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苏科版数学九上教案打包整理

发布时间:2013-09-20 19:16:35  

1、1等腰三角形的性质和判定(1)

教学目标:1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据,证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

教学重点:了解分析的思考方法

教学难点:用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据,证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 教学过程:

一、知识回顾:

在初中数学八(下)的第十一章中,我们学习了证明的相关知识,你还记得吗?不妨回忆一下。

1、我们初中数学中,选用了哪些真命题作为基本事实:

2、在八(下)的第十一章中,我们依据上述的基本事实,证明了哪些定理?你能一一列出来吗?

二、情景创设:

以前,我们曾经学习过等腰三角形,你还记得吗?不妨我们来回忆一下下列几个问题:

1、什么叫做等腰三角形?(等腰三角形的定义)

2、等腰三角形有哪些性质?

3、上述性质你是怎么得到的?(不妨动手操作做一做)

4、这些性质都是真命题吗?你能否用从基本事实出发,对它们进行证明?

三、探索活动:

1、合作与讨论

证明:等腰三角形的两个底角相等。

2、思考与讨论

怎样证明:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

3、通过上面两个问题的证明,我们得到了等腰三角形的性质定理。

第 1 页

5、思考与探索

如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的?

要求:(1)写出它的逆命题:__________________。

(2)画出图形,写出已知、求证,并进行证明。

6、通过上面的证明,我们又得到了等腰三角形的判定定理:_____。

四、体会与交流

1、在本节课中,我们用基本事实又证明了哪些定理。

2、实际上,我们以前曾学习过很多图形的知识,(如:直角三角形全等,平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等)。对于这些图形,我们通过动手操作也得到了它们的性质和判定,在今后的学习中,我们将进一步证明它们的正确性。

1、1等腰三角形的性质和判定(2)

教学目标:在掌握了等腰三角形的性质定理和判定定理的基础上,探索等边三角形和其它相关知识的证明方法。

教学重点:探索三角形和其他相关知识的证明方法

教学难点:用正确的定理证明

教学过程:

第 2 页

一、知识回顾

上节课中,我们对等腰三角形的性质定理和判定定理进行了证明,请你写出这些定理。 等腰三角形性质定理:(1)_______________;

(2)_____________________。

等腰三角形判定定理:__________________。

二、典例分析

1、已知:如图(1)∠EAC是△ABC的外角,AD平分∠EAC,且AD∥BC。

求证:AB=AC

E

E D D C C

(1) (2)

2、在上图(2)中,如果AB=AC,AD∥BC,那么AD平分∠EAC吗?如果结论成立,你能证明这个结论吗?

3、你还能得到其他的结论吗?与同学交流。

三、思考与交流

1、证明:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(简写为“AAS”)

2、证明:(1)等边三角形的每个内角都等于60°。

(2)3个内角都相等的三角形是等边三角形。

3、证明:(1)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

(2)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

四、随堂练习

1、如图,在△ABC中,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=2∠B,由这些条件你能得到哪些结论?请证明你的结论。

第 3 页 A

C

2、已知:如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E。

求证:△ADE是等边三角形。

E C

3、求证:如果一个等腰三角形中有一个角等于60°,那么这个三角形是等边三角形。

五、体会与交流

本节课,我们又证明了哪些定理?你掌握了吗?

1、2直角三角形全等的判定(1)

教学目标:1、能证明直角三角形全等的“HL”判定定理;

2、从简单的数学例子中体会反证法的含义;

3、逐步学会分析的思考犯法,发展演绎推理的能力。

教学重点:能证明直角三角形全等的“HL”判定定理;

教学难点:发展演绎推理的能力

教学过程:

一、情境创设:

1、直角三角形全等的条件有哪些?

2、你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗?为什么?

二、探索活动:

证明:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等( 简写为“HL” )

问题一:你能从基本的事实出发,证明斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗? 问题二:证明这个结论你有没有困难?说说你准备如何解决这个问题?

问题三:如果用“把斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形拼合”的方法来证明“HL”定理,

第 4 页

那么:

(1) 如何拼合?

(2) 可以拼合成一个什么图形?为什么可以拼合成一个等腰三角形?

(3) 说说你的证明思路。

三、例题教学:

1、如图:如果∠BAC=

300,那么BC = 1AB,你能证明这个结论吗? 2B

DC (1) (2)

2、如图,在△ABC中,已知D是BC中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,DE=DF. 求证:AB=AC

四、练习:

P10 1、2;

五、小结

(1)、图形的“拆(把一个等腰三角形拆成两个全等的直角三角形)”和“拼(把两个直角三角形拼成一个等腰三角形)”两种方法体现了同一种思想——转化思想,即可把待证的问题转化为可证的问题;

(2)、本节课我们证明了一般三角形所不具有的直角三角形的特殊的判定定理、特殊的直角三角形的特殊性质,你还能列举一些关于特殊与一般的例子吗?

六、作业

P12 1、2。

第 5 页

1、2直角三角形全等的判定(2)

教学目标:1、能证明角平分线的性质定理和逆定理、三角形三条角平分线交与一点;

2、从简单的数学例子中体会反证法的含义;

3、逐步学会分析的思考方法,发展演绎推理能力。

教学重点:从简单的数学例子中体会反证法的含义

教学难点:逐步学会分析的思考方法,发展演绎推理能力

教学过程:

一、情境创设:

证明:角平分线上的点到角的两边的距离相等

1、你能用折纸的方法说明“角平分线上的点到角的两边的距离相等“吗?

引导学生通过“角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴,折叠得到的折痕(垂线段)重合来说明

2、你还能用什么方法说明这个结论是正确的?

引导学生不断感受合情推理道贺演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径,并且这也是每个学生都能参与的学习活动。

二、探索活动

证明:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上

问题一、“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是什么?

引导学生体会构造一个命题的逆命题,也是获得数学结论的一个途径

问题二、你人为这个命题是真命题吗?如果正确,如何证明?

注意:关注学生能否与角平分线的性质定理有区别的画出图形,并根据图形写出已知和求证。 引导学生进一步认识图形的我位置关系与数量关系之间的内在联系:角平分线上的点到角的两边的距离都相等;反过来,在一个角内,到角的两边的距离相等的点都在这个角的平分线上,为问题三的思考做铺垫

问题三:如果某点到角的两边的距离不相等,那么这个点会在这个角的平分线上吗?为什么? (初步渗透反证法)

三、例题教学

例1、“如果一个点到角的两边的距离不相等,那么这个点不在这个角的平分线上。”你认为这个结论正确吗?如果正确,你能证明它吗?

例2、10.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于E.

第 6 页

(1)若BC在DE的同侧(如图①)且AD=CE,说明:BA⊥AC.

(2)若BC在DE的两侧(如图②)其他条件不变,问AB与AC仍垂直吗?若是请予证明,若不是请说明理由.

例3、如图,△ABC的角平分线AD、BE相交与点O。(1)点O到△ABC各边的距离相等吗?点O在∠C的平分线上吗?

A

BDEC

即证明:三角形的三条角平分线交与一点

四、练习 P11

五、小结

六、作业 P123、4

1、3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定(1)

教学目标

1、会证明平行四边形的性质定理及其相关结论

2、能运用平行四边形的性质定理进行计算与证明

3、在进行探索、猜想、证明的过程中,进一步发展推理论证的能力

第 7 页

教学重、难点

重点:平行四边形的性质证明 表达格式的逻辑性 完整性 精炼性 难点:分析 综合 思考的方法 教学过程:

一、情境创设

从上面的几种特殊四边形的性质中,你能说说它们之间有什么联系与区别吗? 如图

二、合作交流

AB//A'B',BC//B'C',CA//C'A',图中有______个平行四边形。

活动1、上表中平行四边形的性质中,你能证明哪些性质? 活动2、你认为平行四边形性质中,可以先证明哪一个?为什么? 活动3、证明定理“平行四边形对角线互相平分”。

由此证明过程,同时也证明了定理“平行四边形对边相等”、“平行四边形对角相等”,这样我们可得平行四边形的三条性质定理:

平行四边形对边相等。 平行四边形对角相等。

第 8 页

平行四边形对角线互相平分。

例1 :已知:如图,□ ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点。

求证:BE=DF

分析:可根据证明△ABE≌△CDF得到结论。

若将例1中的“E、F分别是AD、BC的中点”改为“AE=

论?

练习:P15 1、2

例2、 证明“夹在两条平行线之间的平行线段相等”

分析:根据命题先画出相应图形,再由命题与所画图形写出已知、求证,最后根据已知条件写出证明过程。

例3(广东省)如图,四边形ABCD是平行四边形,点F在BA的延长线上,连结CF交于AD点E. 求证:(1)△CDE∽△FAE

(2)当E是AD的中点,且BC=2CD时,求证:∠F=∠BCF

证明: (1)∵四边形ABCD为平行四边形

∴AB ∥CD,

∴∠D=∠EAF

∵∠DEC=∠AEF,

∴△CDE∽△FAE

(2)∵△CDE∽△FAE ∴DC11AD,CF=BC”,是否还能得到同样的结33F

AF?DE

AE

∵E是AD的中点

∴AF=DC

∵AD=BC, BC=2CD

∴AD=2AF

∴AE=AF

∴∠F=∠AEF

∵AD∥CB,

∴∠AEF=∠BCF

第 9 页

∴∠F=∠BCF

说明 平行四边形能带来平行线、等角,从而为得到比例线段、相似三角形创造了条件,也就为利用相似解决问题带来了方便.

练习:1、已知:如图,在平行四边形ABCD中,AB=8cm,

BC=10cm,∠C=120,

求BC边上的高AH的长;

求平行四边形ABCD的面积

0D

2、如图,平行四边形ABCD中,AB=3,BC=5,AC的垂直平分线交AD于E,则△CDE的周长是( B )

A.6 B.8 C.9 D.10

三、分层训练

1.□ABCD的周长为50cm,且AB: BC = 3:2,则AB=______cm,BC=______cm.;

2.已知□ABCD中,AB=8,BC=10,∠B=45°, □ABCD的面积为_________.

3.在?ABC中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,那么四边形AFDE的周长是 ( )

A. 5 B. 10 C. 15 D. 20

4.延长平形四边形ABCD的一边AB到E,使BE=BD,连结DE交BC于F,

若∠DAB=120°,∠CFE=135°,AB=1,则AC 的长为( )

(A)1 (B)1.2 (C)3 (D)1.5 25如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD相交

于点O,边AB可以看成由_____________平移得来的,△ABC可以看成由__________绕点O旋转______________得来;

6、平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于O,已知AB=8,BC=6,

△AOB的周长为18,求△AOD的周长。

7、已知:如图,□ABCD中,BD是对角线,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F.

求证:BE=DF.

第 10 页 BEADA D OC

四、小结

引导学生自我归纳总结

1、平行四边形对边相等,对角相等,邻角互补,对角线互相平分。

2、是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心。

3、平行线之间的距离处处相等。

五、课堂检测

1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定(2)

教学目标

1、认识几种特殊的四边形的性质的联系与区别

2、会证明矩形的性质定理及直角三角形斜边上中线的有关性质定理

3、能运用矩形的性质定理或有关定理进行简单的计算与证明

4、在进行探索、猜想、证明的过程中,能将命题由文字语言转化为图形与符号语言,进一步发展推理论证的能力

教学重、难点

重点:矩形的本质属性

难点:矩形性质定理的综合应用

教学过程:

一、情境创设

矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质。结合下图说说矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质?

第 11 页

你能证明这些性质吗?

二、合作交流

问题一 观察平行四边形和矩形的对角线把它们所分成的三角形,你有何发现?(引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形,主动地发现和获得新的数学结论,不断地积累数学活动的经验)

问题二 证明:矩形的4个角都是直角。

矩形的对角线相等。

问题三 你能证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”吗?说说你的证明思路。

已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°. 1

求证:边AB上的中线等于AB. 2证明:在∠ACB内作∠BCD=∠B,CD交AB于点D

∵∠ACB=90°

∴ACD与BCD互余,∠A与∠B互余

∵∠BCD=∠B

∴∠ACD=∠A 1

∴DA=DC=DB,即CD是边AB上的中线,且CD=AB 2

问题四 你对上面的结论还有更多的思考和猜想吗?(引导学生不断学会思考和猜想:由结论进一步能得到什么结论?这个结论的逆命题是否正确。不断发展学生数学思考的能力)

例1 、已知:如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,

且AC=2AB.

求证:△AOB是等边三角形

分析:利用矩形的性质:矩形的对角线相等且互相平分,结合“AC=2AB

本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”,你能获得有关这个矩形的哪些结论?

练习:P16页 1、2

例2、如图 在矩形ABCD中,BE

平分∠ABC,交CD于

点E,点F在边BC上,

① 如果FE⊥AE,求证FE=AE。

第 12 页

②如果FE=AE 你能证明FE⊥AE吗?

练习: △思考.如图①所示,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,点M在边AB上,且AM=6.

(1)动点D在边AC上运动,且与点A、C均不重合,设CD=x.

①设△ABC与△ADM的面积之比为y,求y与x之间的函数关系式(写出自变量x的取值范围); ②当x取何值时,△ADM是等腰三角形?写出你的理由.

(2)如图②,以图①中的BC、CA为一组邻边的矩形ACBE中,动点D在矩形边上运动一周,能使△ADM是以∠AMD为顶角的等腰三角形共有多少个?(直接写出结果,不要求说明理由)

例3、(吉林省)如图,在矩形纸片ABCD中,

BC=6,沿EF折叠后,点C落在AB边上的点P处,点D落在点Q处,AD与PQ相交于点H,∠BPE=30°.

(1)求BE、QF的长.(2)求四边形PEFH的面积.

【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点,要想解好此类题,考生必须有想像力,抓住折叠的角与边不发生变化,必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解.

四、分层训练

1 已知,如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OB的中点.

(1)求证:△ADE≌△BCF;(2)若AD=4cm,AB=8cm,求OF的长.

第 13 页

2 如图,在矩形ABCD中,已知AB=8cm,BC=10cm,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的中点F处,折痕为AE,求CE的长.

3 阅读下列过程:

如图①,小肖过AB,CD的中点画直线EF,把矩形ABCD分割成甲、乙两部分.

如图②,小徐过A,C两点画直线AC,把矩形ABCD分割成丙、丁两部分.

回答下列问题:

(1)填空:S甲_____S乙,S丙_____S丁(填“〉”或“〈”或“=”);

(2)根据小肖、小徐的分割原理,你还能探索出其他的分割方法吗??请在图③中任意给出一种;

(3)由本题的操作过程,你发现了什么规律?

.9、(2006年烟台市)如图4,先将一矩形ABCD置于直角坐标系中,使点A与坐标系的原点重合,边AB、AD分别落在x轴、y轴上(如图①所示),?再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°(如图②所示),若AB=4,BC=3,则图①和图②中,点B的坐标为_________,点C的坐标为________.

