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整式与分式

发布时间:2013-12-11 12:34:21  

课时2 整式与分式

【考点分析】

1. 代数式:用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把 或表示

连接而成的式子叫做代数式.

2. 代数式的值:用 代替代数式里的字母,按照代数式里的运算关系,计算后所

得的 叫做代数式的值.

3. 整式

(1)单项式:由数与字母的 组成的代数式叫做单项式(单独一个数或

也是单项式).单项式中的 叫做这个单项式的系数;单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数.

(2) 多项式:几个单项式的 叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫 做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母

的项叫做 .

(3) 整式: 与 统称整式.

4. 同类项:在一个多项式中,所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫

做同类项. 合并同类项的法则是 ___.

mnmnmnn5. 幂的运算性质: a·a= ; (a)= ; a÷a=_____; (ab)= .

6. 乘法公式:

(1) (a?b)(c?d)? ; (2)(a+b)(a-b)= ;

(3) (a+b)= ;(4)(a-b)= .

7. 整式的除法

⑴ 单项式除以单项式的法则:把 、 分别相除后,作为商的因式;

对于只在被除武里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.

⑵ 多项式除以单项式的法则:先把这个多项式的每一项分别除以 ,再把

所得的商 .

8. 因式分解:就是把一个多项式化为几个整式的 的形式.分解因式要进行到每一个因

式都不能再分解为止.

9. 因式分解的方法:⑴ ,⑵ ,

⑶ ,⑷ .

10. 提公因式法:ma?mb?mc?__________ _________.

11. 公式法: ⑴ a?b?⑵ a?2ab?b?,

⑶a?2ab?b?12. 十字相乘法:x??p?q?x?pq? . 222222222

13.因式分解的一般步骤:一“提”(取公因式),二“用”(公式).

14.易错知识辨析

(1)注意因式分解与整式乘法的区别;

(2)完全平方公式、平方差公式中字母,不仅表示一个数,还可以表示单项式、多项

式.

A15. 分式:整式A除以整式B,可以表示成 的形式,如果除式B中含有 ,那么B

AAA称 为分式.若 ,则 有意义;若 ,则 无意义;若 ,BBB

A则 =0. B

16.分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式

的 .用式子表示为 .

17. 约分:把一个分式的分子和分母的 约去,这种变形称为分式的约分.

18.通分:根据分式的基本性质,把异分母的分式化为 的分式,这一过程称为分

式的通分.

19.分式的运算

⑴ 加减法法则:① 同分母的分式相加减: . ② 异分母的分式相加减: . ⑵ 乘法法则: .乘方法则: .

⑶ 除法法则: .

20.二次根式的有关概念

⑴ 式子a(a?0) 叫做二次根式.注意被开方数a只能是 .并且根式. ⑵ 简二次根式

被开方数所含因数是 ,因式是 ,不含能 的二次根式,叫做最

简二次根式.

(3) 同类二次根式

化成最简二次根式后,被开方数 几个二次根式,叫做同类二次根式.

21.二次根式的性质 ⑴

⑵ a?2?(a≥0) ⑶ a2?;

⑶ ab? (a?0,b?0);

⑷ a? (a?0,b?0). b

22.二次根式的运算

(1) 二次根式的加减:

①先把各个二次根式化成 ; ②再把 分别合并,合并时,仅合并 , 不变.

【真题回顾】

1.(06佛山)若?x2yn与3yx2是同类项,则n的值是( )

A.?1 B.3 C.1 D.2

x?1有意义的x的取值范围是 . x?32.(06佛山)使分式

3.(06佛山)计算:(?x)3·x2? .

4.(06佛山)化简:2xyx. ?x2?y2x?y

5.(07佛山)下列四个算式中,正确的个数有( )

①a·a?a 4312 ②a?a?a 5510③a?a?a 55 ④(a)?a 336

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

6.(07佛山)上数学课时,老题提出了一个问题:“一个奇数的平方减1,结果是怎样的数?”请你解答这个问题.

