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26.2.2二次函数y=ax2+k的图象性质

发布时间:2013-12-11 15:34:51  

10 y = x2+1 8 6 4 2 -4 -2 -2 y = x2-1 2 4

8 7

y ? 2x y ? x 6
2

y

2

5

a>0
-5 -4 -3 -2 -1

4

3 2
1

1 2 y? x 2
1
2 3

O
-1 -2 -3 -4

4

5

x

a<0

-5
-6

1 2 y?? x 2
2

y ? ?2 x y ? ? x

2
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二次函数y=ax2的性质
1.抛物线y=ax2的顶点是原点, 对称轴是y轴.
2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外), 它的开口向上,并且向上无限伸展; 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的 开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在 对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在 对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.

y=ax2 (a≠0) 图 象
O

a>0

y x

a<0 y
O

x

开口方向

顶点坐标 对称轴 当x<0时, 当x<0时, 增 y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。 减 当x>0时, 当x>0时, y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。 性 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.

向上 (0 ,0) y轴

向下 (0 ,0) y轴

试一试:
2、函数y=8x2的图象的开口
轴是 ,顶点是

,对称
;在 ,在 ; ,对称轴

对称轴的左侧,y随x的增大而 对称轴的右侧,y随x的增大而 3、函数y=-3x2的图象的开口



,顶点是

;在对
,在对称

称轴的左侧,y随x的增大而

轴的右侧,y随x的增大而



思考

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一次函数y=x与y=x+1的图象是什 么关系?
y
1

y=x+1

.
. 01

y=x x

. -1

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例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1 和y=x2 的图像
解: 先列表 x ….. y=x2 …… y=x2+1 …… -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 …… ……

5

2

1

2

5

然后描点画图,得到y= x2+1,y=x2的图像.

x ….. y=x2 …… y=x2+1 ……

-2 4

-1 1

0 0
y
8

1 1

2 4

…… ……

5

2

1

2

5

y=x2+1
函数y=x2+1的图象与y=x2 的图象的位置有什么关系? 函数y=x2+1的图 象与y=x2的图象 的形状相同吗?
5

函数y=x2+1的图 象可由y=x2的图 象沿y轴向上平移 1个单位长度得到. 相同
-10 -5

6

4

2

y=x2
O
-2

x

10

(1) 抛物线y=x2+1,y=x2的开口方向、对称轴、顶 点各是什么? (2)抛物线y=x2+1 与抛物线y=x2有什么关系?
y
8

抛物线y=x2+1: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0, 0).
-10 -5

y=x2+1

6

4

2

y=x2
O
-2 5

x

10

例2.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2 -2 和y=x2 的图像
解: 先列表
x … -3 y=x2 -2 … 7 y=x2 … 9 -2 2 4 -1 -1 1 0 -2 0 1 -1 1 2 2 4 3 7 9 … … …

然后描点画图,得到y= x2 -2,y=x2的图像.

x y=x2 y=x2-2

….. …… ……

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

……

2

-1
y
8

-2

-1

2 ……

函数y=x2-2的图象 可由y=x2

的图象 沿y轴向下平移2 个单位长度得到. 相同
-10 -5

6

4

y=x

函数y=x2-2的图象与 y=x2的图象的位置有什 么关系? 2
函数y=x2 -2的图 象与y=x2的图象的 形状相同吗?
5

2

O
-2

x

10

y=x2-2

(1) 抛物线y=x2-2,y=x2的开口方向、 对称轴、顶点各是什么? (2)抛物线y=x2-2 与抛物线y=x2有什么 关系?
抛物线y=x2 -2: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0,-2). 抛物线y=x2: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0, 0).