五、小结 从位置、形状、大小等不同的角度,观察和比较平行四边形、矩形的对角线把它们分成的三角形的异同,发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊性质;反过来,我们又利用矩形的性质证明“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”。

六、课堂检测

第 14 页

1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定(3)

教学目标

1、会归纳菱形的特性并进行证明

2、能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明

3、在进行探索、猜想、证明的过程中,进一步发展推理论证的能力,进一步体会证明的必要性 教学重、难点

重点:菱形的性质定理证明

难点:性质定理的运用 生活数学与理论数学的相互转化

教学过程:

一、 情境创设

1.将一张矩形的纸对折再对折,然后沿着图中的虚线剪下,打开,你发现这是一个什么样的图形? (同桌互相帮助。)

2.探索。

请你作该菱形的对角线,探索菱形有哪些特征,并填空。

(从边、对角线入手。)

(1)边:都相等; (2)对角线:互相垂直。

(学生通过自己的操作、观察、猜想,完全可以得出菱形的特征,这对学生来说是富有意义的活动,学生对此也很感兴趣。)

问题:你怎样发现的?又是怎样验证的?

(可以指名学生到讲台上讲解一下他的结果。)

3.概括。

菱形特征1:菱形的四条边都相等。

菱形特征2:菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角。

引导学生剖析矩形与菱形的区别。

矩形的对边平行且相等,四个角都是直角,对角线相等且互相平分;菱形的四条边都相等,对边平行,对角相等,对角线互相垂直平分,每条对角线平分它的一组对角。

4.请你折—折,观察并填空。(引导学生归纳。)

(1)菱形是不是中心对称图形?对称中心是_______。

(2)是不是轴对称图形?对称轴有几条?_______。

二、合作交流

问题一 观察平行四边形和菱形的对角线把它们所分成的三角形,你有何发现?(引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形,主动地发现和获得新的数学结论,不断地积累数学活动的经验)

问题二 证明:菱形的4条边都相等。

菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。

分析:

第一条定理可先用“两组对边分别相等”证明平行四边形,再利用一组邻边相等得证;第二

第 15 页

条定理可利用“三线合一”证得。

问题三 已知菱形的两条对角线长分别为6和8,由此你能获得有关这个菱形的哪些结论?(可得到边长为5;面积为24)你认为菱形的面积与菱形的两条对角线的长有关吗?如果有关,怎样根据菱形的对角线的计算它的面积?

由此可得:菱形的面积等于它的两条对角线长的积的面积。

例 1、 如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架,顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩,根据需要可以改变挂钩之间 的距离(比如AC两点可以自由上下活动),若菱形的边长为13厘米,要使两排挂钩之间 的距离为24厘米,并在点B、M处固定,则B、M

分析:可将问题归结到菱形ABCD中研究,求出BD的长即可。可根据菱形的对角线互相垂直平分利用勾股定理求出BD。

练习P18

1

、2

例2 已知:如图,四边形ABCD是菱形,G是AB上任一点, DF交AC于点E。

求证:∠AGD=∠CBE

分析:结合“全等三角形对应角相等”和“两直线平行,内错角相等”即可得证。 练习:

1、如图,在菱形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,

如果EF=2,那么ABCD的周长是( D ) A.4 B.8 C.12 D.16 2、如图,已知菱形的两条对角线长为a,

b,你能将菱形沿对角线分割后拼接成矩形吗?画图说明

(拼出一种图形即可);在此过程中,你能发现菱形的面

第 16 页

积与a,b的关系吗?

拼法(1) 拼法(2)

1?11?1 S菱形?S矩形(1)??a?a??b?ab,2?22?2

或S菱形1?11?1 ?S矩形(2)??b?b??a?ab.2222??

结论:菱形的面积等于两对角线乘积的一半.

3、己知:如图,菱形ABCD中,∠B=600,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 .

四、分层训练

1.已知菱形的周长为16cm,则菱形的边长为_____cm.

2.已知四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,AC=8cm,DB=6cm

,?菱形的边长是________cm.

3.已知菱形的边长是5cm,一条对角线长为8cm,则另一条对角线

长为______cm.

4.菱形ABCD的周长为40cm,两条对角线AC:BD=4:3,那么对角

线AC=______cm,BD=______cm.

5.如图,四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,AB=12cm,则∠ABD

的度数为_____,?∠DAB的度数为______;对角线BD=_______,AC=_______;菱形ABCD的面积为_______.

6.菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是( ).

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

7.如图,在菱形ABCD中,CE⊥AB,E为垂足,BC=2,BE=1,求菱形的周长和面积.

五、小结

菱形的

对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角形,所以解决菱形问题,常常可以转化为等腰三角形或直角三角形问题。

六、作业

第 17 页

1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定(4)

教学目标

1、会归纳正方形的特性并进行证明

2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明

3、在进行探索、猜想、证明的过程中,进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用

4、在比较、归纳、总结的过程中,进一步体会特殊与一般之间的辩证关系 教学重、难点

重点:经历观察、实验、猜想、证明等活动,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力 难点:有条理地、清晰地阐述自己的观点 教学过程: 一、情境创设

这是一个流传在世界各地的故事,三姐妹的父亲是一位慈祥的阿拉伯老人。一天,老人不幸去世,临终,老人留给三个女儿一件珍贵的传家宝——一块五色斑斓的正方形地毯,深爱父亲的女儿们都想得这块地毯,以作纪念。大姐想出了一个好办法:“把它裁成三个小正方形地毯,为了不使地毯剪得过于零碎,最好只剪成4块,其中两块是正方形,另外两块可以拼成一个正方形。”聪明的你能想出一个巧妙的剪法,符合大姐的设想吗? 二、合作交流

探索正方形的性质(1)边的性质: ;(2)角的性质: ;

(3)对角线的性质: ; (4)对称性: 。

例1、 已知:如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于 点O;正方形A?B?C?D?的顶点A?与点O重合,A?B?交BC于点E,

A?D?交CD于点F,E是BC的中点。

(1)求证:F是CD的中点

(2)若正方形A?B?C?D?绕点O旋转某个角度后,OE=OF吗? 分析:(1)方法一∵OB=OC,E是BC的中点

∴OE⊥BC,∠OEC=90° ∵∠EA?F=∠ECF=90°

第 18 页

∴∠OFC=90°

∵OC=OD

∴F是CD的中点

方法二 ∵∠EA?F=90°,AC⊥BD ∴∠EOC+∠COF=∠DOF+∠COF=90°

∴∠EOC=∠DOF 又OC=OD,∠OCE=∠ODF=45°

∴△OCE≌△ODF(ASA)

∴DF=CE=11BC=CD,即F是CD的中点。 22

(2)证明方法同前方法二。

由(1)、(2)可以得到什么结论?(无论正方形A?B?C?D?绕点O旋转并与正方形ABCD分别交BC、CD于点E、F,总有OE=OF,BE=CF,EC=FD,两个正方形的重叠部分的面积始终等于正方形ABCD面积的四分之一等等)

练习

如图,将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放,点A1、A2、?、An分别是正方形的中心,则n个这样的正方形重叠部分的面积和为( C )

1nA.cm B.cm4422 n?1C.cm42 1nD.() cm 42D

例2、已知,在正方形ABCD中,E是BC的中点,点F在CD上,∠

FAE﹦∠BAE.

求证:AF﹦BC+FC.

例3、 求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等

腰直角三角形。

F C

E

例4、已知正方形ABCD。

第 19 页

(1)如图1,E是AD上一点,过BE上一点O作BE的垂线,交AB于点G,交CD于点H,求证:BE=GH;

(2)如图2,过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线,分别交AD、BC于点E、F,交AB、CD于点G、H,EF与GH相等吗?请写出你的结论;

(3)当点O在正方形ABCD的边上或外部时,过点O作两条互相垂直的直线,被正方形相对的两边(或它们的延长线)截得的两条线段还相等吗?其中一种情形如图3所示,过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n,m与AD、BC的延长线分别交于点E、F,n与AB、DC的延长线分别交于点G、H,试就该图对你的结论加以证明。

练习:

1、(2006年潍坊市)如图7,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30?°到正方形AB′C′D′,图中阴影部分的面积为( )

A.12 B3 C.1-3 D.1-4

2、已知:如图,正方形ABCD的周长为4a,四边形EFGH四个顶点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上滑动,在滑动过程中,始终有EH∥BD∥FG,且EH=FG,那么四边形EFGH的周长是否可求?若能求出,它的周长是多少?若不能求出,请说明理由.

三、分层训练

1、如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是对角线AC上的一点,分别以AP、PC为对角线作正方形,则两个小正方形的周长的和是_________。

_ A 页

_ F P

2、如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上,AE平分∠DAC,则下列结论:(1)∠E=22.50. (2) ∠AFC=112.50. (3) ∠ACE=1350(4)AC=CE(5) AD∶CE=1∶2. 其中正确的有( )(A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个

3、如图,在正方形ABCD的边BC上任取一点M,过点C作CN⊥DM交AB于N,设正方形对角线交点为O,试确定OM与ON之间的关系,并说明理由.

D C N

M

四、小结 A B (1) 正方形与矩形,菱形,平行四边形的关系如下图。

(2)正方形的性质:

①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形。

⑤正方形对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对

(3)本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论,从特殊情形逐步推广到一般的情形,从而得到一般的结论,这也是我们获得数学结论的一种重要的思想方法。

五、课堂检测

1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定(5)

教学目标

1、会证明平行四边形的判定定理,结合具体命题了解反证法

2、能运用平行四边形的判定定理及反证法进行简单的计算与证明

第 21 页

3、能运用平行四边形的性质与判定定理进行比较简单的综合推理与证明 4、初步体会证明过程中的反证法的思想及其说理的过程 教学重、难点

重点:平行四边形判定定理的证明,反证法 难点:用反证法证明 教学过程:

一、情境创设

二、合作交流

问题一 你能证明我们曾探索得到的平行四边形的判定方法是正确的吗? 证明:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

分析:先根据命题画出图形,再写出已知、求证,最后用研究平行四边形常见的辅助线“连结对角线”证三角形全等,得到两组内错角相等,由平行线证出平行四边形。

问题二 证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形。

问题三 你认为“一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形”这个结论正确吗?为什么?

问题四 你认为“在四边形ABCD中,如果OA=OC

,OB≠OD,那么四边形ABCD不是平行四边形”这个结论正确吗?为什么?

分析:假设四边形ABCD是平行四边形,那么OA=OC,OB=OD,这与条件OB≠OD矛盾,所以四边形ABCD不是平行四边形。

假设条件成立,结论不成立,然后由这个“假设”出发推导出与条件矛盾的结果,从而证明结论一定成立,这种证明方法叫做反证法。

例1 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC、BD

第 22 页

相交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F。

求证:四边形AECF是平行四边形。

分析:由垂直可证一组对边平行,再利用全等证这组对边相等;或由平行四边形对角线互相平分知OA=OC,再证OE=OF即可;或由垂直证一组对边平行,再利用面积相等法证这组对边相等。

练习:P20页 拓展与延伸及练习1、2

例2、 (哈尔滨市)如图,已知E为平行四边形ABCD

中DC边的延长线上的一点,且CE=DC,连结AE,分别交BC、

BD于点F、G,连结AC交BD于O,连结OF.

求证:AB=2OF.

证明: 连结BE

∵四边形ABCD为平行四边形

∴AB ∥CD,AO=OC,AB=CD =

∵CE=CD,

∴AB=CE,

∴四边形ABEC为平行四边形,

∴BF=FC, ∴OF?1CE即AB=2OF. 2

说明 能用平行四边形的知识解决的问题,不必用三角形的知识解决,这样更简便

四、小结

1.从边与边的关系:

两组对边分别平行

一组对边平行且相等一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等

2.从角与角的关系: 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

3.从对角线的相互关系: 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

五、课堂检测

第 23 页

1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定(6)

教学目标

1、会证明矩形的判定定理

2、能运用矩形的判定定理进行计算与证明

3、能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明

教学重、难点

重点:矩形判定定理的证明

难点:矩形判定定理的应用

教学过程:

一、情境创设

具备什么条件的平行四边形是矩形?具备什么条件的四边形是矩形?同学之间进行交流。

二、探索活动

问题一 如图,在□ABCD中,AC=BD,由此你可得到什么?

问题二 如图,要证□ABCD是矩形,需证什么?为什么?

根据矩形的定义,只要证□ABCD的一个角是直角;或证∠ABO+∠CBO=90°;或证∠ABC=∠DCB. 问题三 说说证明“对角线相等的平行四边形是矩形”的思路。

由问题二可得出多种证明思路。

三、例题教学

例1、 P22 例5

练习:P23 1、2 例2、 已知:如图,□ABCD的四个内角平分线相交于点E、F、G、H。

求证:EG=FH

分析:由□ABCD,得对边AB∥CD,可证∠ABC+∠BCD=180°

再由两角的平分线可得∠GBC+∠GCB=90°,从而得∠HGF=90°,

第 24 页

同理可证得∠HEF=90°,∠AHB=90°,再由对顶角相等得∠EHG=90°,从而可得四边形EFGH是矩形,再由矩形的对角线相等得出结论。

例3 已知:平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,△AOB是等边三角形,AB

=4cm,求这个平行四边形的面积(如图4-38)。

分析解题思路:

(1)先判定平行四边形ABCD为矩形。

(2)求出Rt△ABC的直角边BC的长。

(3)计算S=AB3BC

A

D

B

小结:

(1)具有平行四边形的所有性质。 C

(2)特有性质:四个角都是直角,对角线线段。

(3)矩形的判定方法1、2都是有两个条件:

①是平行四边形,②有一个角是直角或对角线相等。

判定方法3的两个条件是:①是四边形,②有三个直角。

练习:

1.如图,BO是Rt△ABC斜边上的中线,延长BO至点D,使BO=DO,连结AD,CD,?则四边形ABCD是矩形吗?请说明理由.

2.已知:如图,BC是等腰△BED底边ED上的高,四边形ABEC是平行四边形.求证:四边形ABCD是矩形.

第 25 页

四、分层训练

1.下列说法错误的是( )

(A)有一个内角是直角的平行四边形是矩形

(B)矩形的四个角都是直角,并且对角线相等

(C)对角线相等的平行四边形是矩形

(D)有两个角是直角的四边形是矩形

2.平行四边形内角平分线能够围成的四边形是( )

(A)梯形 (B)矩形 (C)正方形 (D)不是平行四边形

3.如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使四边形EFGH为矩形,四边形ABCD应具备的条件是( ).

(A)一组对边平行而另一组对边不平行;(B)对角线相等

(C)对角线互相垂直; (D)对角线互相平分

4.工人师傅在做门框或矩形零件时,常常测量它们的两条对角线是否相等来检查直角的精度,为什么?

