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初一下期奥数资料-第10讲

发布时间:2013-12-10 15:31:17  

七年级奥数班资料

平行线(垂线)的性质与判定问题

【知识梳理】:

1、两条直线相交所成的角中,有一个是直角,这两条直线叫作互相垂直,其中一条直线叫作另一条的垂

线,它们的交点叫垂足。

2、在平面内,如果一直线垂直于两平行线中的一条,那么这直线必垂直于另一条。

3、在平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行。

4、在平面内,通过一点有一条且只有一条直线与已知直线垂直。

5、垂线段最短

6直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫这点到直线的距离。

7两平行线的公垂线段的长度叫两平行线间的距离

例1、填空题

1.如右图,直线AB与CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为O,则图中∠1和∠2的关系是

(第1题

) 第2题

2.如图,CD⊥AB,FG⊥AB,垂足分别为D、G,若∠1=∠2,且∠B=75°,则∠ADE为( ). A.15° B.35° C.55° D.75°

例2 如图 1-20,直线a∥b,直线 AB交 a与 b于 A,B,CA平分∠1,CB平分∠ 2,求证:∠C=90°

想一想:这个问题的“反问题”是否成立, 即“两条直线a,b被直线AB所截(如图1-20所示),CA,

CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线,若∠C=90°,问直线a与直线b是否一定平行?”

1

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【巩固】:1、如图1-21所示,AA1∥BA2,求证:∠A1 +∠A2=∠B1.

想一想:(1)从证题的过程可以发现,问题的实质在于AA1∥BA2,它与连接A1,A2两点之间的折线段的数目无关,如图1-23所示.连接A1,A2之间的折线段增加到4条:A1B1,B1A2,A2B2,B2A3,仍然有∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2.(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0. 进一步可以推广为∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+?-∠Bn-1+∠An=0.这时,连结A1,An之间的折线段共有n段A1B1,B1A2,?,Bn-1An(当然,仍要保持 AA1∥BAn).

推广是一种发展自己思考能力的方法,有些简单的问题,如果抓住了问题的本质,那么,在本质不变的情况下,可以将问题推广到复杂的情况.

(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下,变成一个新问题.

问题1 如图1-24所示.∠A1+∠A2=∠B1,问AA1与BA2是否平行?

问题2 如图1-25所示.若∠A1+∠A2+?+∠An=∠B1+∠B2+?+∠Bn-1,问AA1与BAn是否平行?

例3、如图1-26所示.AE∥BD,∠1=3∠2,∠2=25°,

求∠C.

分析 利用平行线的性质,可以将角“转移”到新的位置,如∠1=∠DFC

或∠AFB.若能将∠1,∠2,∠C“集中”到一个顶点处,这是最理想不过

的了,过F点作BC的平行线恰能实现这个目标.

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【巩固】1:求证:三角形内角之和等于180°.(利用图1-27)

【巩固2】:求证:四边形内角和等于360°.(利用图1-28)

说明:总结例3、例4,并将结论的叙述形式变化,可将结论加以推广:

三角形内角和=180°=(3-2)×180°,

四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°.

人们不禁会猜想:五边形内角和=(5-2)×180°=540°,

??????????

n边形内角和=(n-2)×180°.

这个猜想是正确的,它们的证明在学过三角形内角和之后,证明将非常简单.

【例3 】如图1-29所示.直线l的同侧有三点A,B,C,且AB∥l,BC∥l.求证: A,B,C三点在同一条直线上.

分析A,B,C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC为平角,即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可,考虑到以直线l上任意一点为顶点,该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角,结合所给平行条件,过B作与l相交的直线,就可将l上的平角转换到顶点B处.

思考 若将问题加以推广:在l的同侧有n个点A1,A2,?,An-1,An,且有AiAi+1∥l(i=1,2,?,n-1).是否还有同样的结论?

【巩固1】:如图1-30所示.∠1=∠2,∠D=90°,EF⊥CD.

求证:∠3=∠B.

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【家庭作业】

1.如图1-31所示.已知AB∥CD,∠B=100°,EF平分∠BEC,EG⊥EF.求∠BEG和∠DEG.

2.如图1-32所示.CD是∠ACB的平分线,∠ACB=40°,∠B=70°,DE∥BC.求

∠EDC和∠BDC的度数.

3.如图1-33所示.AB∥CD,∠BAE=30°,∠DCE=60°,EF,EG三等分∠AEC

问:EF与EG中有没有与AB平行的直线,为什么?

5.如图1-34所示.已知CD平分∠ACB,且DE∥ACCD∥EF.

求证:EF平分∠DEB.

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