

7.将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度,再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为 ( )

A.y?(x?1)2?3 B.y?(x?1)2?3

C.y?(x?1)2?3 D.y?(x?1)2?3

8.在同一平面坐标系内,图象不可能由函数y=2x2的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是( )

A.y?2(x?1)2 B.y?2x2?3 C.y?

三、解答题

9.在同一直角坐标系内,描点画出二次函数y??

写出对称轴及顶点坐标.

10.(1)已知抛物线y?a(x?h)(a?0)的顶点坐标为(3,0),且经过点(4,2),求该抛物线

的解析式.

(2)同时抛掷A、B两个均匀的小立方体(每个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6),设两立方体朝上的数字分别为x、y,并以此确定点P(x,y),求点P落在抛物线y??x?3x上的概率.

B级(能力提升)

一、填空题

11.如图2,已知抛物线y?x?bx?c的对称轴为x?2,点A、B均在抛物线上,且AB

与x轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为 . 22212x?1 D.y??2x2?1 211(x?2)2与y??(x?1)2的图象,并44

12.如图3,已知点A(4,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O、A).过

P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时,这两个二次函数的最大值之和等于 .

13.已知实数x、y满足x2?3x?y?3?0,则x+y的最大值为二、解答题

14.如图4,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y?

B,顶点为A,连结OA.

(1)求点A的坐标和∠AOB的度数.

(2)若将抛物线y?. 12x?2x与x轴相交于O、212x?2x向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线m,2

其顶点为点C.连结OC和AC,把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′.试判断其形状,并说明理由.

C级(综合拓展)

15.如图5,抛物线y?? 323x?x?3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y84

轴交于点C.

(1)求点A、B的坐标;

(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于.△ACB的面积时,求点D的坐标.

第四节 二次函数y=ax+bx+c的图象(2)

【今日复习】

二次函数y?ax?bx?c可以配方成2.

名师点拨

1.作抛物线时必须抓住特殊点及对称性.

2.把二次函数一般式化成顶点式,并能根据顶点式解决一些问题.

【同步阶梯训练】

A级(双基过手)

一、填空题 22

1.已知函数y?2(x?1)?1,当y随x的增大而减小;当时,y随x的增大而增大;当x= 时,y有最 值.

2.抛物线y?

向 21112(x?1)2?2与抛物线y?x2的形状把抛物线y?x先222平移 个单位,再向 平移 个单位,就可以得到抛物线

1(x?1)2?2,其开口 2

23.在二次函数y??x?2x?1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是. y?

4.已知抛物线y?x2?2x?3与x轴的右边交点为A,与y轴的交点为B,则经过A、B两点的直线的解析式为 .

二、选择题

5.若抛物线y?x2?2x?c与y轴的交点为(0,-3),则下列说法不正确的是 ( )

A.抛物线开口向上

B.抛物线的对称轴是x=1

C.当x=1时,y的最大值为-4

D.抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0)

6.在平面直角坐标系中,若将抛物线y?2x2?4x?3先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ( )

A.(-2,3) B.(-1,4) C.(1,4) D.(4,3)

7.抛物线y?a(x?1)2?2的一部分如图1所示,该抛物线在Y轴右侧部分与2轴交点的坐标是( )

A.(1,0) 2

B.(1,0)

C.(2,0)

D.(3,0)

8.如图2,有对称轴相同的两条抛物线,下列关系不正确的是( )

A.h=m

B.k=n

C.k>n

D.h>0,k>0

三、解答题

9.(1)在同一直角坐标系内,描点画出二次函数y?

象,并写出对称轴及顶点坐标.

(2)通过配方将下列函数写成y?a(x?h)?k的形式:①y?2x?4x;②2211(x?2)2?2与y?(x?1)2?2的图22

1y??x2?2x?2. 2

10.某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为1米的喷水管喷出的

抛物线水柱最大高度为3米,此时离喷水口的水平距离为1米,求在如图3所示的平2

面直角坐标系中抛物线水柱的解析式(不要求写出自变量的取值范围).

B级(能力提升)

一、填空题

2 11.在平面直角坐标系中,如果抛物线y?2x不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移

2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是.

12.抛物线y??x

上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表:

2

从上表可知,下列说法正确的个数是 .

①抛物线与x轴的一个交点为(-2,0);②抛物线与y轴的交点为(0,6);③抛物线的对称轴是x=1;④在对称轴左侧y随x的增大而增大.

13.如图4,点A、B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y?a(x?m)2?n的顶点在线

段AB上运动,与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为-3,则点D的横坐标最大值为

.

二、解答题

14.如图5,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式.

(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)点M是抛物线上一点,以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标.

C级(综合拓展)

15.如图6,在平面直角坐标系中,抛物线y??x2?2x?3与x轴交于A、B两点,与y

轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.

(1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标.

(2)点P是x轴上一个动点,过P作直线l∥AC交抛物线于点Q试探究:随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出M点的坐标.

第四节 二次函数y=ax+bx+c的图象(3) 2

【今日复习】

二次函数的图象与性质:

(1)开口方向:当

(2)对称轴:直线

(3)顶点坐标:).