8.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:

(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH;

(2)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是______形,根据的数学原理是:_______________________;

(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,?当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是_______形,根据的数学原理是:_____________________.

五、小结

进行推理论证常常需要从两个方向思考:“证明结论,需要什么条件?”“从已知条件可以推出哪些证明结论所需的事项?”这样有利于探索并获得证明的思路。

六、作业

第 26 页

1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定(7)

教学目标

1、会证明菱形的判定定理

2、能运用菱形的判定定理进行计算与证明

3、能运用菱形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明

教学重、难点

重点:菱形判定定理的证明

难点:菱形判定定理的应用

教学过程:

一、情境创设

具备什么条件的平行四边形是菱形?具备什么条件的四边形是菱形?同学之间进行交流。

二、探索活动

探索“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的证明思路。

问题一 如图,在□ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,

且AC⊥BD,由此你可证得什么?(可得到两对全等的等腰三角形和

四个全等的直角三角形,还可得到AC、BD互相垂直平分)

问题二 如图,要证平行四边形ABCD是菱形,需证什么?为什么?

(要证平行四边形是菱形,根据菱形的定义,只需证一组邻边相等即可)

问题三 说说证明“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的思路。

(思路一:证相邻的两个直角三角形全等得出一组邻边相等即可;思路二:由垂直平分线的性质可得一组邻边相等。)

可选择思路二证明。

思考与探索 你能用直尺和圆规作一个菱形?并说明作图的理由。

作法一:可利用“四边相等的四边形是菱形”来作,先作一个角,再在角的两边上截取相等的边作为菱形的边长,再分别以两个截点为圆心,菱形的边长为半径画弧,两弧相交于一点,这点即为菱形的第四个顶点;

作法二:可利用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”来作,可先作出两条互相垂直平分的线段,再将两条线段的四个端点顺次连结起来,即作出了一个菱形。

例1、 已知:如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AD是角平分线,点E、F分别在AC、AD上,且AE=AB,EF∥BC。

求证:四边形CDEF是菱形。

第 27 页

分析:由已知AD为角平分线,AE=AB联想到“三线合一”, 因此连结BE,可得到四边形BDEF的对角线互相垂直,只需证 四边形BDEF是平行四边形即可,而已知EF与BD平行,只需证 EF=BD,这可由全等三角形解决。

练习:

1、已知:如图,在□ABCD中,对角线BD平分∠ABC。 求证:四边形ABCD是菱形。

2、已知:如图,在△ABC中,AD是角平分线,E是AB上一点,且AE=AC,EG∥BC,EG交AD于点G。 求证:四边形EDCG是菱形。

例2、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE?垂直平分BC,垂足为D,交AB于点E,又点F在DE的延长线上,且AF=CE.求证:四边形ACEF为菱形.

【分析】欲证四边形ACEF为菱形,可先证四边形ACEF为平行四边形,然后再证ACEF为菱形,当然,也可证四条边相等,直接证四边形为菱形.

练习:1、(2006年河南省)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3.D是BC边上一点,?直线

DE⊥BC于D,交AB于E,CF∥AB交直线DF于F.设CD=x. (1)当x取何值时,四边形EACF是菱形?请说明理由; (2)当x取何值时,四边形EACD的面积等于2?

?

第 28 页

2.如图,点E、F是菱形ABCD的边BC、CD上的点,请你添加一个条件(?不得另外添加辅助线和字母),使AE=AF,你添加的条件是________.

四、分层训练

1、判断

(1)对角线互相垂直的四边形是菱形。( )

(2)对角线互相平分的四边形是菱形。( )

(3)两组对边分别平行,且对角线 的四边形是菱形。

(4)两组对边分别相等,且对角线互相垂直的四边形是菱形。( )

2、(1)如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,DE和CE相交于E,求证:四边形OCED是菱形。

3、、已知:如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于点E,

DF∥AB交AC于点F,请判断四边形AEDF的形状,并说明理由。

4、已知:如图,□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC

分别相交于点E、F。

求证:四边形AFCE是菱形。

5、将一张长方形纸片既快又准确地剪出一个菱形,并说出这样剪的依据。五.目标检测

六、小结

1、 用直尺和圆规作一个菱形,并说明作图依据。

2、 菱形的判定方法。

第 29 页

1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定(8)

教学目标

1、根据平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系,归纳出正方形的判定定理

2

、能运用正方形的判定定理进行简单的计算与证明

3、能运用正方形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明

4、在探究与证明正方形判定定理的过程中,进一步体会一般与特殊的辩证关系,提高分析问题与解决问题的能力

教学重、难点

重点:正方形判定的应用

难点:通过引导合情推理和演绎推理,提高逻辑思维水平

教学过程:

一、情境创设

正方形是特殊的矩形和特殊的菱形,那么什么样的矩形是正方形?什么样的菱形是正方形?

二、合作交流

为了活跃学生思维,可以提出以下问题:

①对角线相等的菱形是正方形吗?为什么?

②对角线互相垂直的矩形是正方形吗?为什么?

③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?为什么?

④四条边都相等的四边形是正方形吗?为什么?

⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗?

判定方法

(1)矩形、菱形法:先判定四边形是矩形,再判定这个矩形是菱形(一组邻边相等的矩形);或者先判定四边形是菱形,再判定这个菱形也是矩形(有一个角是直角的菱形)。

(2)定义法:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形,这是直接利用定义来判定的。

如何用直尺和圆规作正方形?如何把长方形纸片通过折纸,剪出一个正方形纸片?

AG

例1 已知:如图,E、F、G、H分别是正方形各边的中点, AF、BG、CH、DE分别两两相交于点A?、B?、C?、D?。

求证:四边形是正方形。

分析:如右图,正方形ABCD中,点F、G分别是BC、CD 的中点,AF、BG相交于点P,AF与BG互相垂直吗?若将点F、 G分别是BC、CD的中点改为BF=CG,是否有同样的结论?

同上,本例可考虑证“有一组邻边相等的矩形是正方形”。 (是否还有其他证明方法?与同学交流)

若点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上,且

AE=BF=CG=DH,则四边形A?B?C?D?还是正方形吗?证明你的结论。

练习:1、P25 练习1、2

G

A

A

例2:已知:如图,点A'、B'、C'、D'分别是正方形ABCD 四条边上的点,并且AA'=BB'=CC'=DD'。

求证:四边形A?B?C?D?是正方形

24题

例3、如图,在Rt△ABC与 Rt△ABD中,∠ABC=∠BAD=90°,AD=BC,AC,BD相交于点G,过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E,过点B作BF∥CA 交DA的延长线于点F,AE,BF相交于点H. (1)图中有若干对三角形是全等的,请你任选一对进行证明;(不添加任何辅助线) (2)证明四边形AHBG是菱形;

(3)若使四边形AHBG是正方形,还需在Rt△ABC 的边长之间再添加一个什么条件?请你写出这个条件.(不必证明)

练习:

1.用两个全等的直角三角形拼下列图形:①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤等腰三角形;⑥等边三角形;一定可以拼成的是________(只填序号). 2、(2006年黄冈市)如图2,将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线L向右滚动(不滑动),当正方形滚动两周时,正方形的顶点A所经过的路线的长是________cm.

第 31 页

三、分层训练

1、(20062深圳市)如图6所示,在四边形ABCD中,

AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O.若不

增加任何字母与辅助线,要使得四边形ABCD是正方形,

则还需增加的一个条件是 .AC=BD

2、如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,

DE⊥AC,DF⊥BC,E、F是垂足。

求证:四边形DECF是正方形。

3、已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, AD CD是角平分线,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E、F。

AECFD是正方形。

E5、如图,将一张长方形纸片对折两次,然后剪下一个角,打开.如果要剪出一个正方形,那么剪口线与折痕成( C )

A.22.5角

C.45角

五、小结

1、特殊的图形具有一般图形的性质和它的特殊性质。

2、一个图形的形状越特殊,它的判定需要的条件就越多。

3、判定一个四边形是正方形的思考方法有哪些?

第 32 页 ?? B.30角 D.60角 ??(第5题图)

1.4等腰梯形的性质和判定

教学目标

1. 掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念

2. 能够运用等腰梯形的性质和判定进行有关问题的论证和计算,进一步培养学生的分析能力和计算

能力.

通过添加辅助线,把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题,使学生体会图形变换的方法和转化的

思想

教学重点:等腰梯形的性质和判定.

教学难点:解决梯形问题的基本方法(将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线).

教法:小组讨论,引导发现、练习巩固

教学过程:

一、【复习提问】

1.什么样的四边形叫梯形,什么样的梯形是直角梯形、等腰梯形?

2.等腰梯形有哪些性质?它的性质定理是怎样证明的? 3.在研究解决梯形问题时的基本思想和方

法是什么?常用的辅助线有哪几种? 我们已经掌握了等腰

梯形的性质,那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢?今天我们就共同来研究这个问题.

二、【引人新课】

等腰梯形判定定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

例1已知:如图,在梯形

(1) 如图,过点

(2) 作高 、 ,通过证

推出 .

作 、 ,交 于 中, ,得 , ,求证: ,所以得

(3)分别延长 、 交于点 ,则 与

都是等腰三角形,所以可得.

第 33 页

由此我们想到梯形的性质定理:等腰梯形在同一高上的两个角相等.

例2 如图,求证:等腰梯形的两条对角线相等.

已知:在梯形

分析:要证

,即可得出 中, , ,求证: . ,然后再利用

,只要用等腰梯形的性质定理得出 .

三 解决梯形问题常用的方法 在证明梯形性质定理时,我们采取的方法是过点

转化成三角形来解,实质上是相当于把采取 作 交 于 ,从而把梯形问题 平行移动到 的位置,这种方法叫做平行移动(也可移对角线),这是解决梯形问题常用的方法之—(1)“作高”:使两腰在两个直角三角形中.

(2)“移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中.

(3)“延腰”:构造具有公共角的两个等腰三角形.

(4)“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形.

四 小结:(以提问的方式总结)

(1)梯形性质和判定定理

(2)解决梯形问题的基本思想和方法.

(3)解决梯形问题时,常用的几种辅助线.

五 作业布置

第 34 页

1.5 三角形中位线定理(1)

一教学目标

1. 掌握中位线的概念和三角形中位线定理

2. 能够应用三角形中位线概念及定理进行有关论证和计算,进一步提高学生的计算能力

3. 通过定理证明及一题多解,逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力

4. 通过一题多解,培养学生对数学的兴趣

二 重难点

教学重点:三角形中位线的概论与三角形中位线性质.

教学难点:三角形中位线定理的证明.

三 教学过程

一、情景创设

课本以引导学生回忆探索三角形中位线与第三边的位置关系和数量关系的过程{将一张三角形纸片剪成两部分,使分成的两部分合成一个平行四边形}为情景。

二、引入新课

1. 三角形中位线:连结三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.

2. 三角形中位线性质

三角形中位线定理:三角形中位城平行于第三边,并且等于它的一半.

应注意的两个问题:①为便于同学对定理能更好的掌握和应用,可引导学生分析此定理的特点,即同一个题设下有两个结论,第一个结论是表明中位线与第三边的位置关系,第二个结论是说明中位线与第三边的数量关系,在应用时可根据需要来选用其中的结论(可以单独用其中结论).②这个定理的证明方法很多,关键在于如何添加辅助线.可以引导学生用不同的方法来证明以活跃学生的思维,开阔学生思路,从而提高分析问题和解决问题的能力.但也应指出,当一个命题有多种证明方法时,要选用比较简捷的方法证明.

(l)延长DE到F,使

(2)延长DE到F,使

C.

(3)过点C作 ,与DE延长线交于F,通过证

第 35 页 可得AD

FC. ,连结CF,由 可得AD

FC. F ,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形,可得AD

上面通过三种不同方法得出AD

FC,再由 得BD

FC,所以四边形DBCF是平行四边形,DF

BC,又因DE

,所以DE

.

例 求证:顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.

已知:如图所示,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

求证:四边形EFGH是平行四边形.‘

分析:因为已知点分别是四边形各边中点,如果连结对角线就可以把四边形分成三角形,这样就可以用三角形中位线定理来证明出四边形EFGH对边的关系,从而证出四边形EFGH是平行四边形.

【小结】

1.三角形中位线及三角形中位线与三角形中线的区别.

3. 三角形中位线定理及证明思路.

【练习】

课本P32 T1.2

1.5 梯形的中位线

教学目标

1.掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理

2.掌握定理“过梯形一腰中点且平行底的直线平分另一腰”

3.能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算,进一步提高学生的计算能力和分析能力

4.通过定理证明及一题多解,逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力

5. 通过一题多解,培养学生对数学的兴趣

重难点

教学重点:梯形中位线性质及不规则的多边形面积的计算.

教学难点:梯形中位线定理的证明.

教法:引导分析、类比探索,讨论式

教学过程:

一、 情景创设

上一节课我们通过对三角形的中位线定理的再认识,知道顺次连接四边形各边的中点会得到一个平行四边形,那么如果我顺次连接的是矩形,菱形或正方形,又会得到什么样的图形呢?

二、 引入新课

第 36 页

1.梯形中位线定义:连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.

2.现在我们来研究梯形中位线有什么性质.

如图所示:EF是

( 的中位线,引导学生回答下列问题:(1)EF与BC有什么关系? ,那么DF与FC,AD与GC是否相等?为什么?(3)EF与 ) (2)如果

AD、BG有何关系?

,教师用彩色粉笔描出梯形ABGD,则EF为梯形ABGD的中位线.

由此得出梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.

现在我们来证明这个定理.

已知:如图所示,在梯形ABCD中 求证: .

分析:把EF转化为三角形中位线,然后利用三角形中位线定理即可证得.

说明:延长BC到E,使 ,或连结AN并延长AN到E,使 ,这两种方法都需证三点共线(A、N、E或B、C、E)较麻烦,所以可连结AN并延长,交BC线于点E

,这样只需证

即可得

3.复习小学学过的梯形面积公式

(其中a、b表示两底,h表示高) ,从而证出定理结论. .

因为梯形中位线 所以有下面公式:

例题:,有一块四边如图所示形的地ABCD,测得

,顶点B、C到AD的距离分别为10m、4m,求这块地的面积.

三、【小结】(以回答问题的方式让学生总结)

(1)什么叫梯形中位线?梯形有几条中位线?

(2)梯形中位线有什么性质?

(3)梯形中位线定理的特点是什么?

(4)怎样计算梯形面积?怎样计算任意多边形面积?(用投影仪)

第 37 页

2.1极差

教学目标:

(1) 经历刻画数据离散程度的探索过程,感受表示数据离散程度的必要性。.

(2) 掌握极差的概念,理解其统计意义。

(3) 了解极差是刻画数据离散程度的一个统计量,并在具体情境中加以应用。

教学重点:掌握极差的概念,理解其统计意义。

教学难点:极差的统计意义.