(2)抛物线y=x2+1、y=x2-1与y=x2抛物线有什么关系? y=x2+1 y 2向下移 y=x2 10 把抛物线y=x 9 1个单位,就得到抛物 8 2-1; 7 线y=x 6 抛物线y=x2向上平移1个 5 4 单位,就得到抛物线 3 y=x2+1。 2 y=x2-1 1 抛物线 对称
y=x
2 2

开口 方向 轴 向上 y轴 向上 向上 y轴

顶点 坐标 (0,0)

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

x

y=X +1

y轴

y=x2-1

(0,1) (0,-1)

在同一直角坐标系中,画 出下列二次函数的图象: y=-0.5x2,y=-0.5x2+2 , y=-0.5x2-2
观察三条抛物线的相互关 系,并分别指出它们的开 口方向、对称轴及顶点。 你能说出抛物线y=-0.5x2+k 的开口方向、对称轴及顶点 吗?它与抛物线y=0.5x2有什 么关系?

y
2 1

y=-0.5x2+2

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 y=-0.5x2 -9 -10

y=-0.5x2-2

函数y=-0.5x2+2的 图象可由y=-0.5x2 的图象沿y轴向上平 移2个单位长度得到. 函数y=-0.5x2-2的 图象可由y=-0.5x2的 图象沿y轴向下平移 2个单位长度得到.

y
2 1

y=-0.5x2+2

图象向上移还是向下移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 y=-0.5x2 -9 -10

y=-0.5x2-2

二次函数y=ax2+k的性质
y=ax2+k 图象 开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 关于y轴对称 (0,k) 顶点是最低点 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 a>0 a<0

开口 对称性 顶点 增减性

总结

2+k有如下性质: 一般地抛物线y=ax
1、当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下,
2、对称轴y轴(或x=0), 3、顶点坐标是(0,k), 4、|a|越大开口越小,反之开口越大。

函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0) 的图象形状 相同 ,只是位置不同; 当k>0时,函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得 到,当k<0时,函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向 下 平移 |k| 个单位 得到。
上加下减

(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的 图象向 上 平移 5 个单位得到; y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向 下 平移 11 个单位得到。

(2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平 移 4 个单位可得y=-3x2的图象;将 y=2x2-7的图象向 上 平移 7 个单位 得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图 象向 上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。

(3)将抛物线y=4x2向上平移3

个单 位,所得的抛物线的函数式 y=4x2+3 是 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单 位,所得的抛物线的函数式 y=-5x2-4 是 。

向下 , (4)抛物线y=-3x2+5的开口 y轴 ,顶点坐标是 (0,5) , 对称轴是 在对称轴的左侧,y随x的增大 增大 ,在对称轴的右侧,y随x的 而 减小 , 增大而 当x= 0 时,取得最 大 值,这个 5 值等于 。

(5)抛物线y=7x2-3的开口 向上 , 对称轴是 y轴 ,顶点坐标 (0,-3) 是 ,在对称轴的左侧,y随 x的增大而 减小 ,在对称轴的右侧, 增大 , y随x的增大而 当x= 0 时,取得最 小 值,这个 -3 值等于 。

(6).二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过 点A(1,-1),B(2,5),则函数 2+c的表达式为 y=2x2-3 y=ax 。 若点C(-2,m),D(n ,7)也在函数的图象 上,则点C的坐标为 (-2,5) 点D的 坐标为 ( 5 ,7) 或 (? 5 ,7) .

(1)抛物线y= ?2x2+3的顶点坐标是 是 在 ,在 侧,y随着x的增大而减小,当x=

,对称轴 时,函数y的

侧,y随着x的增大而增大; ,它是由抛物线y= ?2x2怎样平移得

值最大,最大值是

到的__________.
( 2)抛物线 y= x2 的顶点坐标是____,对称轴是 -5

____,在对称轴的左侧,y随着x的
轴的右侧,y随着x的 值最___,最小值是 .

;在对称

,当x=____时,函数y的

2、在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的( B )
y

y
y

y

o

x

o

x

o

x

o

x

A

B

C

D

练习: 3、按下列要求求出二次函数的解析式: (1)已知抛物线y=ax2+c经过点(-3,2) (0,-1)求该抛物线线的解析式。 (2)形状与y=-2x2+3的图象形状相同,但开 口方向不同,顶点坐标是(0,1)的抛物线 解析式。

(3)对称轴是y轴,顶点纵坐标是-3,且经
过(1,2)的点的解析式,

拓展提高
若二次函数y=3x2+1上有两点的横坐标是x1,x2,

这两点的纵坐标相等,则此抛物线上的点C的横坐 标取x1+x2时,它的纵坐标是___________.1


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