(4)增减性:当a>0时,在对称轴侧,y随x的增大而;在对称轴侧,y随x的增大而 .当a <0时,在对称轴 侧,y随x的增大而 ;在对称轴 侧,y随x的增大而 .

(5)最大或最小值:当函数有最小值,并且当y取最小值;当

函数取最大值,并且当x=

名师点拨 时,y取最大值=

2 . 1.与x轴的交点个数:当??b?4ac?0时,函数与x轴有两个不同的交点;

??b2?4ac?0时,函数与x轴没有交点;??b2?4ac?0时,函数与x轴只有一个交点.

2.函数值的正、负性:如图1,当x<x1或x>x2时,y>0;当x1<x<x2时,y<0.如图2,当x1<x<x2时,y>0;当x<x1或x>x2时,y<0.

【同步阶梯训练】

A级(双基过手)

一、填空题

1.已知函数y??2x2?x?4,当时,y随x的增大而增大;当y随x的增大而减小;当时,y取最

函数解析式为y?(x?1)2?4,则. 2.抛物线y?x2?bx?c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的

3.已知二次函数y??4x2?2mx?m2与反比例函数y?

个交点的横坐标是-2,则m的值是 . 2m?4的图象在第二象限内的一x

4.下列函数:①y??3x;②y?2x?1;③y??

其中y的值随x的值增大而增大的函数有

二、选择题

21(x?0);④y??x2?2x?3(x?1),x个. 5.函数y?ax?1与y?ax?bx?1(a?0)的图象可能是 ( )

6.已知二次函数y??1215x?7x?,若自变量x分别取x1、x2、x3,且0<x1<x2<x3,则22

对应的函数值y1、y2、y3的大小关系正确的是 ( )

A.y1>y2>y3 B.y1<y2<y3 C.y2>y3>y1 D.y2<y3<y1

7.把二次函数y??12x?x?3用配方法化成y?a(x?h)2?k的形式是 ( ) 4

1122A.y??(x?2)?2 B.y?(x?2)?4 44

12C.

y??(x?2)?4 421??1 D.y??x???3 2??2

28.二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象如图3所示.则下列结论中正确的是 ( )

A.a>0

B.当-1<x<3时,y>0

C.c<0

D.当x≥1时,y随x的增大而增大

三、解答题

9.通过配方将下列函数写成y?a(x?h)2?k的形式:

(1)y?2x2?4x (2)y??

10.(1)抛物线y?12x?2x?2 212x?mx?n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),且对称轴3

x=1,求出抛物线的解析式及与x轴的两交点坐标.

(2)已知二次函数y?ax2?bx?c的图象如图4所示,求这个二次函数的解析式.

B级(能力提升)

一、填空题

11.如图5,济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的表达式为y?ax2?bx.小强

骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑白行车通过拱梁部分的桥面OC共需

12.若一次函数y?ax?b(a?0)的图象与x轴的交点坐标为(-2,0),则抛物线y?ax?bx

的对称轴为直线 .

13.二次函数y?2x?mx?8的图象如图6所示,则m的值是22 .

二、解答题

14.如图7,△ABC的顶点坐标分别为A(-6,0),B(4,0),C(0,8),把△ABC沿直线BC

2 翻折,点A的对应点为D,抛物线y?ax?10ax?c经过点C,顶点M在直线BC上.

(1)证明四边形ABDC是菱形,并求点D的坐标;

(2)求抛物线的对称轴和函数表达式.

C级(综合拓展)

15.已知:在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O为坐标原点,OA

所在直线为x轴,建立如图8所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内.将Rt△OAB

沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.

(1)求点C的坐标.

(2)若抛物线y?ax2?bx(a?0)经过C、A两点,求此抛物线的解析式.

(3)若上述抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一动点,过P作y轴的平行线,交抛物线于点M,问:是否存在这样的点P,使得四边形CD-PM为等腰梯形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.

第五节 用三种方式表示二次函数

【今日复习】

1.函数可以用和来表示.

2.二次函数的解析式有三种形式.一般形式:;若图象的顶点为(h,k),则能写成顶点式: ;若图象与x轴分别交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,则能写成交点式: ,此时.

名师点拨

1.二次函数的图象是轴对称图形,研究图象时,注意利用这一性质.

2.求函数解析式时,根据已知条件尽可能选择顶点式或交点式.

【同步阶梯训练】

A级I双基过手)

一、填空题

1.用配方法将二次函数y??

2123x?x?化成y?a(x?h)2?k的形式为22向 ,对称轴是 ,顶点坐标为 . 2.已知函数y??2x?x?4,当时,y随x的增大而增大;当y随

x的增大而减小;当y取最值.

3.已知二次函数y?ax2?bx?c的图象如图1所示,则这个二次函数的解析式为.

4.已知二次函数y?ax2?bx?c,当x>1时,y随x的增大而增大;当x<1时,y随x的增大而减小,且经过点(0,3)、(3,6),则二次函数的解析式为 .