教学方法:讨论法

教学过程:

一.情景创设

小明初一时数学成绩不太好,一学年中四次考试成绩分别是75、78、77、76.初一暑假时,小明参加了科技活动小组,在活动中,小明体会到学好数学的重要性,逐渐对数学产生了兴趣,遇到问题时从多方面去思考,深入钻研.因此小明的数学成绩进步很快,初二的一学年中,小明在四次考试的数学成绩是80、85、92、95.

看完这则小通讯,请谈谈你的看法.你以为在这些数据中最能反映学习态度重要性的是哪一对数据?两者相差多少?

引入概念:极差.

二、探索活动

下表显示的是某市2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温:

试对这两段时间的气温进行比较.

我们可以由此认为2002年2月下旬的气温比2001年高吗?

两段时间的平均气温分别是多少?平均气温都是12℃.这是不是说,两个时段的气温情况没有什么差异呢?请同学们根据上表提供的数据,绘制出相应的折线图.

第 38 页

观察一下,它们有差别吗?把你观察得到的结果写在下面的横线上:

_____________________________________________________________.

通过观察,我们可以发现: 图(a)中折线波动的范围比较大——从6℃到22℃,图(b)中折线波动的范围则比较小——从9℃到16℃.

思考

什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小?

我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变围.用这种方法得到的差称为极差(range).

极差=最大值-最小值.

三、实践应用

例1 观察上图,分别说出两段时间内气温的极差.

例2 你的家庭中年纪最大的长辈比年纪最小的孩子大多少岁?

例3 自动化生产线上,两台数控机床同时生产直径为40.00毫米的零件,为了检验产品质量,从产品中各抽出10件进行测量,结果如下(单位:毫米).

(2) 就所生产的10个零件的直径变化范围,你认为哪个机床生产的质量好

?

(2) 因为甲的极差为0.12,乙的极差为0.22,所以甲机床生产的质量较好.

四、检测反馈

试计算下列两组数据的极差:

A组:0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5;

第 39 页

B组:4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5.

五、交流反思

1.了解极差的意义.

2.知道极差的计算方法.

3.会观察折线图,能应用极差对简单问题做出判断.

五、作业

2.2方差与标准差

教学目标:

(1) 经历刻画数据离散程度的探索过程,感受表示数据离散程度的必要性。.

(2) 知道方差、标准差的意义,会计算一组数据的方差与标准差.

(3) 培养学生的计算能力. 渗透数学知识抽象美及图像上的形象美,提高数学美的鉴赏力 教学重点:方差概念.

教学难点:方差概念..

教学方法:讨论法

教学过程:

一.情景创设

乒乓球的标准直径为40mm,质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只,对这些乒乓球的直径了进行检测。结果如下(单位:mm):

A厂:40.0,39.9,40.0,40.1,40.2,39.8,40.0,39.9,40.0,40.1;

B厂:39.8,40.2,39.8,40.2,39.9,40.1,39.8,40.2,39.8,40.2.

你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢?

(1) 请你算一算它们的平均数和极差。

(2) 是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准?

今天我们一起来探索这个问题。

二、探索活动

通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况,而对其他数据的波动情况不敏感。让我们一起来做下列的数学活动:

第 40 页

1画一画

2填一填 A厂

B厂

3算一算

把所有差相加,把所有差取绝对值相加,把这些差的平方相加。 4想一想

你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况? 三、师生活动,揭示新知 (一)

方差

1. 描述一组数据的离散程度可采取许多方法,在统计中常先求这组数据的平均数,再求这组数据

与平均数的差的平方和的平均数,用这个平均数来衡量这组数据的波动大小: 设在一组数据

中,各数据与它们的平均数

的差的平方分别是

,那么我们求它们的平均数,即用

2. 请你归纳一下方差概念,并说说公式中每一个元素的意义。 3. 谈谈方差的作用? 4. 说说你的疑问:

第 41 页

(1)为什么要这样定义方差?

(2)为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值,而要将它们平方?

(3)为什么要除以数据个数n?(是为了消除数据个数的影响).

5. 初步运用

在学生理解了方差概念之后,再回到了引例中,通过计算两组数据的方差,再根据理论说明。 (二)

1.问题:

方差的单位与愿数据的单位相同吗?应该如何办?

2.引出新知----标准差概念 标准差

有些情况下,需用到方差的算术平方根,即④

并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量. 例如:P 47

3.教师引导学生分析方差与标准差的区别与联系:

计算标准差要比计算方差多开一次平方,但它的度量单位与原数据一致,有时用它比较方便

四、实际应用,巩固新知

P47 练习 1,2

五、你的收获

今天我们一起探索了数学的有关什么知识?你取得了哪些收获?

六、作业

P48 习题 2.2 1、2

第 42 页

3.1二次根式(1)

教学目标:

(1) 了解二次根式的概念,初步理解二次根式有意义的条件.

(2) 通过具体问题探求并掌握二次根式的基本性质:当a≥0时,

行一些简单的计算。

(3) 通过观察一些特殊的情形,获得一般结论,使学生感受归纳的思想方法。 a?= a;能运用这个性质进2教学重点:二次根式的概念以及二次根式的基本性质

教学难点:经历知识产生的过程,探索新知识.

教学方法:讨论法

教学过程:

一.情景创设

1.回顾:什么叫平方根? 什么叫算术平方根?

2. 计算:

(2)如图,在Rt?ABC中,AB=50m,BC=am,则m.

(3)圆的面积为S,则圆的半径是.

(4)正方形的面积为b?3,则边长为3.对上面(2)~(4)题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗?

二、探索与实践

1、二次根式的定义.

______________________________________________________ 说说对二次根式a 的认识,好吗?

________________________________________________________

2、练习:说一说,下列各式是二次根式吗? (1) (2)6 (3)?12 (4)?m(m?0)

(5)xy(x、y异号) (6)a2?1 (7)5

3、例1: x是怎样的实数时,式子x?5在实数范围内有意义?

4、二次根式性质的探索:

22=4,即(4)2= 4;32=9,即()2= 9;??

观察上述等式的两边,你得到什么启示?

第 43 页 A B

揭示:当a≥0时,

5、例2。计算:

(1)(

6、练习.

(1)(a? = a。 23)2; (2)(22); (3) (a?b)2 (a+b≥0) 322)? (2)(?23)2 3

三、课堂练习

P59页 练习1、2.

四、课堂小结

引导学生总结

1. 什么叫做二次根式?你们能举出几个例子吗?

2. 二次根式有哪两个形式上的特点?

3.当a≥0时,

五、作业

3.1二次根式(2)

教学目标:

(1)

a? = ? 2?a(a?0)?a。?. ???a(a?0)

(2) 会用二次根式的性质进行根式的化简..

教学重点:二次根式的性质的掌握.

第 44 页

教学难点:二次根式的性质的应用..

教学方法:讨论法

教学过程:

一.情景创设

1.

在化简时,

李明同学的解答过程是??4;

张后同学的解答过程是??4. 谁的解答正确?为什么?

2

?a(a?0)?a?? ? ?a(a?0)?

二、探索活动

1.请同学们观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律,再和同学们进行交流

.

??2;

?? ??2;??3;??3;

让学生通过观察,提出发现的猜想,并进行交流.

2.发现:当a≥0

?a(

?a(a?0)- a ?a,a当?a<??a?? ????a(

a?0)3.明确 师生共同归纳可得

?a(a?0)?a?? ?a(a?0)?

4.?a(a?0)?a2a(a? 0)与a

??的区别?

三、实际应用,巩固新知

1.尝试练习:化简(1)(?7)? (22 (2)x2?6x?9(x??3)讨论交流后,推选代表板演

2.讨论. 计算:

(1224? (2(?1.5)? (3(x?1)? (x≥1)

四、练习

1.P60 练习 1,2

第 45 页

2. 计算:

(1)25? (2)(?7)2?

(3) (22)? (4)x2?4x?4? (x?2) 3

五、你的收获

(1)内容总结

?0(a?0)

二次根式的性质 2?a(a?0)?a(a?0)?a?????a(a?0) (2)方法归纳

正确地理解二次根式的性质是进行化简或运算二次根式的关键.

六、作业

P60 习题 3.1 3、4

3.2二次根式的乘除(1)

教学目标:

(1)使学生能掌握积的算术平方根的性质:ab?a?(a?0,b?0);.

a0,?b?b0)并进行相关计a?=ab?(a?(2)使学生能运用积的算术平方根的性质熟练解题。 ab?(3)使学生能掌握并能运用二次根式的乘法法则

算。

教学重点: 积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则

教学难点:积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则的理解与运用 教学方法:讨论法

第 46 页

教学过程:

一、情境创设

1.复习旧知:什么是二次根式? 已学过二次根式的哪些性质?

2.出示:

二、探索活动。

1.学生计算。

2.请同学们观察以上式子及其运算结果,看看其中有什么规律?

学生分小组讨论。

3.全班交流。

指名学生回答,其余学生补充。可要求学生举一些类似的式子。

ab4数相乘,而根号不变. 5.由以上公式逆向运用可得______________________________.

板书:

文字语言叙述:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积.

三、例题教学

例1、计算: (1)

例2、化简:

(1(5)2? (2)1? (3)2a?a(a?0) 272?524a2b3, (23?81,2a?a8a(a?0) (3 (4(a≥0,b≥0)

小结:如何化简二次根式?(关键:将被开方数因式分解或因数分解,使出现“完全平方数”或“偶次方因式”)

四、练习:

第 47 页

P62---1、2

五、思维拓展

ab思考:33c=________ 请举例说明它的应用.

六、小结 从本节课的学习中,你有什么收获?

七、作业

3.2二次根式的乘除(2)

教学目标:

(1)使学生能进一步理解二次根式的乘法法则,能熟练地进行二次根式的乘法运算;.

(2)使学生能熟练地进行二次根式的化简及变形。

教学重点:熟练地进行二次根式的化简、乘法运算

教学难点:熟练地进行二次根式的化简、乘法运算

教学方法:讨论法

教学过程:

一、情境创设

复习旧知:上节课主要学习了二次根式的乘法法则及其积的算术平方根的性质,谁能说说它们的内容各是什么?

回答:(1)1332=______,(2)?___________. 2

这节课继续学习它们的应用。

二、探索活动。

1.学生尝试练习。

第 48 页

化简:(1)200 (2)x3y(x≥0,y≥0)

(3)

x3?x2y(x≥0,x+y≥0)

2.学生分小组讨论后全班交流。

三、例题教学

1.引导学生回顾:

与ab然后教师引导学生分析并教师讲解上面的例题。

板书解答过程。

2.例4.计算:(1)6? (2)1?24 2

(3)a3?ab(a?0,b?0)

例5、如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=10cm, BC=24cm,求AB。

四、练习:

1.P63---1、2

2..化简:

(1)

(4) A B C (2) (3) x5y3(x?0,y?0) x4?x2y2(x?0,y?0)

3.计算: (1)3? (2)3? (3)a3?ab(a?0,b?0)

五、小结

从本节课的学习中,你有什么收获?

第 49 页

3.2二次根式的乘除(3)

教学目标:

(1).使学生经历二次根式除法法则的探究过程,进一步理解除法法则. (2) 使学生能运用法则

ab

=

ab

(a≥0,b>0)进行二次根式的除法运算;

(3)使学生理解商的算术平方根的性质算。

a=

ab

(a≥0,b>0),并能运用于二次根式的化简和计

教学重点:商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的探究 教学难点:商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的理解与运用 教学方法:讨论法 教学过程:

一、情境创设

ab:?1.想一想

2.思考:

?(aaa?=ab ??0,bb?0)是用什么样的方法引出的?

ab

=?(a≥0,b>0)

二、探索活动。

1.计算并观察两者关系: (1)

42549=_______

4

25

=_______(2)

225

2

=_______

9162252

=______

(3)=______

9100

=______(4)=______=_______

2.请再举例试一试. 你猜想到什么结论呢?

3.小结:一般地,

注意,为什么要加a,b条件? 三、例题教学

1.例5 计算: (1)

3

(2)

7

第 50 页

(3)27? (4)21?33

2.思考: a(.

3.例6 化简:(1)1625

3

16 (2)79 (3) (4)4b29a2(a>0,b≥0)

4.练习:P65 练习 1、2

四、思维拓展

1.怎样计算:12123?(2)?(4)? 3535

a=2.小明在学习了ab

=(a≥0,b>0)后,认为ab=a也成立,因此他认为:?20?5=?5?4?5=?5?4?54=2是正确的,你认为他的化简对吗?说说你的理由。

五、小结

二次根式除法运算如何进行?对于简单的二次根式如何逆用二次根式除法运算法则进行化简?

六、作业

第 51 页

3.2二次根式的乘除(4)

教学目标:

(1)使学生能运用法则ab=a(a≥0,b>0)化去被开方数的分母或分母中的根号;.

(2)使学生能进一步明确二次根式化简结果中的被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式,也不含

有分母.根式运算的结果中分母不含有根号。

教学重点:商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的应用

教学难点:商的算术平方根的性质的理解与运用

教学方法:讨论法

教学过程:

一、情境创设

想一想: a=?(a__,b__),ab=? (a__,b__)

二、探索活动。

1.思考:如何化去

2.小组讨论后交流.

板书: 13的被开方数中的分母呢? 13=1?33=3?332=32=3

3.请再举例试一试.

4. 想一想:如果上面

5. 小组讨论后交流.

指名板书过程,有:

三、例题教学

1.例7 化去根号内的分母: 13首先化成13,那么该怎样化去分母中的根号呢? 13=13=1?3?=3.

(1)23 (2)21

3 (3)2y(x?0,y?0) 3x

2

3 (2)

第 52 页 2. 例8.化去分母中根号: (1)1

(3)2y3x(x?0,y?0)

3. 练习:P66 练习 1、2

四、思维拓展

1. 当(a≥0,b>0)时,ab= a?bb?b=abab=b2b2

==ab. b2. 当(a≥0,b>0)时,

五、小结 ab=a?bb?ab b

1.一般地,二次根式运算的结果中,被开方数中应不含有分母,分母中应不含有根号.那么应该怎样进行这两类二次根式的化简呢?

2.化简二次根式实际上就是使二次根式满足:

(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;

(2)被开方数中不含有分母;

(3)分母中不含有根号.

六、作业

3.3二次根式的加减(1)

教学目标:

(1)使学生了解同类二次根式的概念, 掌握判断同类二次根式的方法;.

(2)使学生能正确合并同类二次根式,进行二次根式的加减运算.

教学重点:同类二次根式的概念及掌握合并同类二次根式的方法

教学难点:同类二次根式的概念

教学方法:讨论法

教学过程:

一、情境创设

1.(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两列火车共运多少?

(2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两列火车共运多少?

第 53 页

2.以下问题你能用同样的方法计算吗?

