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解直角三角形知识点

发布时间:2013-12-11 13:32:24  

1

一、 锐角三角函数的定义:

在RT?ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,则:

sinA?

?A的对边a?A的邻边b

?cosA??

斜边c斜边c?A的对边a?A的邻边b

?cotA??

?A的邻边b?A的对边a

a

等,由同学们自行归纳。 sinA

tanA?

sinA;c?常用变形:a?c?

二、 锐角三角函数的有关性质:

1、 当0°<∠A<90°时,0?sinA?1;0?cosA?1;tanA?0;cotA?0

2、 在0°?90°之间,正弦、正切(sin、tan)的值,随角度的增大而增大;余弦、余切(cos、

cot)的值,随角度的增大而减小。

三、 同角三角函数的关系:

cotA?1tanA?sin2A?cos2A?1tanA?

sinAcosA

cotA?

cosAsinA

常用变形:sinA

cosA (用定义证明,易得,同学自行完成) 四、

正弦与余弦,正切与余切的转换关系:

如图1,由定义可得:sinA?

a

?cosB?cos(90??A) 同理可得: c

sinA?cos(90??A)cosA?sin(90??A)tanA?cot(90??A)cotA?tan(90??A)

B

22

B

1

2

七、 三角形的面积公式:

已知?ABC中,∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c,如图2,过点A作AD⊥BC于点D。在

ADsinB(AD?c?sinB) ,即:AD?AB?AB

111S?ABC?BC?AD?a?c?sinB?acsinB(其中:∠B为a、c的夹角) 222

111同理可得:S?ABC?acsinB?bcsinA?absinC(三角形的面积公式) 222

11由面积公式可得:acsinB?bcsinA 22

1ab?两边同时除于c 得:asinB?bsinA? 2sinAsinBabc?

?同理可得,正弦公式: sinAsinBsinCRT?ABD中,sinB?

八、三角函数与相似: 如图5,可以利用相似进行求解,也可以利用三角函数进行求解:

ADABxx?3.2DEBC???sinA?? AEAC610AEACDEBCx6??? 如图6,tanA?AEAB48cosA?

备注:三角函数,在解决直角三角形的一些问题中,有时候会比相似书写更简洁一些

九、相似与直角三角形的射影定理:

222直角三角形射影定理:CD?AD?BDAC?AD?ABBC?BD?AB CDBD?tan?BCD??CD2?AD?BD ADCD

ACADBCBDcosA???AC2?AD?ABcosB??

?BC2?BD?AB ABACABBCtanA?

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