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正方形的性质

发布时间:2013-09-20 18:39:40  

正方形的定义:有一组邻边相等并且有 一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

从以上的定义可知,有三个关键点:
①有一组邻边相等;

②有一个角是直角
③是平行四边形。 由①③知,正方形是菱形。由②③知,正 方形是矩形。所以正方形既是菱形又是矩形; 即既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

正方形性质:
边: 对边平行

四边相等
角 :四个角都是直角 对角线:相等; 互相垂直平分;

每条对角线平分一组对角。

正方形的判定定理
1.有一个角是直角的菱形是正方形 . 2.对角线相等的菱形是正方形.
3.一组邻边相等的矩形是正方形 . 4.对角线互相垂直的矩形是正方形 .

四边形ABCD是正方形,两条对角线相交 于点O, (1)求∠AOB,∠OAB的度数。
(2)若AC=4,则正方形边长 是多少? 正方形的面积是多少? 2√2 8 (3)正方形的面积64cm,则对角线交点到正 方形一边的距离是多少? 4㎝ F
A D

解: (1)∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD ∠AOB=900 ∠BAC=∠DAC ∴∠OAB=450

O

B

C E

第十九章 四边形

四边形再认识

2 2cm

A O

D

B

C

第十九章 四边形

AC为正方形ABCD的对角线,E为AC 上一点,且AB=AE,EF⊥AC交BC于F, 求证:EC=EF=FB
A

E B F

证明: ∵ 四边形ABCD是正方形 D ∴∠B=900 ∠ACB=450 ∵∠AEF=900 AB=AE ∴△ABF≌△AFE(HL) ∴BF=EF 又∵∠FEC=900 ∴∠EFC=450 C ∴EC=EF(等角对等边) ∴BF=EF=EC

第十九章 四边形

如图,分别延长等腰直角三角形 OAB的两条直角边AO和BO,使 AO=OC,BO=OD 求证:四边形ABCD是正方形。
A O B C D

一展身手
在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能 判定这个四边形是正方形的是( ) A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD

B.AD∥BC,∠A=∠C

A

D

C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
B

O

C

?

合作探究
已知:平行四边形ABCD的对角线AC、 BD交于点O,从下列条件中取出哪些 条件后,可使平行四边形ABCD成为 正方形。
(1) (2) (3) (4)
A AB=AD; AC=BD; ∠BAD=90°; AC⊥BD。 B D O

C

例题赏析
⒈在正方形ABCD中,点E、F、G、H分别在 各边上,且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是 正方形吗?为什么?
A E G B F C H D

求证:矩形的四个角的平分线所 围成的四边形是正方形.
A F B E H G C D

第十九章 四边形

思维拓展
如何设计花坛?
在一块正方形的花坛上,欲修建两条直的小路,使得两条直的小路将花坛平均分成 面积相等的四部分(不考虑道路的宽度),你有几种方法?(至少说出三种)

想一想:
若O点移动至E点时,连接AE、CE, 你有那些结论?该怎样证明这些结论?

A O B

D

E

C

变一变: 如图,正方形ABCD中,E是对角线BD 上一点,过点E作EF⊥ BC 、EG⊥CD,垂

足为F、G 。求证:AE=FG。

A
E B F

D G

C

课堂测试:
1.一个正方形的面积等于8,则其对角线 的长为( ) 2.正方形ABCD的边长为2,对角线AC、 BD相交于点O,AE平分∠BAC交BD 于E,则DE的长为( )
3、如图,已知正方形 ABCD,以AB为边向正方 形外作等边三角形ABE, 连结DE,CE,则 ∠DEC=( )
D A

E

C

B

1、已知正方形ABCD的边长为4,E为BC边上一点,且BE=1, P为AC上一点,求PE+PB的最小值. 2、在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB、AC、 BE之间的关系,并证明你的猜想.

A

D

F
B G

E

C

课堂小结:

通过本节课的学习你的最大收获是什么? 通过本节课的学习你还有那些疑惑?

根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打”√”
平行四 边形 对边平行且相等 四边都相等 矩形 菱形 正方形

√ √

√ √ √ √

√ √
√ √

四个角都是直角
对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等

√ √ √ √ √ √

正方形不但具备一般的平行四边形的性质, 而且同时具备矩形和菱形的性质。


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