?1?32?42?2?5?2?3???42

二、探索活动。

1.运用以前所学知识进行总结:如果几个二次根式的被开方数相同,那么可以直接根据分配律进行加减运算;

2.下列2组二次根式,每组二次根式的被开方数相同吗?可以相加吗?

3.经过化简,这组的各个根式被开方数相同吗?那么原来这组数据可以相加吗

4.讨论:要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并?

5.(1)说出 2的三个同类二次根式;(2)试举出一组同类二次根式.

6.怎样合并同类二次根式?

7.上面引例中第(3)小题该怎样计算?

注意

:不是同类二次根式的二次根式(如

三、例题教学

1.计算: 2与不能合并)

(指名板演,然后集体批改评讲)

2.例2

第 54 页

四、练习:

P70 练习 1、2、3

补充:1.

③ B.②和③ C.①和④ D.③和④

2. 如果最简根式

五、小结

1.同类二次根式的定义;

2.二次根式加减运算的步骤;

3.如何合并同类二次根式,合并同类二次根式与合并同类项类似;

六、作业

P72

教后感:

3.3二次根式的加减(2)

教学目标:

(1) 使学生掌握二次根式的运算方法,明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用;.

(2) 正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算。

教学重点:正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算

教学难点:二次根式的运算法则

教学方法:讨论法

教学过程:

一、情境创设

1.二次根式的乘除法是怎样进行的?二次根式的加减法是怎样进行的?

第 55 页

b-a3b 2b-a+2 是同类根式,那么a=_____,b =______. ) A.①和

2.什么叫同类二次根式?举例说明。

3.回顾整式的乘法公式:多项式乘法公式、平方差公式、完全平方公式。

二、探索活动。

1.怎样计算:(?22)(23?2)?

小组讨论,全班交流。

类比:怎样计算(a-b)(a+2b)?

2.怎样计算:(?22)(?22)?

回顾:(a-b)(a+b)=________ 3.(3?22)2呢?

小结:在进行二次根式的混合运算时,我们曾学过的整式运算的运算律仍然适用。

三、例题教学

1.例3、计算:(1)(5?23)?12(2)(3?22)(23?2)

2.例4、计算:(1)(

3?2)?(3?2)(2)(3?25)2

3.小结:多项式的乘法法则和乘法公式同样适用于二次根式的多项式乘法

4.练习:P72 练习1、2

5.补充练习:计算:

(1).2

(3).(2

四、思维拓展

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3求Rt△ABC的周长和面积.

2. 已知a3??1211?50 (2).(27?24?3)?3325 3?)(2?) (4).(a3b?3ab?ab3)?(ab)(a>0,b>0) 2 ,AC=22 ??2,b??2,求a2?ab?b2的值。

3. 比较大小,并说明理由.

4?6与2?

第 56 页

(4?6)2?10?46

(2?5)2?10

?4?6?2?

五、小结

本节课学习了二次根式的运算,在进行运算时要注意什么?

1.二次根式四则混合运算的顺序和整式的四则混合运算的顺序是一样的,含相同二次根式的项要合并.

2.运算律同样适用于二次根式的运算.

3.计算结果要最简.

六、作业

P72

教后感:

4.1 一元二次方程

教学目标

1、经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程,进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型

2、了解一元二次方程的概念和它的一般形式,会根据实际问题列一元二次方程

教学重、难点

重点:一元二次方程的概念和一般形式

难点:正确理解和掌握一般形式中的a≠0,“项”和“系数”

教学过程:

一、情境创设

1、小区在每两幢楼之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,则绿地的长和宽各为多少?

2、学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册,求这两年的年平均增长率?

3、一个正方形的面积的2倍等于15,这个正方形的边长是多少?

第 57 页

4、一个数比另一个数大3,且两个数之积为10,求这两个数。

二、探索活动

上述问题可用方程解决:

问题1中可设宽为x米,则可列方程: x(x+10)= 900

问题2中可设这两年的平均增长率为x,则可列方程: 5(1+x)2 = 7.2

问题3中可设这个正方形的连长为x,则可列方程: 2x2 = 15

问题4中可设较小的一个数为x,则可列方程: x(x+3)= 10

观察上面列出的4个方程,它们有哪些相同点?(从方程的概念看)

归纳:像上述方程这样,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 注:符合一元二次方程即符合三个条件:①一个未知数;②未知数的最高次数为2;③整式方程 任何一个关于x的一元二次方程都可以化成下面的形式:

ax2+bx+c = 0(a、b、c是常数,且a≠0)

这种形式叫做一元二次方程的一般形式,其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项,a、b分别叫二次项系数和一次项系数。

三、例题教学

例 1 根据题意,列出方程:

(1)某学校图书馆去年年底有图书1万册,预计到明年年底增加到1.44万册。求这两年图书的年平均增长率。(答案:设这两年图书馆的年平均增长率是x,根据题意,得12(1+x)=1.44)

(2)一块面积为600平方厘米的长方形纸片,把它的一边剪短10厘米,恰好得到一个正方形。求这个正方形的连长。(答案:设这个正方形的连长是x厘米,根据题意,得x2(x+10)= 600)

例 2 判断下列关于x的方程是否为一元二次方程:

⑴ 2(x-1)= 3y ⑵

⑶(x-3)= (x+5)

2222 2212??3 2xx2⑷ mx+3x-2 = 0 ⑸ (a+1)x+(2a-1)x+5―a = 0

例 3 把下列方程化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项: ⑴ 2(x-1)= 3 x ⑵ 3(x-3)=(x+2)+7

三、课堂练习

P81 练习 1、2

四、课堂小结

第 58 页 222

引导学生总结:

1、一元二次方程定义的三要素。

2、一元二次方程的一般形式及二次项系数不能为零。

五、作业

P81 练习 1、2 P82 习题4.1 1

六、教后感

4.2 一元二次方程的解法(1)

教学目标

1、了解形如(x+m)= n(n≥0)的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法

2、会用直接开平方法解一元二次方程

教学重、难点

重点:会用直接开平方法解一元二次方程

难点:理解直接开平方法与平方根的定义的关系

教学过程:

一、情境创设

我们曾学习过平方根的意义及其性质,现在来回忆一下:什么叫做平方根?平方根有哪些性质?

如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。用式子表示:若x2=a,则x叫做a的平方根。平方根有下列性质:

(1)一个正数有两个平方根,这两个平方根是互为相反数的;(2)零的平方根是零;(3)负数没有平方根。 如何求出适合等式x2=4的x的值呢?

二、探索活动 2

第 59 页

根据平方根的定义,由x2=4可知,x就是4的平方根,因此x的值为2和-2

即 根据平方根的定义,得 x2=4

x=±2

即此一元二次方程的解为: x1=2,x2 =-2

这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

三、例题教学

例 1 解下列方程:

(1)x2=2 (2)4x-1=0 2

分析:第1题直接用开平方法解;第2题可先将-1移项,再两边同时除以4化为x2=a的形式,再用直接开平方法解之。

例 2 解下列方程:

⑴ (x+1)= 2 ⑵ (x-1)-4 = 0

⑶ 12(3-x)-3 = 0

分析:第1小题中只要将(x+1)看成是一个整体,就可以运用直接开平方法求解;第2小题先将-4移到方程的右边,再同第1小题一样地解;第3小题先将-3移到方程的右边,再两边同除以12,再同第1小题一样地去解即可。

小结:如果一个一元二次方程具有(x+m)= n(n≥0)的形式,那么就可以用直接开平方法求解。(用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式,右边化为常数,且要养成检验的习惯)

三、课堂练习

P84 练习 1、2、3

四、课堂小结

引导学生总结:

1、用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤; 2222

第 60 页

2、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗?

五、作业

P84 练习1、2 P93 习题4.2 1

六、教后感

4.2 一元二次方程的解法(2)

教学目标

1、经历探究将一元二次方程的一般(x+m)= n(n≥0)形式的过程,进一步理解配方法的意义

2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,体会转化的思想方法

教学重、难点

重点:使学生掌握配方法,解一元二次方程

难点:把一元二次方程转化为的(x+m)= n(n≥0)形式

教学过程:

一、情境创设

我们已经学过了用直接开平方法解形如(x+m)= n(n≥0)的一元二次方程,那么如何解方程x+6x+4 = 0呢?

二、探索活动

我们能否将方程x+6x+4 = 0转化为(x+m)= n的形式呢?

先将常数项移到方程的右边,得

x+6x = -4

即 x+22x23 = -4

第 61 页 22222222

在方程的两边加上一次项系数6的一半的平方,即3后,得

x+22x23 +3= -4+3

(x+3)= 5

解这个方程,得

x+3 = ±

所以 x1 = ―3+2 22 2 2 x2 = ―5

(注:可以多举几例,综合得出“两边加上一次项系数一半的平方”的结论)

由此可见,只要先把一个一元二次方程变形为(x+m)= n的形式(其中m、n都是常数),如果n≥0,再通过直接开平方法求出方程的解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

三、例题教学

例 1 将下列各进行配方:

⑴x+8x+_____=(x+_____)

⑶x-222 2⑵x-5x+_____=(x-_____)⑷x-6222 3x+_____=(x-____)22 2x+_____=(x-____)2

分析:本题应用“方程两同时加上一次项系数一半的平方”来配方。

例 2 解下列方程:

(1) x-4x+3 = 0 (2)x+3x-1 = 0

小结:用配方法解一元二次方程的一般步骤:

1、把常数项移到方程右边;

2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方,使左边成为完全平方;

3、利用直接开平方法解之。

思考:为什么在配方过程中,方程的两边总是加上一次项系数一半的平方?

三、课堂练习

P87 练习 1、2、3

四、课堂小结 22

第 62 页

引导学生总结:

1、配方法解一元二次方程的作用是什么?配方时要注意什么?

2、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?

五、作业

P87 练习1、2 P93 习题4.2 2、3

六、教后感

4.2 一元二次方程的解法(3)

教学目标

1、掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤和方法

2、会正确运用配方法解一元二次方程,进一步体会配方法是一种重要的数学方法

教学重、难点

重点:使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

难点:把一元二次方程转化为的(x+m)= n(n≥0)形式

教学过程:

一、情境创设

我们已经学过了用直接开平方法与配方法解一元二次方程,那么如何解方程2x-5x+2 = 0呢?

二、探索活动

由于该方程不是(x+m)= n(n≥0)的形式,因此不能用直接开平方法解,而且也不符合上节课

第 63 页 222

用配方法所解的方程的形式,但如果将方程两边同时除以二次项系数的话就和上节课所学的一样了。即

方程两边同时除以2,得

x-x +1= 0

再用上节课的知识解决即可。

小结:对于二次项系数不为1的一元二次方程,我们可以先将两边同时除以二次项系数,再利用配方法求解。

三、例题教学

例 1 解下列方程:

⑴ 3 x+8x+1 = 02 2⑵ -3 x+4x+1 = 02

分析:第1小题先将方程两边同时除以3,将二次项系数化为1,再用配方法解之;而第2小题的二次项系数是负数,同样只需两边同除以二次项系数-3,再用配方法解之。

小结:用配方法解一元二次方程的一般步骤:

1、方程两边同时除以二次项系数;

2、把常数项移到方程右边;

3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方,使左边成为完全平方;

4、利用直接开平方法解之。

三、课堂练习

P88 练习 1

四、课堂小结

引导学生总结:

1、配方法解一元二次方程的作用是什么?配方时要注意什么?

2、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?

第 64 页

五、作业

P88 练习1 P93 习题4.2 3

六、教后感

4.2 一元二次方程的解法(4)

教学目标

1、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程,明确运用公式求根的前提条件是b-4ac≥0

2、会用公式法解一元二次方程

教学重、难点

重点:掌握一元二次方程的求根公式,并应用它熟练地解一元二次方程

难点:求根公式的结构比较复杂,不易记忆;系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误 教学过程:

一、情境创设

1、用配方解一元二次方程的步骤是什么?

2、用配方法结合直接开平方法解一元二次方程,计算比较麻烦,能否研究出一种更好的方法,迅速求得一元二次方程的实数根呢?

3、如何解一般形式的一元二次方程ax+bx+c = 0(a≠0)?

二、探索活动 22

b2b2?4ac能否用配方法把一般形式的一元二次方程ax+bx+c = 0(a≠0)转化为(x?)?a4a22

第 65 页

呢?

回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程,让学生分组讨论交流,达成共识:

bcx??0 aabc2移项,得 x?x?? aabbbc2配方,得 x?2?x?()2?()2? 2a22a2aab2b?4ac即 (x? )?22a4a2b?4ac2当b?4ac?0,且a?0时,大于等于零吗? 4a2

22让学生思考、分析,发表意见,得出结论:当b?4ac?0时,因为a?0,所以4a?0,因为a?0,方程两边都除以a,得 x2?

b2?4ac从而?0 4a2

到此,你能得出什么结论?

让学生讨论、交流,从中得出结论,当

2b2?4ac?0时,一般形式的一元二次方程b?b???

ax?bx?c?0(a?

0)的根为x?,即x?。 2a2a2a

2由以上研究的结果,得到了一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的求根公式

?bx?2a (b2?4ac?0)

这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的,利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。 思考:当b2?4ac?0时,方程有实数根吗?

三、例题教学

例 1 解下列方程:

⑴ x+3x+2 = 02 ⑵ 2 x-7x = 42

分析:第2小题要先将方程化为一般形式再用求根公式求解。

四、课堂练习

第 66 页

1、P90 练习 1、2

2、思维拓展:用配方法解方程x+px+q = 0(p-4q≥0)

五、课堂小结

引导学生总结:

1、用公式法解一元二次方程时要注意什么?

2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗?举例说明。

3、若解一个一元二次方程时,b-4ac<0,请说明这个方程解的情况。

五、作业

后进生:P90 练习1 优生:P93 习题4.2 2、3

六、教后感

4.3 用一元二次方程解决问题(1)

学习目标

1、通过对实际问题的分析,进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型

2、经历用方程解决实际问题的过程,知道解应用问题的一般步骤和关键所在 学习重、难点

重点:用一元二次方程解“组织旅游”问题

难点:分析问题寻找等量关系

学习过程:

一、情境创设

第 67 页 222

⑴一个正方体的表面积是216㎝,求这个正方体的棱长;

⑵一个直角三角形的面积是24㎝,两条直角边的差是2㎝,求两条直角边长。

二、探索活动

1、如何设未知数?如何找出问题中的相等关系?

第1情境中,可由正方体的表面积等于正方体的六个面的面积和来表示,从而得到等量关系:“棱长36=216㎝”;第2情境中,由直角三角形的面积等于两条直角边之积的一半可得等量关系:“直角边3直角边÷2=24㎝”,设所求未知量为未知数,再由这些等量关系列出方程。

2、如何解这些方程?方程的解都符合题意吗?