二、选择题

5.抛物线y?a(x?1)(x?3)(a?0)的对称轴是直线 ( )

A.x=1 B.x=-1 C.x=-3 D.x=3

6.若A(-4,y1)、B(-1,y2)、C(2,y3)为二次函数y?x?2x?3的图象上的三点,则y1、y2、y3的大小关系是 ( )

A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y2<y1=y3

7.抛物线图象如图2所示,根据图象,抛物线的解析式可能是 ( )

A.y?x?2x?3

B.y??x?2x?3

C.y??x?2x?3

D.y??x?2x?

3 22222

8.在平面直角坐标系中,先将抛物线y?x2?x?2关于x轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换,那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )

A.y??x2?x?2 B.y??x2?x?2

C.y??x2?x?2 D.y?x2?x?2

三、解答题

9.(1)已知二次函数经过(1,1)、(-1,4)、(0,3),求这个二次函数的解析式.

(2)抛物线的顶点为(3,3),且点(2,-2)在抛物线上,求抛物线的解析式.

(3)抛物线经过(1,0)、(-1,0)、(2,6),求抛物线的解析式.

10.如图3,已知抛物线y?ax2?bx?c经过点A(0,3)、B(3,0)、C(4,3).

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴.

B级(能力提升)

一、填空题

2 11.抛物线y?ax?bx?c的顶点坐标为(3,-2),与x轴两交点的距离为4,则抛物线的解析式为

12.已知二次函数y?(x?2a)2?(a?1)(a为常数),当a取不同的值时,其图象构成一个

“抛物线系”.图4分别是当a=-1,a=0,a=1,a=2时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上,这条直线的解析式是

13.如图5是二次函数y?ax?bx?c

图象的一部分,其对称轴为直线x=1.若其与x轴2

一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax?bx?c?0的解集是2.

二、解答题

14.如图6,某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成,为了牢固起见,

每段护栏需要间距0.4米加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5米.

(1)建立适当的直角坐标系,并求出该抛物线的解析式;

(2)这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少米?

C级(综合拓展)

15.如图7,已知抛物线y??x2?bx?c与一直线相交于A(-1,0)、C(2,3)两点,与y轴

交于点N.其顶点为D.

(1)求抛物线及直线AC的函数关系式.

(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值.

(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由.

(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.

第六节

【今日复习】

2何时获得最大利润 对于二次函数y?ax?bx?c(a?0),当0时,函数有最值(填“大”或

“小”),当x= 时,函数取得 值,为y= ,此时函数图象有最点(填“高”或“低”).

名师点拨

1.在实际问题中,选择合适的自变量,写出函数关系式是求函数最大值的关键.

2.当自变量有取值范围x1≤x≤x2时,应根据图象对称轴x??

定函数的最值.

【同步阶梯训练】

A级(双基过手)

一、填空题

1.将一条长为20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是 .

2.大学毕业不能再“啃老”.李奋斗邀约同学,投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数:y??10x?500.当销售单价定为 元时,每月可获得最大利润.

3.某种火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式b与x1、x2的关系确2a

h?5t2?150t?1表示.经过0,火箭达到它的最高点.

4.某种药品进价为4元,药店试销发现:当售价为10元日于,销售量为300件;售价每提高1元,可能少售出5件.若售价定为x元,当x= 时,利润最大.

二、选择题

5.如图1,已知□ABCD中,AB=4,AD=2,E是AB边上的一动点(与点A、B不重合),设AE=x,DE的延长线交CB的延长线于点F,设BF=y,则下列图象能正确反映y与x的函数关系的是 (

)

6.一种商品每件的成本为30元,每天的销售量m(件)与每件的售价x(元)满足关系:

m?160?3x,则商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系式为 ( )

A.y?(160?3x)x?30 B.y?(160?3x)x

C.y?(160?3x)(x?30) D.以上答案都不对

7.向空中发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且时间与高度的关系为

y?ax2?bx?c(a?0).若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列时问中炮弹所在高度最高的是 ( )

A.第8秒 B.第10秒 C.第12秒 D.第15秒

8.如图2,等腰Rt△ABC(∠ACB=90°)的直角边与正方形DEFG的边长均为2,且AC与DE在同一直线上,开始时点C与点D重合,让△ABC沿这条直线向右平移,直到点A与点E重合为止.设CD的长为x,△ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y,则y与x之间的函数关系的图象大致是 (

)

三、解答题

9.(1)某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(100-x)件,应如何定价才能使定价利润最大?最大利润是多少元?

(2)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时,宾馆利润最大?

10.某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度AB为8米,两侧距地面3米

高各有一个壁灯,两壁灯之间的水平距离CD为6米,如图3所示,那么厂门的高为多少米?(水泥建筑物厚度忽略不计,精确到0.1米

)

B级(能力提升)

一、填空题

11.抛物线y?2x2?8x?m与x轴只有一个公共点,则m的值为

12.如图4,某涵洞的截面是抛物线形,现测得水面宽AB=1.6 m,涵洞顶点O到水面的距

离CO为2.4 m,在图中直角坐标系内,涵洞截面所在抛物线的解析式是 .

13.抛物线y?x?2mx?3m的顶点的纵坐标的最大值为.

