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九年级上数学《24.4.1_弧长和扇形面积》课件

发布时间:2013-12-12 10:34:17  

新课导入
在田径二百米比赛中,每位运动员 的起跑位置相同吗?

不同

制造弯形管道时,怎样才能精确用料?

700mm

● A

B ● 700mm

● C

R=900m 100 m ° O

j

● D

圆弧(弧)

回顾
弧一般是圆的一 部分,那么你会 求弧的长度吗?

A

? AB
半圆 O B

圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。

探究
A

弧长公式

圆的周长: C = 2π R

? AB
O n° R n°圆心角所对的弧长: 1°圆心角所对弧长: 圆的周长可以看 作是多少度的圆 B 心角所对的弧?

360°

l=

nπ R 180

l=

2π R 360

πR = 180

知识要点
R 弧长公式 . n°

在半径为 R 的圆中,n°的圆心角所 对的弧长(arclength )的计算公式为:

n?R l? 180

例1、制造弯形管道时,要先按中心线计算“展直 长度”,再下料,试计算图所示管道的展直长度L( 单位:mm,精确到1mm)

解:由弧长公式,可得弧AB 的长

l ? 100 ? 900 ? ? ? 500 ? ? 1570 (mm)
180

(mm) 因此所要求的展直长度 L ? 2 ? 700 ? 1570 ? 2970 答:管道的展直长度为2970mm.

例题
某传送带的一个转动轮的半径为10cm。 (1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送 多少厘米? (2)转动轮转1°,传送带上的物品A被传送 多少厘米? (3)转动轮转n°,传送带上的物品A被传送 多少厘米?

解:(1)转动轮转一周,传送带上的物品A 被传送

2? ?10 ? 20?cm ;

20? ? 被传送 ? cm ; 360 18

(2)转动轮转1°,传送带上的物品A

20? n? 被传送 n ? ? cm 。 360 18

(3)转动轮转n°,传送带上的物品A

举一反三

(1)弧长公式涉及三个量, 弧长、圆心 角的度数、 弧所在的半径,知道其中两个量, 就可以求第三个量。 (2)当问题涉及多个未知量时,可考虑 用列方程组来求解

扇形 由组成圆心角的两条半径和圆心角所 对的弧所围成的图形叫扇形.


O

生活中的扇形

抢答

下列哪些阴影部分是扇形?

×

×



×



扇形是圆面的一 部分,那么你会求扇 形的面积吗? n° O

探究
A

扇形面积公式
S = π R2

圆的面积:

O

n° R

圆面可以看作是 多少度的圆心角 B 所对的扇形?

360°

n°圆心角所对扇形面积: 1°圆心角所对扇形面积: nπ S扇形 = 360 R2 π R2 S扇形 = 360

知识要点
R 扇形面积公式 . n°

在半径为 R 的圆中,n°的圆心角所 对的扇形面积的计算公式为:

S 扇形

n?R ? 360

2

归纳
n° O A B

O

n?R l ? 180

S 扇形

n?R ? 360

2

比较扇形面积与弧长公式,用弧长表示扇形面积:

S 扇形

1 ? lR 2

例题
在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴 着一条长3m的绳子,绳子的另一端拴着一只狗。 (1)这只狗的最大活动区域有多大? (2)如果这只狗只

能绕柱子转过n°角,那么 它的最大活动区域有多大?

(1)如图(1),这只狗的最大活动区域 是圆的面积,即9π; (2)如图(2),狗的活动区域是扇形, 扇形是圆的一部分,360°的圆心角对应的圆 1 面积,1°的圆心角对应圆面积的 ,即
1 ? ? n? ? 9? ? ,n°的圆心角对应的圆面积 n ? ? 360 40 40 40

360

课堂小结
1. 弧长公式
R . n°

在半径为 R 的圆中,n°的圆心角所 对的弧长(arclength )的计算公式为:

n?R l? 180

A

B O

2. 扇形

由组成圆心角的两条半径和圆心角所 对的弧所围成的图形叫扇形. 3. 扇形面积公式 在半径为 R 的圆中,n°的圆心角所 对的扇形面积的计算公式为:

S 扇形

n?R ? 360

2

随堂练习
1. 水平放置的圆柱形排水管道的截面半径 是0.6m,其中水面高0.3m。求截面上有水部分 的面积?(精确到0.01m2)

O

A

B

解: 连接OA、OB,作弦AB的垂直平分线,垂足 为D,交 AB 与点C。 ∵OC=0.6 DC=0.3 ∴OD=OC-CD=0.3 O 在Rt△OAD中,OA=0.6 D 利用勾股定理可得,AD=0.3 A 1 在Rt△OAD中,OD= 2 OA ∴∠OAD=30°∠AOD=60°∠AOB=120° C 有水部分的面积 S=S扇形OAB -S△OAB
120? ? 0.6 2 1 ? ? ? ????D 360 2 1 ? 0.12? ? ? 0.6 3 ? 0.3 2 ? 0.22 ? m 2 ?

B

2. 三个同心扇形的圆心角∠AOB为120°, 半径OA为6cm,C、D是 AB 的三等分点,则阴影 部分的面积是多少?

有关求阴影部分的面积,要将图形通过旋转、 平移、翻折等变换,转化为可求的图形的面积。

3. 水平放置的圆柱形排水管道的截面半径 是0.6cm,其中水面高0.3cm,求截面上有水部 分的面积。(精确到0.01cm)。

有水部分的面积 = S扇- S△ A

O
D

B

C

4. 水平放置的圆柱形排水管道的截面半 径是0.6cm,其中水面高0.9cm,求截面上有 水部分的面积。

有水部分的面积 = S扇+ S△
D
A E 0 B

C

5. (2006 武汉)如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D 相互外离,它们的半径都是1,顺次连接四个圆心得 到四边形ABCD,则图形中四个扇形(空白部分)的 面积之和是多少?
B A

D

C


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