7(08佛山). 在盒子里放有三张分别写有整式a?1、a?2、2的卡片,从中随机抽取两

张卡片,把两张卡片上的整式分别作为分子和分母,则能组成分式的概率是( ). A. 1123 B. C. D. 3634

8(08佛山).计算:(a?2b)(2a?b)? .

2p2?p9.(08佛山)先化简(1?,再求值(其中P是满足-3 <P< 3的整数). )÷2p?2p?4

3210(08佛山).对于任意的正整数n,所有形如n?3n?2n的数的最大公约数是什么?

不能只写结果,

要说明理由。

11(09佛山).下列关于数与式的等式中,正确的是( )

x2?y(?2)??2 B.A.?x?y 10?10?10 C.2x?3y?5xy Dx225840

12(09佛山).化简:?

?11?xy??. ?22x?yx?yx?y??

13(09佛山).(1

与下列哪些数相乘,结果是有理数?

A

. B

.2 C

D

问题的答案是(只需填字母): ;

(2

相乘的结果是有理数,则这个数的一般形式是什么(用代数式 表示).

14(10佛山)9、多项式1?xy?xy的次数及最高次数的系数是( )

A、2,1 B、2,-1 C、3,-1 D、5,-1

15(10佛山)、分解因式:xy?xy

16(10佛山)化简:

17(11佛山)、在○1a?a;○2(?a);○3a?a;○4a?a中,计算结果为a的个数是()

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 4223 E.0 2222a1 ?a2?9a?3122236

x2?44x?18(11佛山)、化简:; x?22?x

2320.(2012?佛山)按要求的程序(见答题卡)化简:.

21.(2012?佛山)规律是数学研究的重要内容之一.

初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面.

请你解决以下与数的表示和运算相关的问题:

(1)写出奇数a用整数n表示的式子;

(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子;

22.(13佛山)下列计算正确的是( )

A.a?a?a B.(a)?a C.(ab)?ab D.a?a?a (a?0) 23(13佛山).分解因式a?a的结果是( )

A.a(a?1) B.a(a?1) C.a(a?1)(a?1) D.(a?a)(a?1) 24(13佛山).化简2?(2?1)的结果是( )

A.22?1 B.2?2 C.1?2 D.2?2

25.(13佛山)多项式1?2xy?3xy的次数及最高次项的系数分别是( )

A.3 , ?3 B.2 , ?3 C.5 , ?3 D.2 , 3

26(13佛山).按要求化简:2222341234723633432a?3. ?2a?11?a

【真题演练】 1. ?12xy的系数是 ,次数是 . 3

22.(11遵义)计算:(?2a)?a?.

3.(12双柏)下列计算正确的是( )

A.x?x?x B.x·x?x C.(x)?x D.x?x?x 55105510551020210

4. (13湖州)计算(?x)2?x3所得的结果是( )

A.x5 B.?x5 C.x6 D.?x6

5. a,b两数的平方和用代数式表示为( )

A.a2?b2 B.(a?b)2 C.a?b2 D.a2?b

6.某工厂一月份产值为a万元,二月份比一月份增长5%,则二月份产值为(

A.(a?1)·5%万元 B. 5%a万元 C.(1+5%) a万元 D.(1+5%)2a

7(10乌鲁木齐)若a?0且ax?2,ay?3,则ax?y的值为( )

A.?1 B.1 C.23

3 D.2

8(06 广东)按下列程序计算,把答案写在表格内:

⑴ 填写表格:

⑵ 请将题中计算程序用代数式表达出来,并给予化简.

9 先化简,再求值:

(1) (11江西)x (x+2)-(x+1)(x-1),其中x=-1

2;

(2) (x?3)2?(x?2)(x?2)?2x2,其中x??1

3.