二、解答题

14.某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销

售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y??2x?100.(利润一售价一制造成本)

(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式.

(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?

(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元? 2

C级(综合拓展)

15.某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎,每年可在国内、国外市场上全部售

完.该公司的年产量为6千件,若在国内市场销售,平均每件产品的利润y1(元)与国内销售量x(千件)的关系为:

?15x?90(0?x?2), y1???5x?130(2?x?6).?

若在国外销售,平均每件产品的利润y2(元)与国外的销售数量t(千件)的关系为:

?100(0?t?2), y2????5t?110(2?t?6).

(1)用x的代数式表示t为:0<x≤4时,y2与x的函数关系为:y2;当y2=100.

(2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润ω(千元)与国内销售数量x(千件)的函数关系式,并指出x的取值范围.

(3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时,可使公司每年的总利润最大?最大值为多少?

第七节

【今日复习】 最大面积是多少

1.二次函数y?ax2?bx?c(a?0).若a>0,则抛物线开口当x= 时,最小值为 ;若a<0,则抛物线开口 ,此时,函数有最 值,当x= 时,最大值为 .

2.二次函数y?2x2?4x?5,当时,函数的最值为.

3.二次函数y??x2?2x?2,当值为

名师点拨

1.用自变量表示与图形面积相关的其他量及面积是解决最大面积问题的关键.

2.利用二次函数解决几何图形的最大面积主要有以下几个步骤.

(1)引入恰当的自变量;(2)用自变量表示与图形相关的其他量;(3)根据图形特征,写出面积的计算公式后,再用函数表示面积;(4)根据二次函数的解析式求最值及取得最值时自变量的值.

3.在比较复杂的面积问题中要考虑自变量的取值范围是否包含了抛物线的顶点.若顶点在自变量的取值范围之内,则直接求最值;否则根据抛物线的增减性求最值.

4.注意应用图象求出最值.

【同步阶梯训练】

A级(双基过手)

一、填空题

1.如图1,正方形ABCD的边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,且始终保持AM⊥MN.当ABCN的面积最大.

2.如图2,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连

结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y,则y关于x的函数关系式为 ,最大值是 .

3.如图3,在△ABC中,∠B=90°,∠AB=8cm,BC=6 cm,点P从点A开始沿AB向B点以2 cm/s的速度移动,点Q从点8开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,当△PBQ的面积为最大时,运动时间t

s.

二、选择题

4.如图4,桥拱是抛物线形,其函数解析式为y??

为12 m,这时水面离桥顶的高度h是 ( )

A.3 m

B. 12x,当水位线在AB位置时,水面宽4

C.

D.9 m

5.如图5所示,P是菱形ABCD的对角线AC上一动点,过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、

N两点.设

AC=2,BD=1,AP=x,且△AMN的面积为y,那么y关于x的函数图象的大致形状是 ( )

6.一个菱形的对角线之和为10cm,其最大面积为( )

A.24 cm2 B.25 cm2 C.12.5 cm2 D.12 cm2

7.如图6,正方形ABCD的边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH.设小正方形EFGH的面积为S,AE为x,则S关于x的函数图象大致是 ( )

三、解答题

8.如图7,四边形ABCD是矩形,A、B两点在x轴的正半轴上,C、D两点在抛物线

y??x2?6x上.设OA=m(0<m<3),矩形ABCD的周长为l,求l与m的函数解析式.

9.如图8,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC的中点.

(1)若E、F分别是AB、AC上的点,且AE=CF,求证:△A FD≌△CFD.

(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动,到点A、B时停止.设△DEF的面积为y,F点运动的时间为x,求y与x的函数关系式.

(3)在(2)的条件下,点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动,求此时y与x的函数关系式.

B级(能力提升)

一、填空题

10.如图9,等腰直角三角形ABC的斜边AB所在的直线上有E、F两点,且∠E+∠F=45°,

AE=3.设AB=x,BF=y,则y与x

的函数关系式为 .

11.如图10,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋

千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为

米.

12.如图11,已知抛物线y?ax?2ax?n(a?0)与x轴交于点A(x1

,0)、B(x2,0),交y

轴的负半轴于点C,且x1<x2,OC=OB,S△ABC=6,则此抛物线的解析式为 2

二、解答题

13.已知四边形ABCD是正方形,O为正方形对角线的交点,一动点P从B开始,沿射线

BC运动,连结DP,作CN⊥DP于点M,且交直线AB于点N,连结OP、ON.(当P在线段BC上时,如图12:当P在BC的延长线上时,如图13)

(1)请从图12、图13中任选一图证明下面结论:

①BN=CP;②OP=ON,且OP⊥ON.

(2)设AB=4,BP=x,试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系.

C级(综合拓展)

14.如图l4,已知△ABC中,AB=10 cm,AC=8 cm,BC=6 cm.如果点

P由B出发沿BA

方向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为2 cm/s.连结PQ,设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤4).解答下列问题:

(1)当t为何值时,PQ∥BC?

(2)设△AQP面积为S(单位:cm2),当t为何值时,S取得最大值?并求出最大值.

(3)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.