可用开平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法解这些方程,方程的解必须要符合实际意义。

三、例题教学

例 1 已知两个数的和等于12,积等于32,求这两个数。

分析:可设其中一个数为x,由“和等于12”列代数式表示另一个数为“12-x”,再由“积等于32”列出方程“x(12-x)=32”。

例 2 某旅行社的一则广告如下:我社组团去龙湾风景区旅游,收费标准为:如果人数不超过30人,人均旅游费用为800元;如果人数多于30人且不超过40人,那么每增加1人,人均旅游费用降低10,但人均旅游费用不得低于500元。甲公司分批组织员工到龙湾风景区旅游,现计划用28000元组织第一批员工去旅游,问这次旅游可以安排多少人参加?

分析:首先应得到总费用是28000,即有等量关系“人均费用3人数=28000”,若人数不超过30人,则总费用不超过303800=24000<28000,所以人数应超过30人,因此又得等量关系“800元-(参加人数-30人)310元=实际人均费用”,由此可以列出方程”[800-10(x-30)]2x = 28000”,解题过程略。

注:解出来的解必须符合实际意义且要符合条件中的“人数多于30人且不超过40人”与“人均旅22222

第 68 页

游费用不得低于500元”。

四、课堂练习

1、P95 练习 (此题应将条件“人数超过30人但不超过40人”改为“人数超过30人时”,否则无解)

2、思维拓展:

某学校会议室的地面是一个长方形,它的长比宽多1m,用320块边长为25㎝的正方形瓷砖恰好可将地面铺满。求会议室地面的长和宽。

五、课堂小结

1、用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程?(一审、二设、三列(列代数式、列方程)、四解、五验、六答)

2、用一元二次方程解决问题的关键是什么?(寻找题中的等量关系)

六、作业

补充。

七、教后感

第 69 页

4.3 用一元二次方程解决问题(2)

学习目标

1、进一步体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法

2、进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系,提高分析问题、解决问题的能力 学习重、难点

重点:列一元二次方程解“面积与体积”和“平均增长率”问题

难点:理解“平均增长率”中的变化过程,寻找正确的等量关系

学习过程:

一、情境创设

一块长方形铁皮的长是宽的2倍,四角各截去一个正方形,制成高是5㎝,容积是500㎝的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。

二、探索活动

如何设未知数?如何找出表达实际问题的相等关系?这个问题中的相等关系是什么?

一般情况下,应设要求的未知量为未知数;应从题中寻找未知数所表示的未知量与已知量之间的等量关系;这个问题的等量关系是“长3宽3高=容积”与“长=宽32”。

三、例题教学

例 1 某商店6月份的利润是2500元,要使8月份的利润达到3600元,这两个月利润的月平均增长的百分率是多少?

分析:如果设这两个月的利润平均月增长的百分率是x,那么7月份的利润是2500(1+x)元,8月份的利润是2500(1+x)元。2 3

例 2 一块起码方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4㎝的小正方形,做成一个无盖的盒子。已知盒子的容积是400㎝,求原铁皮的边长。

第 70 页 3

四、课堂练习

1、P96 练习 1、2、3、4

2、思维拓展:

某服装店花2000元进了批服装,按50%的利润定价,无人购买。决定打折出售,但仍无人购买,结果又一次打折后才售完。经结算,这批服装共盈利430元。如果两次打折相同,每次打了几折?

五、课堂小结

如何寻找等量关系?

六、作业

后进生:P96 练习1、2、3、4 优生:P99 习题4.3 2、4、5、6

七、教后感

4.3 用一元二次方程解决问题(3)

学习目标

1、进一步认识建立方程模型的作用,提高数学的应用意识

2、在用方程解决实际问题的过程中,提高抽象、概括、分析问题的能力

学习重、难点

第 71 页

重点:用一元二次方程解决实际问题

难点:正确寻找等量关系

学习过程:

一、情境创设

一根长22cm的铁丝。

(1)能否围成面积是30cm2的矩形?

(2)能否围成面积是32 cm2的矩形?并说明理由。

二、探索活动

分析情境问题可知:如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm,那么矩形的宽是

____________。根据相等关系:矩形的长3矩形的宽=矩形的面积,可以列出方程求解。

思考:这根铁丝围成的矩形中,面积最大是多少?

三、例题教学

例 1 如图,在矩形ABCD中,AB=6㎝,BC=12㎝,点P从

点A沿AB向点B 以1㎝/s的速度移动;同时,点Q从点B沿边BC

向点C以2㎝/s的速度移动,问几秒后△PBQ的面积等于8㎝?

分析:题中含有等量关系:S△PBQ =8㎝,只要用点P运动的时间

来表示三角形各边的长并代入等量关系式即可得到相应的方程。

例 2 如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,

BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s

的速度移动,点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s 22

的速度移动。如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤3)那么,当t为何值时,△QAP的面积等于2cm2?

四、课堂练习

第 72 页

1、P98 练习

2、思维拓展:

如图,有100m长的篱笆材料,要围成一矩形仓库,

要求面积不小于600m2,在场地的北面有一堵50m的旧墙,

有人用这个篱笆围成一个长40m,宽10m的仓库,但面积

只有40310m2,不合要求,问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢?

五、课堂小结

如何正确寻找实际问题中的等量关系?

六、作业

后进生:P98 练习 P99 习题4.3 6 优生:P99 习题4.3 6

七、教后感

4.3 用一元二次方程解决问题(4)

学习目标

1、进一步体会利用一元二次方程解决实际问题的一般规律和方法

2、增强数学的应用意识,进一步提高分析问题、解决问题的能力 学习重、难点

重点:列一元二次方程解实际问题

难点:正确寻找题中的等量关系

学习过程:

第 73 页 、7、8

一、情境创设

某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量。经试验发现,每多种一棵桃树,每棵桃树的平均产量就会减少2个。如果要使产量增加15.2%,那么应多种多少棵桃树?

二、探索活动

情境问题中,应找出等量关系“现有桃树棵数3每棵桃树的现产量=现在总产量”与“每棵桃树的现产量=每棵桃树的原产量-23多种的桃树棵数”,再将未知数代入列出代数式与方程即。

三、例题教学

例 1 某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元。为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取适当的降价措施。经调查发现,在一定范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元,衬衫的单价应降多少元?

分析:如果设衬衫的单价降x元,那么商场平均每天可多售出2x件,再根据等量关系“售出的衬衫件数3每件衬衫的盈利=1200元”列出方程求解。

例 2 某公司生产某种产品,每件产品成本是3元,售价是4元,年销售量为10万件。为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验,每年投入广告费为x(万元)时,产品年

x277销售量将是原销售量的y倍,且y=?x? 101010

如果把利润看作是销售额减去成本费和广告费,试求当年利润为16万元时,广告费x为多少万元?

分析:根据等量关系“利润销售额-成本费-广告费”列方程求解。

四、课堂练习

1、P99 练习

2、思维拓展:

某商场销售的电视机每台进价为2500元,如果销售价定为2900元时,平均每天能售出8台,而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台,商场要使这种电视机的销售利润平均每天达到5000

第 74 页

元,问每台电视机的定价应为多少元?

五、课堂小结

如何正确寻找题中的等量关系?

六、作业

后进生:1、P99 练习

2、有一面积为54m2的长方形花坛,现在将它的一边缩短5m,另一边缩短2m,恰好将它变为一个正方形花坛,求这个正方形花坛的边长是多少?

优生:1、P100 习题4.3 9

2、如图,公路MN和PG在点P处交汇,且∠GPN=30°,

点A处有一所幼儿园,AP=100m,假设摩托车行驶时,周围

100m以内会受到噪声影响,那么摩托车在MN上沿PN方向 行驶时,幼儿园是否受到噪声影响?请说明理由。如果受影响,已知摩托车的速度是18㎏/h,那么幼儿园受影响的时间是多少?

七、教后感

第 75 页

5.1圆

一、 教学目标

1. 理解圆的概念

2. 经历探索点与圆的位置关系,会判断点与圆的位置关系。

3. 培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、 教学重点

点与圆的位置关系

三、 教学难点

圆的概念,点与圆的位置关系

四、 教学过程

(一) 引入

1. 日常生活中,我们见到的汽车、摩托车、自行车等交通工具的车轮是什么形状的?

2. 为什么要做成这种形状?

3. 能改成其他形状(如正方形、三角形)会发生怎样的情况?

4. 操作:

①固定点O

②将线段OP绕点O旋转一周

③观察点P所形成了怎样的图形。

导入课题――圆

(二) 新授

1. 圆的定义

(1)

(2)

(3) 圆是怎么形成的? 如何画圆? 圆周上的任一点P与圆心O之间是否存在某种关系?

O P

第 76 页

(4)

(5)

(6) 圆可以看成什么的集合? 圆的表示方法:以O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O” 练习:

① 到定点O的距离为2cm的点的集合是以 为圆心, 为半径的圆。

② 正方形的四个顶点在以 为圆心,以 为半径的圆上。

2. 在平面内,点与圆的位置关系

(1)

(2)

(3)

(4) 在平面内,点与圆有哪几种位置关系? 比较圆内、圆上、圆外的点与圆之间的距离与半径的大小,你能发现什么? 圆内、圆外的点可以看成什么的集合? 归纳、总结得出结论。

如果⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,那么

点P在圆内 =〉d<r

点P在圆上 =〉d=r

点P在圆外 =〉d>r

(5) 逆命题是否成立?

符号“〈=〉”读作“等价于”,表示从左端右以推出右端,从右端右以推出左端。

3. 应用举例

如图,已知点P、Q,且有PQ=4cm。

(1)

(2) 画出下列图形: 在所画图中,到点P的距离等于2cm,且到点Q

的距离等于3cm的点有几个?请在图中将它们表示出来.

(3) 在所画图中,到点P的距离小于或等于2cm,且到点Q的距离大于或等于3cm的点的集合

是怎样的图形?把它画出来.

4. 巩固练习 P Q

第 77 页

P108 练习

5. 小结

(1)

(2)

6. 作业

P109 习题5.1 1、2

五、 板书设

圆的定义 点与圆的位置关系

第 78 页

5.2圆的对称性(1)

教学目标:

1.知识与技能:圆的旋转不变性,圆心角、弧、弦之间相等关系定理.

2.过程与方法:通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动

发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力,利用圆的旋转不变性,研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理.

3.情感态度与价值观:培养学生积极探索数学问题的态度及方法.

教学重点:圆心角、弧、弦之间关系定理.

教学难点:“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明. 教学设计:

一、预习检测

1._____________________________________________________________是中心对称图形,

对称中心是_______________________.

2. 圆是________________,它的对称中心是________________.

3. 已知:如图,AB、CD是⊙O的两条弦,OE、OF为AB、CD的弦心距,根据本节定理及推论填空: .

(1)如果AB=CD,那么______,______,______;

(2)如果OE=OG,那么______,______,______;

(3)如果

= ,那么______,______,______;

(4)如果∠AOB=∠COD,那么______,______,______.

(目的:巩固基础知识)

4. 90°的圆心角所对的弧的度数为_____________.

度数为60°的弧所对的圆心角的度数为_____________.

二、讲授新课

同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点?

(大小一样.)

现在老师把这两个圆叠在一起,使它俩重合,将圆心固定. 将上面这个圆旋转任意一个角度,两个圆还重合吗?

通过旋转的方法我们知道:圆具有旋转不变的特性.即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.圆的中心对称性是其旋转不变性的特例.即圆是中心对称图形。对称中心为圆心. 尝试与交流.

按下面的步骤做一做:

1.在两张透明纸上,作两个半径相等的⊙O和⊙O′,沿圆周分别将两圆剪下.

2.在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′ (如下图示),圆心固定.注意:∠

AOB

第 79 页

和∠A′O′B′时,要使OB相对于0A的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致,否则当OA与O′A′重合时,OB与O′B′不能重合.

3.将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA与O′A′重合.

教师叙述步骤,同学们一起动手操作.

通过上面的做一做,你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下,说一说你的理由.

(结论可能有:

1.由已知条件可知∠AOB=∠A′O′B′.

2.由两圆的半径相等,可以得到∠OBA=∠O′B′A′=∠OAB和∠O′A′B′.

3.由△AOB≌△A′O′B′可得到AB=A′B′.

4

.由旋转法可知AB=A′B′.) 我们在上述做一做的过程中

发现,固定圆心,将其中一个圆旋转一个角度,使半径OA与O′A′重合时,由于∠AOB=∠A′O′B′.这样便得到半径OB与O′B′重合.因为点A和点A′重合,点B和点B′重合,所以AB和A′B′重合,弦AB与弦A′B′重合,即AB=A′B′.

在上述操作过程中,你会得出什么结论?

在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.

上面的结论,在同圆中也成立.于是得到下面的定理:

在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.

这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性:圆心角、弧、弦之间相等关系定理.

注意:在运用这个定理时,一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提.否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论.

(通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图.

如下图示。虽然∠AOB=∠A′O′B′,但AB≠A′B′

AB≠A′B′

下面我们共同想一想.

在同圆或等圆中

相等的圆心角

如果在同圆或等圆这个前提下,将题设和结论中任何一项交换一下,结论正确吗?你是怎么想的?请你说一说.

第 80 页 AA'

在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

在同圆或等圆中。如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

注意:⑴不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件,否则,丢掉这个前提,虽然圆心角相等,但所对的弧、弦、弦心距不一定相等.

(2)此定理中的“弧”一般指劣弧.

(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义.否则易错用此关系.

(4)在具体应用上述定理解决问题时,可根据需要,择其有关部分.如“在同圆中,等弧所对的圆心角相等”“在等圆中,弦心距相等的弦相等”等等.

探索圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系

探索圆心角的度数与它所对的弧的度数相等

例题讲解

通过例题教学巩固所学的定理

拓展延伸

如图,点O是∠EPF的平分线上一点,以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D,求证:AB=CD.

拓展:当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢?

(让学生自主思考,并使图形运动起来,让学生在运动中学习和研究几何问题)

三、课时小结

通过这一节的学习,在得出本节结论的过程中,回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法?(同学们之间相互讨论、归纳)

利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性,由圆的旋转不变性,我们探究了圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理

四、课后作业

课堂检测

1.如图,在⊙O中°,则∠2=__________

第 81 页 C

2. 一条弦把圆分成1:3两部分,则劣弧所对的圆心角为________。

3. ⊙O中,直径AB∥CD弦,AC度数??60?,则∠BOD=______。

4.如图,AB、CD为⊙0的两条弦,AB=CD.求证:∠AOC=∠BOD

5.如图, ⊙O的弦AB与半径OE、OF相交与C、D,且AC=BD,求证:OC=OD,AE=BF

5.2圆的对称性(2)

教学目标:

1.知识与技能:圆的对称性垂径定理及其逆定理,运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.

2.过程与方法: 经历探索圆的对称性及其相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.

