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6.4数据的离散程度

发布时间:2013-12-11 10:30:26  

第六章 数据的分析

数据的离散程度

知识回顾: 刻画数据“平均水平”的几个量度? 平均数、众数、中位数。

但仅有平均水平还难以准确地刻画一组数据,日常生活中, 人们还常常关注数据的波动。

二、教学目标
1.经历表示据离散程度的几个量度的探索过程; 2.了解刻画数据离散程度的三个量度——极差、方差、
标准差,能借助计算器求出相应的数值,并在具体问 题情景中加以运用;

3.通过小组合作,体会用样本估计总体的思想,感悟
其实际运用价值;

教学重点:
运用极差、方差、标准差解决实际问题;

教学难点:
对极差、方差、标准差概念的理解;

关键:
把握极差、方差和标准差来判断样本的波 动情况,从而估计总体的波动情况.

(一)问题导入,提出问题

2001年7月3日,我国加入“WTO”.当我们欣 喜若狂的时候,为了提高农副产品的国际竞争能 力,一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.
某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿,现 有两个厂家提供货源,他们的价格相同,鸡腿品 质相近.

质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调 查了20只鸡腿的质量(单位:g)如下:

甲厂:75 74 74 76 73 76 75 77 77 74

74 75 75 76 73 76 73 78 77 72
乙厂:75 78 72 77 74 75 73 79 72 75

80 71 76 77 73 78 71 76 73 75
问题1: 如果只考虑鸡腿的规格,你认为外贸

公司应该购买哪个厂的鸡腿?

问题2:你能从图中估计出甲、乙两厂被抽 查鸡腿平均质量吗?

请你写出甲、乙两厂被抽查鸡腿平均质量, 并在图中画出表示平均质量的直线.

问题3: 观察两幅图表,看看被抽查的鸡腿
质量的分布情况你有什么发现?

问题4: 你能求出甲厂抽查的这20只鸡腿质量 的最大值是多少吗? 最小值呢?

它们差几克? 乙厂呢?

问题5 : 现在你认为外贸公司应该购买哪个厂 的鸡腿?为什么呢?

甲厂鸡腿规格比较稳定,最大值和最小值只 平均质量只能反映总体的集中趋势,并不能 相差6克;乙厂鸡腿规格比较不稳定,最大值和 反映个体的变化情况.从图中看,甲厂的产品更 符合要求. 最小值相差9克.

定义:
现实生活中,除了关心数据的“平均水平” 外,人们还关注数据的离散程度,即它们相对于 平均水平的偏离情况.极差就是刻画数据离散程度 的一个统计量.

极差是指一组数据中最大和最小数据的差.

从这个问题中我们发现:
1. 平均数对于数据分析只能反映他们的平均值, 在实际问题的研究中,还有很大的局限性. 如上面这个问题中,平均数都是75,事实上甲厂 的产品更符合要求. 2. 讨论数据的离散程度可以用“极差”这个统计 量来刻画.

极差大,偏离平均数越大,产品

的质量(性能) 越不稳定.

如果丙厂也参与了竞争,从该厂也抽 查20只鸡腿,
平均数:
极差:

x丙 ? 75.1( g )
79 ? 72 ? 7( g )

问题6: 丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差 分别是多少?

如果丙厂也参与了竞争,从该厂也抽 查20只鸡腿,
平均数:
极差:

x丙 ? 75.1( g )
79 ? 72 ? 7( g )

问题7: 如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均 数的差距?分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量 与其相应平均数的差距。

平均数不能刻画数据的离散程度,而极 差只能局部反映数据的离散程度.

为了从整体上反映数据的波动大小,办法不止一个:

①求各数据与其平均数的差距的和或平均数;
甲厂: 丙厂:
75 ? 75 ? 74 ? 75 ? ? ? 72 ? 75 ? 26

75 ? 75 ? ? ? 79 ? 75 ? 36

②求各数据与平均数之差的平方的平均数.