(4)如图15,把△AQP沿AP翻折,得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t,使四边形AQPQ′为菱形?若存在,求出此时菱形的面积;若不存在,请说明理由.

第八节

【今日复习】

二次函数与一元=农方程(1)

1.抛物线y?ax2?bx?c(a?0)与x轴的交点为(x1,0)、(x2,0),其中x1、x2是相应一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根,因而抛物线y?ax2?bx?c与x轴的交点情况可以用判别式??b?4ac来判断.若 ,则抛物线与x轴有两个交点,此时两个交点的距离为

;若 ,则抛物线与2轴只有一个交点(即抛物线顶点在x轴上);若 ,则抛物线与x轴无交点.

2.抛物线y?ax2?bx?c(a?0)与y轴的交点坐标为( ),顶点坐标为( ). 名师点拨

1.由于二次函数与一元二次方程的关系,我们常常将抛物线与坐标轴或与直线的交点问题转化为一元二次方程或方程组来解决.

2

2.抛物线与z轴的交点距离公式d?在解答题中经常用到.

3.抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称. 【同步阶梯训练】

A级(双基过手)

一、填空题

1.已知抛物线y?x2?x?2与x轴的两个交点坐标分别为(-2,0)、(1,0),则一元二次方程x?x?2?0的根为

2

2

2

2.已知一元二次方程x?6x?9?0的根为x1?x2?3,则抛物线y?x?6x?9与x轴

有 个交点,交点坐标为 .

3.(1)若抛物线与x轴的公共点是(-1,0)、(3,0),则这条抛物线的对称轴为 (2)若抛物线经过点(-3,3)、(7,3),则这条抛物线的对称轴为 .

2

4.二次函数y?ax2?bx?c的图象如图1所示,那么关于x的方程ax?bx?c?0的根的情况是 .

二、选择题

2

5.下列表格是二次函数y?ax?bx?c的自变量x与函数值y的对应值,判断方程

ax2?bx?c2

A.6<x<6.17 6.已知抛物线y?ax?2x?1与x轴没有交点,那么该抛物线的顶点所在的象限是( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 7.已知二次函数y?的y与x的部分对应值如下表:

2

A.抛物线开口向上

B.抛物线与y轴交于负半轴 C.当x=4时,y>0

D.方程ax?bx?c?0的正根在3与4之间

8.二次函数y?ax

2(a、b、c为常数且a≠o)中的x与y的部分对应值如下表:

2

给出了结论:

(1)二次函数y?ax2?bx?c有最小值,最小值为-3;

1

?x?2时,y<0; 2

(3)二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴有两个交点,且它们分别在y轴两侧.则其中

(2)当?

正确结论的个数是 (

)

A.3 B.2 C.1 D.0 三、解答题

9.画出函数y?x2?2x?3的图象,利用图象回答: (1)方程x?2x?3?0的解是

(2)当函数值大于0时,自变量x的取值范围是(3)当函数值小于0时,自变量x的取值范围是2

10.(1)抛物线y??x2?(m?1)x?m

与y轴交于(0,3)点.

①求出m的值并在图2中画出这条抛物线; ②求抛物线与x轴的交点和抛物线顶点的坐标; ③x取什么值时,抛物线在x轴上方? ④x取什么值时,y随x的增大而减小?

(2)二次函数y?ax?bx?1(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(-1,0).设t?a?b?1,求t值的变化范围.

B级(能力提升)

一、填空题

2

11.如图3是二次函数y?ax?bx?c的图象.根据图象知:

(1)方程ax?bx?c??1根的情况是 (2)方程ax?bx?c??2根的情况是.

22

2

12.如图4,已知抛物线y?ax?2ax?b与x轴交于A、B(3,0)两点,与y轴交于点C,

且OC=3OA,设抛物线的顶点为D,则抛物线的解析式为 .

2

13.函数y?x?bx?c与y=x的图象如图5所示,有以下结论: 2

①b?4c?0;②b?c?1?0;③3b?c?6?0;④当1<x<3时, x2?(b?1)x?c?0.其中正确的个数为 .

二、解答题

14.如图6,一次函数y??2x的图象与二次函数y??x2?3x的图象的对称轴交于点B.

(1)写出点B的坐标.

(2)已知点P是二次函数y??x2?3x图象在y轴右侧部分上的一个动点,将直线y??2x沿y轴向上平移,分别交x轴、y轴于C、D两点.若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似,求点P的坐标.

2

C级(综合拓展)

15.如图7,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,

使点B落在OA边上的点E处.分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴建立平面直

2 角坐标系,抛物线y?ax?bx?c经过O、D、C三点.

(1)求AD的长及抛物线的解析式.

(2)一动点P从点E出发,沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动,同时动点Q从点C出发,沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似

?

第八节 二次函数与一元=次方程(2)

【今日复习】

1.利用抛物线y?ax?bx?c(a?0)求方程ax?bx?c?0(a?0)的基本步骤:

(1)画出二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象.

(2)根据图象确定抛物线y?ax?bx?c(a?0)与x轴的交点分别在哪两个整数之间.

