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初中二次函数总复习课件

发布时间:2013-12-11 11:32:46  

二次函数复习课

二次函数知识点导航:
? 1、二次函数的定义 ? 2、二次函数的图像及性质 ? 3、求解析式的三种方法 ? 4、a,b,c及相关符号的确定 ? 5、抛物线的平移 ? 6、二次函数与一元二次方程的关系 ? 7、二次函数的应用题 ? 8、二次函数的综合运用 本章共分两课时:第一课时复习知识点1——5 第二课时复习知识点——8

1、二次函数的定义
? 定义: y=ax2 + bx + c ( a 、 b 、 c 是常数, a≠0) ? 定义要点:①a ≠ 0 ②最高次数为2 ? ③代数式一定是整式 ? 练习:1、y=-x2 ,y=2x2 -2/x,y=100-5 x2 , ? y=3 x2 +5,其中是二次函数的有____个。 -2x3 2.当m_______时,函数y=(m+1)χ 是二次函数?
m2 ? m

- 2χ+1

2、二次函数的图像及性质
y y 0 x 0 x

抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值

y=ax2+bx+c(a>0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线x ? ? 2a

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线x ? ? 2a

由a,b和c的符号确定

由a,b和c的符号确定

a>0,开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, y最小值为 2a 4a

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, y最大值为 2a 4a

例2: 已知二次函数

1 2 3 y ? x ?x? 2 2

(1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M 的坐标。 (2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、 B两点,求C,A,B的坐标。 (3)x为何值时,y随的增大而减少,x为 何值时,y有最大(小)值,这个最大(小) 值是多少?

3、求抛物线解析式的三种方法
1、一般式:已知抛物线上的三点,通常设解 y=ax2+bx+c(a≠0) 析式为________________

2,顶点式:已知抛物线顶点坐标(h, k), y=a(x-h)2+k(a≠0) 通常设抛物线解析式为_______________ 求出表达式后化为一般形式. 3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (x2,0),通常设解析式为_____________(a≠0) 求出表达式后化为一般形式.

练习:根据下列条件,求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0,0), (1,-2) , (2,3) 三点; (2)、图象的顶点(2,3), 且经过点(3,1) ;

(3)、图象经过(0,0), (12,0) ,且最高点 的纵坐标是3 。

例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并 且图象经过点(3,-6)。求a、b、c。
解:∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时,x=1 ∴顶点坐标为( 1 , 2) ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点(3,-6) ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-

2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即: y=-2x2+4x

4、a,b,c符号的确定
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题: (1)a的符号: 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0

(2)C的符号: 由抛物线与y轴的交点位置确定. 交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点

c>0
c<0 c=0

(3)b的符号: 由对称轴的位置确定 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
(4)b2-4ac的符号: 由抛物线与x轴的交点个数确定 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a、b同号 a、b异号 b=0

(5)a+b+c的符号:因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c的符号由x=1时,对应的y值决定。 当x=1时,y>0,则a+b+c>0 当x=1时,y<0,则a+b+c<0 当x=1时,y=0,则a+b+c=0 (6)a-b+c的符号:因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时,对应的y值决定。 当x=-1,y>0,则a-b+c>0 当x=-1,y<0,则a-b+c<0 当x=-1,y=0,则a-b+c=0

练习: 1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 所示,则a、b、c的符号为( ) A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0 2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示,则a、b、c的符号为( ) A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 所示,则a、b、c 、 △的符号为( )

y

B

c

o

·
y

x

A

o

x

A、a>0,b=0,c>0,△>0 C、a>0,b=0,c<0,△>0

C B、a<0,b>0,c<0, =0


y

D、a<0,b=0,c<0,△<0

o

x

熟练掌握a,b, c,△与抛物线图象的关系 (上正、下负) (左同、右异)

y

4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限,判断a、b、c的符号情况: a < 0,b < 0,c = 0.
y

o

x

5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点, 且它的顶点在第三象限,则a、b、c满足 的条件是:a > 0,b > 0,c = 0.

o

x

6.二次函数y=ax2+bx+c中,如果a>0,b<0,c<0, 那么这个二次函数图象的顶点必在第 四 象限 y 先根据题目的要求画出函数的草图,再根据 图象以及性质确定结果(数形结合的思想) x

3.已知二次函数的图像如图所示,下列结论: ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是( D) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
y

-1

0

1

x

要点:寻求思路时,要着重观察抛物线的开口方 向,对称轴,顶点的位置,抛物线与x轴、y轴的 交点的位置,注意运用数形结合的思想。

5、抛物线的平移
练习 ⑴二次函数y=2x2的图象向下 平移 3 个单位可得 到y=2x2-3的图象; 二次函数y=2x2的图象向右 平移 3 个单位可得到 y=2(x-3)2的图象。 ⑵二次函数y=2x2的图象先向左 平移1 个单位, 再向 上 平移 2 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的 图象。

左加右减,上加下减

引申:y=2(x+3)2-4

y=2(x+1)2+2

练习:

(3)由二次函数y=x2的

图象经过如何平移可以 得到函数y=x2-5x+6的图象.

5 2 1 y=x2-5x+6 ? ( x ? ) ? 2 4
y=x2

5 2 1 y ? (x ? ) ? 2 4

6二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程根的情况与b2 -4ac的关系 ? 我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键 的作用.

当b 2 ? 4ac ? 0时, 方程ax 2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?有两个不相等的实数根
? b ? b 2 ? 4ac ? x1, 2 ? . 2a 当b 2 ? 4ac ? 0时, 方程ax 2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?有两个相等的实数根 : b ? x1, 2 ? ? . 2a 当b 2 ? 4ac ? 0时, 方程ax 2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?没有实数根

二次函数与一元二次方程
?二次函数y=ax2 +bx+c的图象和x轴交点的横坐标,便是对应的一元二次 方程ax2 +bx+c=0的解。

?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: b2 – 4ac= 0 ?(1)有两个交点 b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac< 0 ?(2)有一个交点 ?(3)没有交点

若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0

判别式: b2-4ac

二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)

图象

一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根
有两个不同的 解x=x1,x=x2

与x轴有两个不 b2-4ac>0 同的交点 (x1,0) (x2,0)

y
O

x y
O

b2-4ac=0

与x轴有唯一个 交点 (? b ,0)

2a

x y

有两个相等的 解 b x1=x2= ?

2a

b2-4ac<0

与x轴没有 交点
O

没有实数根 x

例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个 1 相等的实数根,则m=____,此时抛物线 y=x21 2x+m与x轴有____个交点.

(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴 16 上,则c=____.

(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根 是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 (-2、0)(5/3、0) 2+x-10与x轴的交点坐标是____. x

7二次函数的综合运用
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距 离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式. 解:?抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 ? a=1或-1 又?顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, ? 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.

2.若a+b+c=0,a?0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的 顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.

分析:
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)

(2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线 答案:y=-x2+6x-5


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