甲厂:

1 2 2 ?(75 ? 75) ? ? ? (72 ? 75) ? ? ? ? 2.5 20

1 ?(75 ? 75)2 ? ? ? (79 ? 75)2 ? ? 4.2 丙厂: ? 20 ?
问题8:在甲、丙两厂中,你认为外贸公司 应该购买哪个厂的鸡腿?

定义:
方差是一组数据中各个数据与平均数之差的
平方的平均数.

1 2 2 2 s ? [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ? ? ( xn ? x) ], n
2

其中,x 是
s2是方差.

x1,x2, ,xn 的平均数, ?

标准差是方差的算术平方根 (S).

注意:
一般而言,一组数据的极差、 方差或标准差越小,这组数据就

越稳定.

问题9:分别求出甲厂和丙厂的方差和标准差:
1 ?(75 ? 75)2 ? ? ? (72 ? 75)2 ? ? 2.5 甲厂: ? 20 ?

1 ?(75 ? 75)2 ? ? ? (79 ? 75)2 ? ? 4.2 丙厂: ? 20 ?
根据计算结果,你认为哪家产品更符合规定?

甲厂更符合规定.

练习:
1.甲、乙两支仪仗队队员的身高(单位:cm)如下:

甲队:178
178

177
177

179
178

179
177

178
179

乙队:178
180

177
180

179
178

176
176

178
178

哪支仪仗队更为整齐?你是怎么判断的?

2.八年级某班的五个同学每人投掷铅球一 次,测得成绩如下(单位:m):5,6,9,7,8,这组数 2 m2 据的方差是_______.

2m 标准差是 ________.
1 ? x ? (5 ? 6 ? 9 ? 7 ? 8) ? 7 5
1? 2 2 2 2 2 ? S ? ? 5 ? 7 ? ? ? 6 ? 7 ? ? ?9 ? 7 ? ? ?7 ? 7 ? ? ?8 ? 7 ? ? ? 5? 1 ? (4 ? 1 ? 4 ? 0 ? 1) 5
2

?2

3.对甲,乙两个小麦品种各100株小麦的株高
进行测量,算出

x甲 ? 0.95, S ? 1.01, x乙 ? 0.95, S ? 1.35,
2 甲 2 乙

于是可估计株高较整齐的小麦品种是
甲种 ________. 因为这两组数据的平均数相同,所以比较方差, 方差越小,株高越整齐.

数据是不是越稳定越好呢?
某校要从甲、乙两名跳远运动员中选一位参加一 项校际比赛。在最近的10次选拔赛中,他们的成 绩(单位:cm)如下:
甲: 585 597 596 604 610 6

00 598 613 612 601

乙:613 593

618 585

580 590

574 598

618 624

(1)他们的平均成绩分别是多少? (2)甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少?

(3)这两名运动员的成绩各有什么特点?

数据是不是越稳定越好呢?
某校要从甲、乙两名跳远运动员中选一位参加一 项校际比赛。在最近的10次选拔赛中,他们的成 绩(单位:cm)如下:
甲: 585 597 596 604 610 600 598 613 612 601

乙:613 593

618 585

580 590

574 598

618 624

(4)历届比赛表明,成绩达到5.96m就很可能夺 冠,你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛?

数据是不是越稳定越好呢?
某校要从甲、乙两名跳远运动员中选一位参加一 项校际比赛。在最近的10次选拔赛中,他们的成 绩(单位:cm)如下:
甲: 585 597 596 604 610 600 598 613 612 601

乙:613 593

618 585

580 590

574 598

618 624

(5)如果历届比赛成绩表明,成绩达到6.10m就 能打破记录,那么你认为为了打破记录应选谁参 加这项比赛?

小 结:
1.刻画一组数据的离散程度可以用极差、方差、 标准差这三种统计量表示.一组数据的极差、方差 或标准差越小这组数据就越稳定.

2.方差(标准差)比极差更能从整体上刻画数据的波 动大小,是统计中最常用的统计量之一. 3.方差(标准差)的计算按公式进行. 4.方差单位是数据单位的平方,
标准差的单位与数据中的数据单位一致.

作业

习题5.5 1,2


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