(3)再用计算器探索其解的十分位数字,从而确定方程的近似根. 2222

2.已知:抛物线y?ax?bx?c(a?0)上有两点A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2),若y1·y2<0,则抛物线与x轴的一个交点的横坐标x0满足 ,即 .

3.一元二次方程2123x?x?的解也可以看作是22

【同步阶梯训练】

A级(双基过手)

一、填空题

1.已知方程2x?3x?5?0的两根为的两个交点问的距离为 .

2.(1)已知一元二次方程(x?3)(x?4)

?

0,那么抛物线y?x2?x?12与x轴的交点坐标为 . (2)已知抛物线y?ax2?bx?c与x轴交于A(2,0)、B(-3,0)两点,那么方程

2

5

,-1,则二次函数

y?2x2?3x?5的图象与x轴2

ax2?bx?c?0的根为 .

3.已知二次函数y??x2?2x?m的图象与x轴没有交点,则m的取值范围为

?x2?2x?k?0的一个解x1?3,另一个解x2=

4.若二次函数y??x2?2x?k的部分图象如图1所示,则关于x的一元二次方程

二、选择题

5.二次函数y?ax2?bx的图象如图2所示,那么一次函数y?ax?b的图象大致是( )

6.二次函数y?2x?mx?8的图象如图3所示,则m的值是 ( ) A.-8 B.8 C.±8 D.6

2

7.二次函数y?ax?(a、b、c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:

2

给出了结论:

(1)二次函数y?ax?bx?c有最小值,最小值为-3;

2

1

?x?2时,y<0; 2

2

(3)二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴有两个交点,且它们分别在y轴两侧.

(2)当?

则其中正确结论的个数是 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0

8.已知二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象如图4所示,下列说法错误的是 ( ) A.图象关于直线x=1对称 B.函数ax?bx?c(a?0)的最小值是-4

2

2

C.-1和3是方程ax2?bx?c(a?0)的两个根

D.当x<1时,y随x的增大而增大

三、解答题

9.(1)利用函数图象求方程x?2x?3的解.

(2)抛物线y?ax2?ax?3x?1的图象与x轴有且只有一个交点,求a的值及交点坐标.

(3)已知抛物线y?x2(m2?5)x?2m2?6.求证:无论m取何值,此抛物线与x轴必有两个交点,并且有一个交点是A(2,0).

(4)二次函数y?kx2?2(k?1)x?k?1的图象开口向下,并且与x轴交于不同的两点,求k的取值范围.

10.如图5,直线y?kx?3k与x轴正半轴交于点B,与y轴负半轴交于点C,过B、C两

点且对称轴如x=1的抛物线与x轴负半轴交于点A,已知tan∠ABC=1,求抛物线的解析式.

2

B级(能力提升)

一、填空题

22 11.已知b<0时,二次函数y?ax?bx?a?1的图象如下列四个图之一所示.根据图象

分析,a的值等于——.

12.如图6,已知抛物线y?x?bx?c经过点(0,-3),请你确定一个b的值,使该抛物线

与x轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间.你所确定的b的值是 (写出一个值即可).

2

13.已知二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象如图7所示,下列结论:

①b<0;②4a+2b+c<0;③a-b+c>0;④(a+c)2<b2.

其中正确的结论是 .

二、解答题

14.如图8,已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2,0)、B(2,0)、C(0,-1)三点,过坐标原点

O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D(0,-2)作平行于x轴的直线l1、l2.

(1)求抛物线对应二次函数的解析式;

(2)求线段MN的长(用k表示),并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长. 2

C级(综合拓展)

15.如图9,抛物线y?ax2?bx?c的开口向下,与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与

y轴交于点C,顶点为D.

(1)求顶点D的坐标.(用含a的代数式表示)

(2)若△ACD的面积为3.

①求抛物线的解析式;

②将抛物线向右平移,使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P,且∠PAB=∠DAC,求平移后抛物线的解析式.

第4~8节习题课 抛物线与a、b、c及⊿间的关系

【今日复习】

1.二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象是,其开口方向由a的符号确定:开口向上

??.

2.对称轴位置(顶点位置)由a、b的符号共同确定:

对称轴(顶点)在y轴左侧? .

对称轴(顶点)在y轴右侧? .

3.抛物线与x轴的交点个数由??b?4ac确定:

抛物线与x轴有两个交点? .

抛物线与x轴有且只有一个交点(顶点在x轴上)? .

抛物线与x轴没有交点? .此时抛物线在x轴上方(a>0时)或在x轴下方(a<0时),函数值恒大于0 (a>0时)或恒小于0(a<0时).

4.对二次函数y?ax?bx?c(a?0)而言,当x=1时,函数值为;当x=-1时,函数值为 .

名师点拨

二次函数与一元二次方程有非常密切的联系,即抛物线与x轴的交点横坐标是相应的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的两根.因而抛物线与坐标轴的交点问题可以利用方程的相关知识(包括一元二次方程根与系数的关

系)来解决.

【同步阶梯训练】

A级(双基过手)

一、填空题

1.已知二次函数y?x?3x?m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x?3x?m?0的两实数根是.