10. (12东莞) 下列式子中是完全平方式的是( )

A.a2?ab?b2 B.a2?2a?2 C.a2?2b?b2 D.a2?2a?1 )

11 分解因式:

⑴(10聊城)axy?axy?2axy?__________________.

2 ⑵(11宜宾)3y-27=___________________.

⑶(11福州)x?4x?4?_________________.

⑷ (12宁波) 2x?12x?18?

12 已知a?b?5,ab?3,求代数式a3b?2a2b2?ab3的值. 223322

x2?xx?113.当x=______时,分式有意义;当x=______时,分式的值为0. xx?1

14.填写出未知的分子或分母:

(1)3x()y?11. ?2,(2)?22x?yx?yy?2y?1()

15.计算:xy+=________. x?yy?x

x1x2a16.代数式中,分式的个数是( ) ,x,,x?13x?

A.1 B.2 C.3 D.4

(ab)2

17.(13无锡)计算的结果为( ) ab2

A.b B.a C.1 D.1 b

18 ⑴ 已知 x?11?3,则x2?2 =xx

⑵(11芜湖)已知11??3,则代数式2x?14xy?2y的值为 . xyx?2xy?y

19.(13福州)当x___________

在实数范围内有意义.

20.(11上海)

计算:?__________.

21. 若无理数a满足不等式1?a?4,请写出两个符合条件的无理数_____________.

22

是同类二次根式的是( )

A

B

C

D

1 2

23.(13芜湖)

A.6到7之间 ) B.7到8之间 C.8到9之间 D.9到10之间

【真题巩固】

1. 计算(-3a)÷a的结果是( )

4424 A. -9a B. 6a C. 9a D. 9a

2.(11济南)下列运算中,结果正确的是( )

A.x·x?x B.3x?2x?5x C.(x)?x D.(x?y)?x?y

3.(12枣庄)已知代数式3x?4x?6的值为9,则x2?23223362242352224x?6的值为( ) 3

A.18 B.12 C.9 D.7

4. 若2xy与?3xy 是同类项,则m + n =____________.

5.观察下面的单项式:x,-2x,4x,-8x,??.根据你发现的规律,写出第7个式子

是 .

6. 先化简,再求值:

⑴ (a?2b)(a?2b)?ab?(?

ab),其中a?b??1;

⑵ (x?y)?2y(x?y) ,其中x?1,y?23343mn22.

7.(12城都)大家一定熟知杨辉三角(Ⅰ),观察下列等式(Ⅱ) 1 (a?b)1?a?b1 1 (a?b)2?a2?2ab?b21 2 1 1 3 3 1 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3 4 6 4 1 (a?b)4?a4?4a3b?6a2b2?4ab3?b4 1 ...................................... . Ⅱ Ⅰ 5根据前面各式规律,则(a?b)?

8.分解因式:4x?9?____________________.

9.分解因式:x?4x?4?____________________.

10.(13山西)分解因式ab?2ab?a?.

22322

11.(13泰安)将1

4x?x3?x2分解因式的结果是.

12.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为( )

A.x(a?b)?ax?bx B.x2?1?y2?(x?1)(x?1)?y2

C.x2?1?(x?1)(x?1) D.ax?bx?c?x(a?b)?c

13x-1

x-2 1

2-x = .

14.把分式x

x?y(x?0,y?0)中的分子、分母的x、y同时扩大2倍,那么分式的值(

A. 扩大2倍 B. 缩小2倍 C. 改变原来的1

4 D. 不改变

15.如果x

y=3,则x?y

y=( ) A.4

3 B.xy C.4 D.x

y

2

16.(11苏州)若x2?x?2?

0 )

A

B

C

D

17. 先化简??x2?2x?1

?x2?1?1?

x???1

x?1,再取一个你认为合理的x值,代入求原式的值.

18.(12南通)

有意义的x取值范围是________.

19.(11海淀)

合并的二次根式为( )

A

B

C

D

20.(08广州)如图,实数a、b在数轴上的位置,化简

21

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