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26.3_实际问题与二次函数(第1课时)

发布时间:2013-12-11 10:30:27  

26.3 实际问题与二次函数 (第1课时)

问题:用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩 形一边长l的变化而变化.当l是多少时,场地的面积S最大? 分析:先写出S与l的函数关系式,再求出使S最大的l的值. 矩形场地的周长是60m,一边长为l,则另一边长为
( 60 ? l) m,场地的面积: S=l(30-l) 即S=-l2+30l (0<l<30) 2

请同学们画出此函数的图象

s 可以看出,这个函数的图 象是一条抛物线的一部分, 这条抛物线的顶点是函数 图象的最高点,也就是说, 当l取顶点的横坐标时,这 个函数有最大值.
b 30 因此,当l ? ? ?? ? 15时 2a 2 ? (?1)
4ac ? b 2 ? 302 S有最大值 ? ? 225. 4a 4 ? (?1)

200

100

O

5

10 15 20 25 30

l 即l是15m时,场地的面积 S最大.(S=225㎡)

一般地,因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(高)
b 点,所以当 x ? ? 时,二次函数y=ax2+bx+c有 2a 4ac ? b 2 . 最小(大)值

4a

用一段长为30m的篱笆围成一个一边 靠墙的矩形菜园,墙长为18m,这个 矩形的长,宽各为多少时?菜园的 面积最大,面积是多少?

例1 如图,有长为24米的篱笆, 围成中间隔有一道篱笆的长方形 的花圃,且花圃的长可借用一段 墙体(墙体的最大可用长度a=10 米): (1)如果所围成的花圃的面积 为45平方米,试求宽AB的值; (2)按题目的设计要求,能围 成面积比45平方米更大吗? a
A B

D
C

变式:如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,

围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB 为x米,面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围; (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少? (3)若墙的最大可用长度为8米,则求围成花圃的最大面积。

A B

D
C

解: ∵ AB为x米、篱笆长为24米 (1)
∴ 花圃宽为(24-4x)米 ∴ S=x(24-4x) =-4x2+24 x (0<x<6)
b ?3 (2)当x= ? 2a
4ac ? b 2 时,S最大值= 4a

=36(平方米) D C

(3) ∵墙的可用长度为8米 ∴ 0<24-4x ≤6 4≤x<6

A B

∴当x=4cm时,S最大值=32 平方米

例.一养鸡专业户计划用 116m长的篱笆围成如图所 示的三间长方形鸡舍,门 MN宽2m,门PQ和RS的宽都 是1m,怎样设计才能使围 成的鸡舍面积最大?

变式:小明的家门前有一块空地,空地外有一面长10米
的围墙,为了充分利用空间,小明的爸爸准备靠墙修建一 个矩形养鸡场,他买回了32米长的篱笆准备作为养鸡 场的围栏,为了喂鸡方便,准备在养鸡场的中间再围出 一条宽为一米的通道及在左右养鸡场各放一个1米宽的门 (其它材料)。养鸡场的宽AD究竟应为多少米才能使养鸡 场的面积最大?
D A H G C B

E

F

解:设AD=x,则AB=32-4x+3=35-4x 从而S=x(35-4x)

-x=-4x2+34x

∵AB≤10

∴6.25≤x

S=-4x2+34x,对称轴x=4.25,开口向下。

∴当x≥4.25时,S随x的增大而减小,
故当x=6.25时,S取最大值56.25
D A

H E

G
F

C B

何时窗户通过的光线最多
1.某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
x x 15 ? 7 x ? ?x . 解 :由4 y ? 7 x ? ? x ? 15. 得, y ? 4 2 ?x 15 ? 7 x ? ? x ? ? x 2 y ? 窗户面积S ? 2 xy ? ? 2x ? ?? 2 4 2 ? 2 ? 7 2 15 ? ? x ? x ? ? 7 ? x ? 15 ? ? 225 . ? ? 2 2 2 ? 14 ? 56 b 15 4ac ? b 2 225 或用公式 : 当x ? ? ? ? 1.07时, y最大值 ? ? ? 4.02. 2a 14 4a 56

2. B船位于A船正东26km处,现在A、B两船同时出 发,A船以每小时12km的速度朝正北方向行驶,B 船以每小时5km的速度向正西方向行驶,何时两船 相距最近?最近距离是多少?

思考问题:
(1)两船的距离随着什么的变化而变化? (2)经过t小时后,两船的行程是多少? 两 船的距离如何用t来表示?

3.巳知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, BC=4,AC=8.点D在斜边AB上,分别作 DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为点E、F,得 四边形DECF.设DE=x,DF=y. ⑴求y与x之间的函数关系式,并求出x的取值 范围; ⑵设四边形DECF的面积为S,求S与x之 间的函数关系式,并求出S的最大值.


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