3.情感态度与价值观: 通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动谨慎精神.

教学重点:垂径定理及其逆定理.

教学难点:垂径定理及其逆定理的证明.

教学设计:

一、预习检测

1._____________________________________________________是轴对称图形.

2. 圆是_________________图形,其对称轴为_________________.

3. 如图,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB,垂足为E.

第 82 页

则有AE=_____,

_____=

____= .

4. AB是⊙O直径,AB=4,F是OB中点,弦CD⊥AB于F,则CD=_________

5. ⊙O直径为8,弦AB=42 ,则∠AOB=_____。

6. ⊙O的直径为10,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则OM的长的取值范围是( )

A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5 C.3<OM<5 D.4<OM<5

二、讲授新课

同学们想一想:圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? (圆是轴对称图形.过圆心的直线是它的对称轴,有无数条对称轴.)

你是用什么方法解决上述问题的?大家互相讨论一下.

我们可以利用折叠的方法,解决上述问题.把一个圆对折以后,圆的两半部分重合,折痕是一条过圆心的直线,由于过圆心可以作无数条直线。这样便可知圆有无

数条对称轴.

圆是轴对称图形。过圆心的任意一条直线都是对称轴.

做一做

按下面的步骤做一做:

1.在一张纸上任意画一个⊙O,沿圆周将圆剪下,把这个圆对折,

使圆的两半部分重合.

2.得到一条折痕CD.

3.在⊙O上任取一点A,过点A作CD折痕的垂线,得到新的折痕,其中,点M是两条折痕的交点,即垂足.

4.将纸打开,新的折痕与圆交于另一点B,如上图.

教师叙述步骤,师生共同操作,并提出问题:

1.通过第一步,我们可以得到什么?

(可以知道:圆是轴对称图形,过圆心的直线是它的对称轴.)

2.很好.在上述的操作过程中,你发现了哪些相等的线段和相等的弧? 为什么呢?

(AM=BM,AC=BC,AD =BD,因为折痕AM与BM互相重合,A点与B点重合.)

3.还可以怎么说呢?能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系?

如右图示,连接OA、OB得到等腰△ABC,即OA=OB,因CD

⊥AB,故△OAM与△OBM都是Rt△,又OM为公共边,所以两个

直角三角形全等,则AM=BM,又⊙O关于直径CD对称,所以点A

与点B关于CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,

AC与BC重合AD与BD重合.因此AM=BM,AC=BC,AD =BD )

4.在上述操作过程中,你会得出什么结论? 第 83 页 CAOBDCABD

垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.

[这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理.在这里注意:①条件中的 “弦”可以是直径.②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦.

下面,我们一起看一下定理的证明:

如上图,连接OA、OB,则OA=OB

在Rt△OAM和Rt△OBM中,

∵ OA=OB,OM=OM

∴ Rt△OAM≌Rt△OBM

∴ AM=BM

∴ 点A和点B关于CD对称

∵ ⊙O关于直径CD对称

∴ 当圆沿着直径CD对折时,点A和点B重合,AC和BC重合,AD 和BD重合

∴ AC=BC,AD =BD

即垂径定理的条件有两项,结论有三项.用符号语言可表述为:

为了运用的方便,不易出现错误,易于记忆,可将原定理叙述为:一条直线若满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦,那么可推出:①平分弦,②平分弦所对的优弧,③平分弦所对的劣弧.

例题讲解

通过求解例,来熟悉垂径定理以及常见的辅助线

已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证AC=BD.(证明略)

?AM?BMCD是直径???????AD?BDCD?AB于M?????AC?BC

拓展延伸

1. 在半径为5的圆中,弦AB∥CD,AB=6,CD=8,试求AB和CD的距离.

2.一个点到圆的最大距离为11cm,最小距离为5cm,则圆的半径为( )

(A)16cm或6cm, (B)3cm或8cm (C)3cm (D)8cm

第 84 页

随堂练习

三、课堂小结

1.本节课我们探索了圆的对称性.

2.利用圆的轴对称性研究了垂径定理.

3.垂径定理和勾股定理相结合,构造直角三角形,可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.

四、课后作业

1.课本习题P93 1、2;

2.复习本堂课内容。

5.3 圆周角(1)

学习目标

1、经历探索圆周角的有关性质的过程

2、理解圆周角的概念及其相关性质,并能运用相关性质解决有关问题

3、体会分类、转化等数学思想方法,学会数学地思考问题

学习重、难点

重点:圆周角及圆周角定理

难点:圆周角定理的应用

学习过程:

一、情境创设

操作与思考

如图,点A在⊙O外,点B1 、B2 、B3在⊙O上,

点C在⊙O内,度量∠A、∠B1 、∠B2、∠B3、∠C的

大小,你能发现什么?

∠B1 、∠B2 、∠B3有什么共同的特征?

__________________________________________________

归纳得出结论,顶点在_______,并且两边________________________的角叫做圆周角。

第 85 页 2 3 1 A

强调条件:①_______________________,②___________________________。

识别图形:判断下列各图中的角是否是圆周角?并说明理由.

二、探索活动

活动一 观察与思考

如图,AB为⊙O的直径,∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角,求出图(1)、(2)、(3)中∠BAC的度数.

通过计算发现:∠BAC=_______∠BOC.

试证明这个结论:

活动二 思考与探索

1、如图,BC所对的圆心角有多少个?BC

所对的圆周角有多少个?请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角,并与同学们交流。

2、思考与讨论

(1)观察上图,在画出的无数个圆周角中,这些圆周角与圆心O有几种位置关系?

(2)设BC所对的圆周角为∠BAC,除了圆心O在∠BAC的一边上外,圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系?对于这几种位置关系,结论∠BAC=

通过上述讨论发现:______________________________________________

三、例题解析

例1 如图,点A、B、C在⊙O上,点D在圆外,CD、BD

第 86 页 1∠BOC还成立吗?试证明之. 2

分别交⊙O于点E、F,比较∠BAC与∠BDC

五、课堂练习

P119 练习1、2、3

六、课堂小结 1

、顶点在圆上,并且两边和圆相交的角叫做圆周角;2、在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半。

七、作业

P122 习题5.3 1、3、4

八、教后感

5.3 圆周角(2)

学习目标

1、熟练应用圆周角定理及其推论解决有关的计算和证明的问题

2、在应用圆周角定理及其推论进行有关的计算和证明的过程中,进一步培养观察、分析和解决问题的能力

学习重、难点

重点:圆周角定理及其推论的应用

难点:熟练应用圆周角定理及其推论

学习过程:

一、情境创设

我们学习过哪些与圆有关的角?它们之间有什么关系?

二、探索活动

第 87 页 BC

如图,BC为⊙O的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角,

还是直角?为什么?

由圆周角与它所对的弧之间的关系可知:圆周角等于它所对的弧的度数的一半,而图中∠A所对的弧是半圆,而半圆为180°,所以∠A=90°。

如图,圆周角∠A=90°,弦BC经过圆心吗?为什么?

B此问题与上面的一个问题刚好相反,应先连接OB、OC,证明点B、

O、C 在同一直线上,也可以证明∠A所对的圆心角为90°,而这是很显然的。

(以上两个问题,主要由学生自主探索解决)

结论:直径(或半圆)所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。

三、例题解析

例 1 如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交于点E,

∠ACD=60°, ∠ADC=50°,求∠CEB的度数。

C

B

分析:由于∠CEB并非与圆有关的角,所以很容易就应想到用

三角形外角定理将之转化为一个已知角∠ACD与一个未知角∠CAB的和,

这就将问题转化为求∠CAB的问题,而该角是圆周角,而此时应结合另一个已知条件“AB是直径”,此条件可带来它所对的圆周角等于90°,最好这个直角与第三个已知条件

“∠ADC=50°”相关,因此这就需要连接BD,问题就很显然了。

例 2 已知:如图,△ABC的3个顶点都在⊙O上,

AD是△ABC的高,AE是⊙O的直径,△ABE与△ACD相似吗?

为什么?

分析:由直径所对的圆周角是直角可得∠ABE=90°,再由 BAD是△ABC的高可知∠ADC=90°,这样这两个三角形就有了一组相等的角,只需再找一组角相等即可证得它们相似。这样就很容易想到另外两组角中的∠E与∠C这一组AB所对的圆周角。

第 88 页

五、课堂练习

P121 练习1、2、3

六、课堂小结

1、进一步探索圆周角的有关性质;

2、综合运用圆周角的有关性质解决一些应用问题。

七、作业

P122 习题5.3 7、8、9

八、教后感

5.4 确定圆的条件

学习目标

1、了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法

2、了解三角形的外接圆、三角形外心等概念

3、形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神 学习重、难点

重点:不在同一直线上的三点确定一个圆以及三角形的外心

难点:掌握解决问题策略的多样性

学习过程:

一、情境创设

1、确定一个圆需要几个要素?(两个要素,一是位置,二是大小,而圆心确定它的位置,半径确定它的大小,只有圆心和半径都确定了,圆才能被确定)

2、经过平面内一点可以作几条直线?过两点呢?三点呢?(经过操作探索可知:过平面内一点可作

第 89 页

无数条直线,经过两点只能作一条直线,过三点要分两种情况,一是三点在同一直线上,可作一条直线,而三点不在同一直线上,不能作直线)

3、在平面内过一点可以作几个圆?经过两点呢?三点呢?

二、探索活动

活动一 操作、思考

1、过平面内一点A作圆

只需以平面内不同于A点的任一点为圆心,这一点到

A的距离为半径作圆即可,即可作无数个圆。

2、过平面内两点A、B作圆

如何作一个圆,使之过平面内两点A、B呢?因为

这两点在要作的圆上,所以它们到这个圆的圆心的距离

要相等,并且都等于这个圆的半径,因此要作过这两点

的圆就是要找到这两点的距离相等的点作为圆心,而这

也可以作无数个圆。

ll23、过平面内三点A、B、C作圆

如同过平面内两点一样,要作过平面内三点的圆实质即是找到

这三点之间的距离相等的点,这只需要作连结这三点中任意两点连

线的垂直平分线的交点。而如果A、B

、C在同一条直线上的话,任

两点连线的垂直平分线互相垂直,不会出现交点,也就作不出过这三点的圆,所以只能过不在同一平面内的三点才能作圆。

由以上操作可得结论: 不在同一直线上的三点确定一个圆。

活动二 用直尺和圆规作锐角△ABC的外接圆

1、三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做个圆的内接三角形。

2、作法如活动一中过不在同一直线上的三点作圆。

3、外心的位置:锐角三角形的外心在形内;直角三角形的外心在形上,并且是直角三角形斜边的

第 90 页

中点;钝角三角形的外心在形外。

三、课堂练习

P125 练习1、2、3

四、课堂小结

1、不在同一直线上的三点确定一个圆;

2、三角形的外接圆、三角形的外心以及三角形外接圆的圆心的位置

七、作业

P125 习题5.4 1、2、4

5.5 直线与圆的位置关系(1)

学习目标

1、理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系

2、通过观察,得出“直线与圆的位置关系”与“圆心到直线的距离d与半径r的数量关系”的对应关系,从而实现位置关系与数量关系的相互转化

3、在观察与探究的过程中,进一步培养使用“分类”与“归纳”等思想方法的能力

学习重、难点

重点:直线与圆的位置关系

难点:直线与圆的位置关系的应用

第 91 页

学习过程:

一、情境创设

1、点与圆有哪几种位置关系?若圆的半径为r,点到圆心的距离为d,如何用d和r 的数量关系判断点与圆的位置关系?

2、欣赏巴金先生的《海上日出》的图片与文章,感受生活中反映直线与圆位置关系的现象。

二、探索活动

活动一 操作、思考

1、从《海上日出》的图片与文章中将海平面看作是一条直线,太阳看作是一个圆,在太阳中升的过程中,直线与圆的位置有什么不同?(①直线与圆的公共点的个数有所变化;②圆心到直线的距离有所变化。)

2、由操作可知直线与圆有下列三种位置关系:

直线与圆有两个公共点时,叫直线与圆相交;直线与圆有惟一公共点时,叫直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点;直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离。

活动二 探索圆心到直线的距离与半径之间的数量关系和直线与圆的位置关系之间的内在联系 类比“点与圆的位置关系”可得结论:

如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么

?

直线l与⊙O相切 d = r ?

直线l与⊙O相离 d ?> r

三、例题教学 直线l与⊙O相交 d < r

例 在△ABC中,∠A=45°,AC=4,以C为圆心,r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系?为什么? ⑴ r=2;

2第 92 页

分析:要判定直线AB与⊙C的位置关系,就要比较圆心C到直线AB的距离与⊙C的半径的大小。因此,要作出点C到直线AB的垂线段CD,由CD到⊙C半径之间的数量关系,便可以判定直线AB与⊙C的位置关系。

四、课堂练习

P129 练习 1、2

五、课堂小结

引导学生总结:

1、直线与圆的位置关系有三种:相交、相切、相离;

2、用圆心到直线的距离与半径的比较来判断直线与圆的位置关系。

五、作业

后进生:P135 习题5.5 1、3 优生:P133 习题5.5 1、2、3

六、教后感

5.5 直线与圆的位置关系(2)

学习目标

1、探索切线的性质与判定

2、通过应用切线的性质与判定,提高推理判断能力

学习重、难点

重点:直线与圆相切的判定条件与圆的切线的性质

第 93 页

难点:直线与圆相切的判定与性质的应用

学习过程:

一、情境创设

我们已经掌握了“从直线与圆的公共点的个数”或“将圆心到直线的距离与半径相比较”两种方法来判断直线与圆相切。那么我们还能找到判定直线与圆相切的其他方法吗?

二、探索活动

活动一 探索直线与圆相切的另一种判定方法

1、由圆心到直线的距离等于半径逆推可知:

在⊙O中,经过半径OA的外端点A,作直线l⊥OA,

则圆心O到直线l的距离等于半径r,直线l与⊙O相切。

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

2、由此我们可以得到直线是圆的切线的三个判定方法:

⑴与圆有惟一公共点的直线是圆的切线;

⑵与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;

⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

活动二 探索直线与圆相切的性质

1、如图,直线l与⊙O相切于点A,OA是过切点的半径,直线l与半径OA是否一定垂直?你能说明理由吗?

