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八年级数学上册《直角三角形的性质》课件

发布时间:2013-09-20 19:16:37  

? 上节回顾与思考 ?证明命题的一般步骤:
?(1)根据题意,画出图形;

胜者的 “钥匙”

?(2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已 知”中写出条件,在“求证”中写出结论; ?(3)在“证明”中写出推理过程.
依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证 明过程;检查表达过程是否正确、完善.

1、什么是直角三角形? 有一个内角是直角的三角形叫直角三角 直角三角形可表示: Rt△ABC 形. A
直 角 边 斜边

C

直角边

B

猜想:直角三角形的两个锐角有什么关系?

直角三角形的两个锐角互余

定理1

直角三角形的两个锐角互余
A

已知:在Rt △ABC中,∠C=90 ° ∵

求证:∠A +∠B=90 °. ∴ 证明: ∵在 △ABC中, ∠A +∠B+∠C=180 ° (三角形的内角和是180 °)
又∵∠ C=90 °(已知)

C

B

∴ ∠A +∠B=90 °(等式性质)

定理1

直角三角形的两个锐角互余
练习1: 在Rt △AB C中,∠ACB=90 °
15 (1)如果∠B=75°,则 ∠A=___ °;
C A D
2 1

B

50 (2)如果∠A-∠B=10°,则 ∠ A=____°, 40 ∠ B=____°; (3)如果CD是AB边上的高, 4 图中有____对互余的角; ∠A +∠2=90 ° 有___对相等的锐角. 2 ∠A +∠B=90 ° ∠1 +∠B=90 ° ∠1 +∠2=90 °

直角三角形的判定定理
有两个角互余的三角形是直角三角形。
练习:(直接写出答案) 1)Rt△ABC中,∠C=90 ° ,∠B=28°, 则∠A=__. 2) 若∠C =∠A+∠B, 则△ABC是______三 角形. 3)在△ABC中,∠A=90°, ∠B=3∠C, 求∠B,∠C的度数。

知识小结
1、直角三角形判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形 2、直角三角形性质定理
直角三角形的两个锐角互余

定理2

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
A

已知: ∵ 在Rt△ABC中,?ACB=90°, CM是斜边AB上的中线
1 求证:CM= 2 AB. ∴
A A

M

C1

C

B

M

E B
F

M

C

C

B

定理2

直角 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 斜边 中线
练习2: 1、判断下列命题是真命题还是假命题:
1 假命题) (1)在△ACB中,CD是AB边上的中线,则CD= 2 AB.(

(2)在Rt△ACB中,∠ACB=90°,D是AB边上的一点,则 1 CD= AB.(假命题)
2

(3)在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AD是BC上的中线,则 1 AD= AB.(假命题 A )
2

C

D

B

定理2

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
练习2: 2、已知:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BM是AC边上的中线

16 8 8 (1)若BM=8,则AM=____,CM=____,AC=___;
50 (2)若∠C=25°,∠AMB=______°;

(3)若BD是AC边上的高,则与∠A相等的角有_____个.
A M
1 2

1 BM=AM=CM= 2 AC

C

B

∠C=∠1 ∠A=∠2

定理2

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
练习2: 2、已知:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BM是AC边上的中线 2 (3)若BD是AC边上的高,则与∠A相等

的角有_____个.
D A C B A C B C M B A

D M

已知:如图,在△ ABC中,AD ⊥ BC, E、F分别是AB、 AC的中点,且DE=DF 中点 求证:AB=AC.
A

直角三角形斜边上的中点 等腰三角形底边上的中点
B

E

F

D

C

如图1,在Rt △ ABC与Rt △ ACE中, ∠ ABC= ∠ AEC=90 °, 中点 点M是AC边上的中点,联结BM、EM、BE,点P是BE的中点. 中点 求证: MP ⊥ BE .
B

证明:
A P
M C ∵ ∠ ABC= ∠ AEC=90 ° M是AC边上的中点 (已知) 1 1 ∴ BM= AC ,EM= AC 2 2 (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) ∴ BM= EM (等量代换)

(图1) E

又∵ P是BE边上的中点 (已知) ∴ MP ⊥ BE
(等腰三角形三线合一)

如图2,在Rt △ ABC与Rt △ ACE中, ∠ ABC= ∠ AEC=90 °, 点M是AC边上的中点,联结BM、EM、BE,点P是BE的中点. 中点 中点 求证:MP ⊥ BE .
B

证明:
A P
M C

(图1) E

∵ ∠ ABC= ∠ AEC=90 ° M是AC边上的中点 (已知) 1 1 ∴ BM= AC ,BE= AC 2 2 (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
∴ BM= EM (等量代换) 又∵ P是BE边上的中点 (已知) ∴ MP ⊥BE (等腰三角形三线合一)

(图2) M

C

如图3,在△ACD中,AE、CB分别是边CD、AD上的高,M、 P分别是AC、BE的中点. 求证:MP ⊥ BE .

证明:
D
联结ME、MB ∵ ∠AEC= ∠ABC=90 ° M是AC边上的中点 (已知) 1 1 ∴ME= AC ,MB= AC 2 2 (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) C

B

P

E

A

∴ ME= MB (等量代换)
又∵ P是BE边上的中点 (已知) ∴ MP ⊥ BE (等腰三角形三线合一)

M

(图3)

直角三角形的两个锐角互余 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

A M
2 M 2 1

A

C

1

B

C

B

(1)阅读教材P115页,性质定理2的证明;
A

(2)用右图的添线方法,完成性质定理2的证明 已知:在Rt△ABC中,?ACB=90°, CM是斜边AB上的中线.
1 求证: CM= AB. 2

E

M

(3)练习册 19.8(1)

C

B
F

已知:如图,在Rt△ ABC中, ∠ C=90 ° , AD ∥ BC, 1 ∠CBE= ∠ABE . 求证:ED=2AB.
2

分析: 作△AED边ED上的中线AF ∠ ABE= 2∠ CBE ∠ AFB=2 ∠D

A

D F

∠ ABE= ∠ AFB
AB=AF ED=2AB.

E

B

C


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