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八年级数学下册_培优专题1.勾股定理及应用_北师大版

发布时间:2013-12-10 16:30:48  

培优专题1勾股定理及应用

勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠,在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”.数学家陈省身说过:“欧几里德几何的主要结论有两个,一个是三角形内角和定理,另一个就是勾股定理.”数学家华罗庚曾建议把它送入其他星球,作为地球人与其他星球人“交谈的语言,用于探索宇宙的奥秘”. 勾股定理是我们研究和解决几何问题的重要理论依据之一,也是人们在生产实践和生活中广泛应用的基本原理,许多求线段长、角的大小;线段与线段,角与角,线段与角间的关系等问题,常常都用勾股定理或逆定理来解决.因此,勾股定理及应用是中考竞赛等考查的重要内容.

例1. 在波平如镜的湖面上,有一朵盛开的美丽的红莲,它高出水面3尺.突然一阵

大风吹过,红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面,如果知道红莲移动的水平距

离为6尺,请问水深多少?

练习1

1.已知:如图2-1,AD=4,CD=3,∠ADC=90°,AB=13,∠ACB=90°,?求图形中阴影部分的面积.

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2.已知:长方形ABCD,AB∥CD,AD∥BC,AB=2,AD≠DC,长方形ABCD的面积为S,沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形,求这个新长方形的对角线的长.

3.若线段a、b、c能组成直角三角形,则它们的比值可以是( )

A.1:2:4 B.1:3:5 C.3:4:7 D.5:12:13

例2 如图2-2,把一张长方形纸片ABCD折叠起来,使其对角顶点A、C重合,?若其长BC为a,宽AB为b,则折叠后不重合部分的面积是多少?

用心 爱心

练习2

1.如图2-3,把矩形ABCD沿直线BD向上折叠,使点C落在C′的位置上,已知AB=?3,BC=7,重合部分△EBD的面积为________.

2.如图2-4,一架长2.5m的梯子,斜放在墙上,梯子的底部B?离墙脚O?的距离是0.7m,当梯子的顶部A向下滑0.4m到A′时,梯子的底部向外移动多少米?

2-4

3.如图2-5,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,若将该矩形折叠,使C点与A点重合,?则折叠后痕迹EF的长为( )

A.3.74 B.3.75 C.3.76 D.

3.77

例3 试判断,三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n为正整数)?的三角形是否是直角三角形? 分析 先确定最大边,?再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形.

练习3

1.若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则△ABC是( )

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形

2.如图2-6,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=

置关系,并说明理由.

1BC,猜想AF?与EF的位4

2-6

3.△ABC中的三边分别是m2-1,2m,m2+1(m>1),那么( )

A.△ABC是直角三角形,且斜边长为m2+1.

B.△ABC是直角三角形,且斜边长为2m.

C.△ABC是直角三角形,但斜边长由m的大小而定.

D.△ABC不是直角三角形.

用心 爱心 专心

例4 已知:如图2-7所示,△ABC中,D是AB的中点,若AC=12,BC=5,CD=6.5.

求证:△ABC是直角三角形.

分析 欲证△ABC是直角三角形,在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长,比较困难;但注意到CD是边AB的中线,我们延长CD到E,使DE=CD,?从而有△BDE?≌△ADC,这样AC、BC、2CD就作为△BCE的三边,再用勾股定理的逆定理去判定.

练习4

1.已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a2-b2,试判断△ABC的形状.

先阅读下列解题过程:

解:∵a2c2-b2c2=a4-b4, ①

∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2). ②

∴c2=a2+b2. ③

∴△ABC为直角三角形. ④

问:(1)上述推理过程,出现错误的一步是________;

(2)本题的正确结论是________.

2.如图2-8,△ABC的三边分别为AC=5,BC=12,AB=13,将△ABC沿AD折叠,使AC落在AB上,求折痕AD的长.

3.如图2-9,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,满足PA=3,PB=1,?PC=2,求∠BPC的度数.

例5 如图2-10,△ABC中,AB=AC=20,BC=32,D是BC上一点,且AD⊥AC,求BD的长.

分析 若作AE⊥BC于E,如图2-11,利用勾股定理可求出AE=12,AD是Rt?△ADC的直角边. ∴AD=CD-AC,若设DE=x,借助于AD这个“桥”可以列出方程.

解:作AE⊥BC于E.

∵AB=AC,AE⊥BC,

∴BE=EC=11BC=×32=16. 22

用心

在Rt△AEC中,

AE2=AC2-CE2=202-162=144,

∴AE=12.

设DE=x,

则在Rt△ADE中,AD2=AE2+DE2=144+x2,

在Rt△ACD中,AD2=CD2-AC2=(16+x)2-202.

∴144+x2=(16+x)2-202 解得x=9.

∴BD=BE-DE=16-9=7.

练习5

1.如图2-12,△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点,MD⊥AB于D.

求证:AD2=AC2+BD2.

2-12

2.如图2-13,AB⊥AD,AB=3,BC=12,CD=13,AD=4,求四边形ABCD的面积.

2-13

3.如图2-14.长方体的高为3cm,底面是正方形,边长为2cm,现有绳子从A出发,沿长方形表面到达C处,问绳子最短是多少厘米?

2-14

用心 爱心 专心

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