A

ll

假设直线l与OA不垂直,过圆心O作OB⊥l,垂足为B。由于直线l与⊙O相切,因此OB就是⊙O的半径。点B在⊙O上。这样直线l与⊙O有A、B两个公共点。这与“直线l与⊙O相切”矛盾。因此l

第 94 页

⊥OA。

圆的切线垂直于经过切点的半径

2、直线与圆相切的性质

⑴切线与圆有惟一的公共点;⑵圆心到切线的距离等于半径;⑶切线垂直于经过切点的半径。

三、例题教学

例 1 如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,

∠CAD=∠ABC。判断直线AD与⊙O的位置关系,并说明理由。 B分析:由条件知,直线AD经过半径OA的外端点A,因此只要说明AD⊥AB即可。

例 2 如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,

C是⊙O上一点,若∠APB=40°,求∠ACB的度数。

分析:本题运用切线性质的计算题。由此可得,在解

有关圆的切线问题时,常常需要做出过切点的半径,以便利用圆

的切线的性质。

四、课堂练习

P131 练习 1、2

五、课堂小结 C圆的切线的判定条件和直线与圆相切的性质,并运用切线的判定条件和性质解决有关问题。

五、作业

后进生:P131 练习 1、2 优生:P136 习题5.5 5、6、7

六、教后感

第 95 页

5.5 直线与圆的位置关系(3)

学习目标

1、过圆上一点画圆的切线、作三角形的内切圆

2、了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念

3、通过探究作三角形内切圆的过程,归纳内心的性质,进一步提高归纳能力与作图能力 学习重、难点

重点:三角形的内切圆以及作三角形的内切圆

难点:三角形的内切圆的作法

学习过程:

一、情境创设

判定直线与圆相切的切线有哪些方法?

二、探索活动

活动一 过厘米上的点作圆的切线

1、过圆上一点作圆的切线

OP;

⑵过点P作OP的垂线

⑶这条垂线即为⊙O的切线

2、过圆上三点分别作圆的切线,并两两相交得△ABC

类似于上面活动中作圆的切线的方法分别过三点作圆

的切线,并两两相交于点A、B、C,这样得到的△ABC的各

边都与⊙O相切,圆心O到各边的距离都相等。

活动二 作三角形的内切圆

第 96 页 DE

1、由活动一可知:过已知圆上三点可作一个三角形,使它与各边都与圆相切;反之,如果已知一个三角形,如何作一个圆,使它与三角形各边都相切呢?

作三角形内切圆的关键是确定圆心的位置。确定三角形内切圆圆心的方法与确定三角形外心的方法类似,先考虑圆心到三角形其中两边的距离相等,也就是它在这两边夹角的平分线上;再考虑这两边中的一边和第三边的距离相等,也就是它又在另一个角的平分线上。因为两条角平分线只有一个交点,所以圆心的位置被惟一确定,即与三角形各边都相切的圆可以作出一个并且只可以作出一个。

作图过程及作法略。

2、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形。

三、例题教学

例 如图,在△ABC中,内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于

点D、E、F,∠B=60°,∠C=70°,求∠EDF的度数。

分析:由条件“圆I与边BC、CA、AB分别相切”可以知道 I是三角形的内心。由三角形内心的定义,过三角形的顶点和内心的射线平分三角形的内角,从而解决问题。

四、课堂练习

P133 练习 1、2

五、课堂小结

引导学生总结:

1、三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形的概念;

2、如何作三角形的内切圆。

五、作业

第 97 页

后进生:P133 练习2 P133 习题5.5 11 优生:P133 习题5.5 10、11

六、教后感

5.5 直线与圆的位置关系(4)

学习目标

1、认识过圆外一点可画出圆的两条切线,能过圆外一点画圆的切线

2、认识切线长以及与切线长有关的性质与应用

3、进一步发展推理能力,会用有条理的语言表述自己的观点

学习重、难点

重点:切线长定理

难点:切线长定理的应用

学习过程:

一、情境创设

如图,P是⊙O外一点,A是⊙O上一点,图中的P

是⊙O的切线吗?为什么?

二、探索活动

活动一 过圆外一点作圆的切线

1、利用三角尺中的直角“找”切点(从情境中的图形可以看出,点A在⊙O上,且∠OAP=90°,即PA⊥OA,因此PA是⊙O的切线。)

第 98 页

2、尺规作图法“找”切点

如何过⊙O外一点P作⊙O的切线?这样的切线能作几条?

(利用直径所对的圆周角是直角来找切点,即以OP为

直径作一个圆与⊙O相交,交点为切点)

活动二 操作、思考

1、在上图中,PA、PB是⊙O的两条切线,切点分别为A、B。沿直线OP将图形对折,你发现了什么?

观察图形,通过猜想证明可得:PA=PB,∠APO=∠BPO。(证明过程略)

在经过圆外一点的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。

2、切线与切线长

由操作思考中可得切线长定理:

从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的边线平分两条切线的夹角。 注:切线长是指从圆外一点向圆引切线,这点与切点之间线段的长,而切线是一条直线。

三、例题教学

例 如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,

直线OP交⊙O于点D、E,交AB于点C。

︵ ︵ ⑴ AD与BD是否相等?为什么? ⑵ OP与AB有怎样的位置关系?为什么?

分析:第一问可转化为证明它们所对的圆心角相等,而两角相等可证明两三角形全等;第二问可由切线条定理结合三线合一定理解决。

注:本题的图形为基本图形,其中包含着以下几个方面的性质:

①此图是轴对称图形,OP是它的对称轴;②切线的性质包含在图形中;③连接两个切点可得到等腰三角形,体现出三线合一定理与垂径定理;④连接两个切点和过切点的两条半径,可以得到直角三角

第 99 页

形及其斜边上的高,等等。

四、课堂练习

P135 练习 1、2

五、课堂小结

引导学生总结:

1、切线长定理;

2、切线与切线长之间的联系。

五、作业

后进生:P135 练习 1、2 优生:P137 习题5.5 12、13

六、教后感

5.6 圆与圆的位置关系

学习目标

1、了解圆与圆之间的五种位置关系

2、经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的过程,并运用相关结论解决有关问题

学习重、难点

第 100 页

重点:圆与圆的位置关系

难点:根据两圆半径与圆心距的关系判断两圆位置关系

学习过程:

一、情境创设

我们已经研究过点与圆、直线与圆的位置关系,如何判断点与圆、直线与圆的位置关系呢?圆与圆又有怎样的位置关系呢?

二、探索活动

活动一 操作、思考

1、在回忆、思考点与圆、直线与圆的位置关系的基础上,研究圆与圆的位置关系。

将一个圆固定,另一个圆逐步向它移动,观察两圆的位置发生的变化,描述这种变化。平面内,两圆相对运动,可以得到以下不同的位置关系:

4) (5)

2、两圆的五种位置关系

⑴两个圆没有公共点,且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,两圆外离(图1)

⑵两圆有惟一公共点,且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,两圆

外切(图2)

⑶两个圆有两个公共点时,两圆相交(图3) ⑷两圆有惟一公共点,且除了这个公共点以外,一个圆上点都在另一个圆的内部时,两圆内切(图

4),两圆外切与内切统称两个圆相切。

⑸两圆没有公共点,且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,两圆内含(图5),同心圆是两圆内含的特例。

3、按公共点的个数分类可分为三类

外离

内含 外切 内切

第 101 页 ①相离②相切③相交

活动二 探索两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系

先由学生从五种位置关系的图形中探索,再进行总结:

若两圆的半径分别为R、r,圆心距为d,那么

?

两圆外切 d = R+r ?

两圆相交 R-r < d <R+r(R≥r) ?

两圆内切 d = R-r(R > r) ?

两圆内含 d <? R-r(R > r) 两圆外离 d > R+r

三、例题教学

例 已知⊙O1、⊙O2的半径分别为r1、r2,圆心距d=5,r1=2.

⑴ 若⊙O1与⊙O2外切,求r2;

⑵ 若r2=7,⊙O1与⊙O2有怎样的位置关系?

⑶ 若r2=4,⊙O1与⊙O2有怎样的位置关系?

分析:当d > R-r时,两圆可能有哪些位置关系?当d < R+r时,两圆可能有哪些位置关系?

四、课堂练习

P140 练习 1、2

五、课堂小结

1、圆与圆的位置关系有五种:两圆相离、两圆外切、两圆相交、两圆内切、两圆内含;

2、两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系。

五、作业

后进生:P141 习题5.6 1、2 优生:P141 习题5.6 1、2、3

六、教后感

第 102 页

5.7 正多边形与圆

学习目标

1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系

2、会通过等分圆心角的方法等分圆周,画出所需的正多边形

3、能够用直尺和圆规作图,作出一些特殊的正多边形

学习重、难点

重点:正多边形的概念及正多边形与圆的关系

难点:利用直尺与圆规作特殊的正多边形

学习过程:

一、情境创设

观察下列图形,你能说出这些图形的特征吗?

二、探索活动

活动一 观察生活中的一些图形,归纳它们的共同特征,引入正多边形的概念

各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。(注:各边相等与各角相等必须同时成立,否则不一定是正多边形,例如菱形、矩形等)

活动二 用量角器作正多边形,探索正多边形与圆的内在联系

1、用量角器将一个圆n(n≥3)等分,依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形;圆的内接正n边形将圆n等分;

2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。

活动三 探索正多边形的对称性

第 103 页

正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中,哪些是轴对称图形?哪些是中心对称图形?哪些既是轴对称图形,又是中心对称图形?如果是轴对称图形,画出它的对称轴;如果是中心对称图形,找出它的对称中心。

结论:正多边形都是轴对称图形,一个正n边形有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心;一个正多边形,如果有偶数条边,那么它既是轴对称图形,又是中心对称图形。

活动四 利用直尺与圆规作特殊的正多边形

1、作正四边形:在圆中作两条互相垂直的直径,依次连结四个端点所得图形(作正八边形)

2、作正六边形:在圆中任作一条直径,再以两端点为圆心,相同的半径为半径作弧与圆相交,依次连结圆上的六个点所得图形(作正三角形与正十二边形)

三、课堂练习

P144 练习 1、2

五、课堂小结

引导学生总结:

1、正多边形的概念、正多边形与圆的关系以及正多边形的对称性;

2、利用直尺与圆规作一些特殊的正多边形。

五、作业

补充。

六、教后感

第 104 页

5.8 弧长及扇形的面积

学习目标

1、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程

2、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题

学习重、难点

重点:弧长与扇形的计算公式的推导与应用

难点:弧长与扇形的计算公式的应用

学习过程:

一、情境创设

1、小学里我们已经学习过圆的周长计算公式、圆面积计算工式。说出圆周长计算公式与圆面积计算公式。

2、我们知道,弧长是它所对应的圆周长的一部分,扇形面积是它所对应的圆面积的一部分,那么弧长、扇形面积怎样计算呢?

二、探索活动

活动一 探索弧长计算公式

因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C=2πR,所以1°的圆心角所对的弧长是

这样,在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为:

l =2?R?R,即180360。n?R 180

注:引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算公式,它揭示了l、n、R这3个量之间的一种相等关系。如果这三个量中,任意知道两个量,就可以根据公式求出第三个量。

活动二 探索扇形面积计算公式

1、类比弧长的计算公式可知:圆心角为n°的扇形面积与整个圆面积的比和n°与360°的比一致,因此,扇形的面积应等于圆的面积乘以扇形的圆心角占360的几分之几,即圆心角是360°的扇形面积就

?R2

是圆面积S=πR,所以圆心角是1°的扇形面积是。3602这样,在半径为R的圆中,圆心角为的扇形面积的计算公式为: S=nπR3602

注:类似于弧长的计算公式,扇形面积的计算公式也是表示三个量之间的相等关系,在S、n、R中任意知道两个量都可以根据公式求出第三个量的值。

2、扇形面积的另一个计算公式

比较扇形面积计算公式与弧长计算公式,可以发现:可以将扇形面积的计算公式:S=nπR化为3602S=n?R12R,从面可得扇形面积的另一计算公式:

1802

第 105 页

S=

三、例题教学 1lR 2

例1 已知:在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB

是小圆的切线,C为切点。设弦AB的长为d,圆环面积S与d之

间有怎样的数量关系?

分析:1、切线的性质是什么?2、垂径定理的内容是什么?培养学生“见切线,连结圆心与切点,得垂直”的常规思路。

例2 正三角形ABC的边长为a,分别以A、B、C为圆心,

a为半径的圆两两相切于点O、O、O。求OO、OO、OO围成 ⌒ ⌒ 2123122331⌒

的图形面积S(图中阴影部分)。

分析:阴影部分为非规则图形,常见方法是利用“割补法”将之转化为△ABC的面积与三个扇形的面积的差。

四、课堂练习

P147 练习 1、2、3

五、课堂小结

弧长与扇形的面积计算公式。

五、作业

后进生:P147 练习 1、2、3 优生:P147 习题5.8 3

六、教后感

5.9 圆锥的侧面积和全面积

学习目标

1、经历探索圆锥侧面积计算公式的过程

2、了解圆锥侧面积计算公式,并会应用公式解决问题

第 106 页

学习重、难点

重点:圆锥的侧面积公式的推导与应用

难点:综合弧长与扇形面积的计算公式计算圆锥的侧面积

学习过程:

一、情境创设

七年级时,我们在“展开与折叠”的学习活动中,已经知道圆锥的侧面展开图是一个扇形。那么怎

样求圆锥的侧面展开图的面积呢?

二、探索活动

1、圆锥的基本概念

在右图的圆锥中,连结圆锥的顶点S和底面圆上任意一点的线

段SA、SA1??叫做圆锥的母线,连接顶点S与底面圆的圆心O的线段叫做圆锥的高。

2、圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系

右图中,将圆锥的侧面沿母线l剪开,展开成平面图形,可以得到

一个扇形,设圆锥的底面半径为r,这个扇形的半径等于什么?扇形

的弧长等于什么?

3、圆锥侧面积计算公式

从右图中可以看出,圆锥的母线即为扇形的半径,而圆锥

底面的周长是扇形的弧长,这样,

S圆锥侧=S扇形=

1A122πr 2 l = πrl 2

4、圆锥全面积计算公式

S圆锥全=S圆锥侧+S圆锥底面= πr l +πr 2=πr(l +r)

三、例题教学

例1 制作圆锥形铁皮烟囱帽,其尺寸要求为:底面直径80㎝,母线长50㎝,求烟囱帽铁皮的面积(精确到1㎝)

第 107 页 2

分析:直接利用圆锥侧面积公式计算即可。

例2 在右图中的扇形中,半径R=10,圆心角θ =144°,用这个扇形围成一个圆锥的侧面。 ⑴求这个圆锥的底面半径r;

⑵求这个圆锥的高(精确到0.1)。

分析:已知扇形的半径与圆心角,求圆锥的底面半径,什么是联系这三者的“桥梁”呢?不难想到弧长是联系扇形与圆锥的“桥梁”,用扇形的半径与圆心角表示弧长,再用圆锥的底面半径表示圆锥底面周长,从而得出一个等式,解之即可得出底面半径;而圆锥的高可作出圆锥的轴截面,再由勾股定理解决。

四、课堂练习

P149 练习 1、2

五、课堂小结

圆锥的侧面积公式与全面积公式。

五、作业

后进生:P149 习题5.9 1、2、3 优生:P150 习题5.9 2、3、4

六、教后感

θ

第 108 页

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