2.如图1是二次函数y?ax?bx?c图象的一部分,其对称轴为x=-1,且过点(-3,0).下222222

列说法:

①abc<0;②2a-b=0;③4a+2b+c<0;④若(-5,y1),(1,y2)是抛物线上两点,则y1>y2.其

中说法正确的是 . 3.二次函数

y?ax?bx?c的图象如图2所示,则一次函数y?bx?a的图象不经过第 象限.

4.若关于x的函数y?kx2?2x?1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为 .

二、选择题

5.二次函数.y?ax2?bx?c(a?0)的图象如图3所示,则下列说法不正确的是( )

A.b?4ac?0

B.a>0

C.c>0

D.?22

b?0 2a

6.如图4,二次函数y?ax2?bx?c的图象开口向上,对称轴为直

线x=1,图象经过(3,0),下列结论中.正确的是 ( )

A.abc?0

B.2a?b?0

C.a?b?c?0

D.4ac?b?0

7.若二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象与x轴有两个交点,坐标分别为(x1,0)、(x2,0),且x1<x2,图象上有一点M(x0,y0)在x轴下方,则下列判断正确的是 ( ).

2A.a?0 B.b?4ac?0 C.x1?x0?x2 D.a(x0?x1)(x0?x2)?0 2

二、解答题

8.已知整数k<5,若△ABC的边长均满足关于x的方程x??8?0,求△ABC的周长.

9.已知函数y?mx2?6x?1 (m是常数).

(1)求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;

(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.

B级(能力提升)

一、填空题

10.设二次函数y?x?bx?c,当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,那么

c的取值范围是 .

11.如图5所示,二次函数y?ax?bx?c的图象中,王刚同学观察得出了下面四条信息:

(1)b?4ac?0;(2)c>1;(3)2a?b?0;(4)a?b?c?0,其中错误的有 个. 2222

12.小轩从如图6所示的二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象中,观察得出了下面五条

信息:

①ab?0;②a?b?c?0;③b?2c?0;④a?2b?4c?0;⑤a?

你认为其中正确的信息有 个.

二、解答题

13.已知二次函数y?mx2?nx?p图象的顶点横坐标是2,与x轴交于A(x1,0)、B(x2,

0),x1<0<x2,与y轴交于点C,O为坐标原点,tan∠CAO-tan∠CBO=1.

(1)求证:n?4m?0;

(2)求m、n的值.

C级(综合拓展)

14.如图7,经过点A(0,-4)的抛物线y?

为坐标原点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)将抛物线y?3b. 212x?bx?c与x轴相交于点B(-2,0)和C,O2127x?bx?c向上平移个单位长度,再向左平移m(m>0)个单位长度,22

得到新抛物线.若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围.

(3)设点M在y轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的长.

第二章 回顾与思考(1)

【今日复习】

1.二次函数y?ax2?bx?c(a?0),当a>0时,图象开口,当a<0时,图象开口对称轴为直线 ,顶点坐标为 .

2.若二次函数图象的顶点为(h,k),则函数解析式为x轴的两个交点分别为A(x1,0)、B(x2,0),则函数解析式为 .此时,图象的对称轴为直线 ,交点A、B间的距离AB= .

3.二次函数y?ax?bx?c(a?0),当a>0时,函数有最值;当a 0时,函数有最大值;当x= 时,y取最大(或小)值,y= .

名师点拨

1.求函数解析式时,将所有条件转化成点的坐标,尽量选用顶点式或交点式.

2.对于实际问题,引人恰当的变量,建立合适的坐标系能使问题简化.

3.根据图象确立最值.

【同步阶梯训练】

A级(双基过手)

一、填空题

1.二次函数y?x?3的图象的顶点坐标是

2.当y?2x?12x?m(m为常数)的函数值y随x的增大而减小.

3.已知:二次函数y?x?4x?a,下列说法正确的是.

①当x<1时,y随x的增大而减小;②若图象与x轴有交点,则a≤4;③当a=3时,不等式x?4x?a?0的解集是1<x<3;④若将图象向上平移1个单位,再向左平移3个22222

单位后过点(1,-2),则a=-3.

4

.抛物线y?x2?(2m?1)x

?2m

与x轴的两个交点坐标分别为A(x1,0)、B(x2,0),且

x1?1,则m的值为 x2

二、选择题 .(注意:是两个交点)

5.已知二次函数y?a(x?1)2?c的图像如图1所示,则一次函数y?ax?c的大致图象可能是 ( )

26.已知二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象如图2所示,对称轴为

1x??.下列结论中,正确的是 ( ) 2

A.abc?0

B.a?b?0

C.2b?c?0

D.4a?c?2b

7.在同一坐标系内,一次函数y?ax?b与二次函数y?ax2?8x?b的图象可能是( )

8.二次函数y?ax?bx?c的图象如图3,则点M?b,2?

?c??在( ) a?

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

三、解答题

9.(1)根据条件求二次函数的解析式.

①函数的图象经过点(0,0)、(-1,11)、(1,9);

②当x=1时,y取最大值为5,且它的图象经过点(2,3).

(2)已知抛物线y?12x?x?c与x轴没有交点. 2

①求c的取值范围,

②试确定直线y?cx?1经过的象限,并说明理由.

10.如图4,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,△AOB

(1)求点B的坐标;

(2)求过点A、O、B的抛物线的解析式.

B级(能力提升)

一、填空题

11.关于x的二次函数y??x2?(k2?4)x?2k?2以y轴为对称轴,且与y轴的交点在x

轴上方,则此抛物线的解析式为 .

12.y?x2?(1?a)x?1是关于x的二次函数,当x的取值范围是1≤x≤3时,y在x=1时

取得最大值,则实数a的取值范围是 .

13.如图5,一次函数y??2x?3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点,二次函数

y?x2?bx?c的图象过点C且与一次函数在第二象限交于另一点B.若AC:CB=1:2,那么这个二次函数的顶点坐标为

二、解答题

14.如图6

Rt△ABC放在平面直角坐标系中的第二象限,使点C的

坐标为(-1,0),∠C=90°,点A在y轴上,点B在抛物线y?ax2?ax?2上.

(1)写出点A、B的坐标;

(2)求抛物线的解析式;

(3)将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°,到达△AB′C′的位置,请判断点B′、C′是否在该抛物线上,并说明理由.

C级(综合拓展)

2 15.抛物线y??x?bx?c经过点A、B、C,已知A(-1,0)、C(0,3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图7,P为线段BC上一点,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点D,当△BDC的面积最大时,求点P的坐标;

(3)如图8,抛物线顶点为E,EF⊥x轴于F点,M(m,0)是x轴上一动点,N是线段EF上一点,若∠MNC=90°,请指出实数m的变化范围,并说明理由.

第二章

【同步阶梯训练】

一、填空题 回顾与思考(2) A级(双基过手)

1.若二次函数y??x?2x?k的部分图象如图1,则关于x的一元二次方程2

?x2?2x?k?0的一个解x1?3,另一个解x2.

2.已知P(-5,m)和Q(1,m)是抛物线y?12

x?bx

?1上的两点,则b的值为 . 2

3.函数y?x2?2x?2的图象如图2所示,根据其中提供的信息,可求得使y≥1成立的x的取值范围是 .

4.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的函数是 .

①y

??2x;②y?2x?2;③y??

二、选择题

5.抛物线y?(x?2)2?3的顶点坐标是 ( )

A.(-2,3) B.(2,3) C.(-2,-3) D.

(2,-3)

6.二次函数y?ax2?bx?c的图象如图3所示,则一次函数y?ax?b与反比例函数y?在同一平面直角坐标系中的大致图象为 ( ) 2;④y?2x2. xcx

27.已知二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象如图4所示,则下列结论中正确的是( )

A.ac>0

B.当x>1时,y随x的增大而减小

C.b-2a=0

D.x=3是关于x的方程ax2?x?c?0(a?0)的一个根

8.已知抛物线y?ax?bx?c(a?0)在平面直角坐标系中的位置如图5所示,则下列结论中,正确的是 ( )

A.a>0 B.b<0 C.c<0 D.a+6+c>0

三、解答题 2

9.(1)已知二次函数y?ax?bx?c的图象如图6所示,求这个二次函数的解析式. 2

(2)已知二次函数y?ax?bx?c,当x>1时,y随x的增大而增大;当x<1时,y随x2

的增大而减小,且经过(0,3)、(3,6),求二次函数的解析式.

(3)抛物线y?ax2?bx?c的顶点坐标为(3,-2),与x轴两交点的距离为4,求抛物线的解析式.

10.已知二次函数y?ax2?bx?6(a?0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),A、

B的横坐标是一元二次方程x?4x?12?0的两个根.

(1)请直接写出点A、点B的坐标;

(2)请求出该二次函数的表达式及对称轴和顶点坐标.

B级(能力提升)

一、填空题

11.已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象如图7所示,有下列四个结论:

①abc<0;②b>a+c;③2a-b=0;④b2-4ac<0.

其中正确的结论有 个.

2

12.已知抛物线y?ax?bx?c的部分图象如图8所示,若y>0,则x的取值范围是

2

13.如图9,已知经过原点的抛物线y??2x?4x与x轴的另一交点为A,现将它向右平

移m(m>0)个单位,所得抛物线与x轴交于C、D两点,与原抛物线交于点P.设△CDP的面积为S,则S关于m的关系式为 .

2

二、解答题

2 14.如图l0,已知抛物线y?ax?bx?c经过A(4,0)、B(2,3)、C(0,3)三点.

(1)求抛物线的解析式及对称轴.

(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使得MA+MB的值最小,并求出点M的坐标.

(3)在抛物线上是否存在一点P,使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

C级(综合拓展)

15.如图11,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(4,3).平行于

对角线AC的直线m从原点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N,直线m运动的时间为t(秒).

(1)点A的坐标是C的坐标是

(2)当MN? 1AC. 2

(3)设△OMN的面积为S,求S与t的函数关系式.

(4)探求(3)中得到的函数S有没有最大值?若有,求出最大值;若没有,请说明理由.

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