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北京2013年1月六重点区初三期末代数压轴

发布时间:2013-12-12 10:34:18  

丰台24.已知抛物线y??12x?bx?4上有不同的两点E(6,?k2?1)和F(?4,?k2?1). 2

(1)求此抛物线的解析式.

(2)如图,抛物线y??12x?bx?4与x轴的正半轴和y轴分别交于点A和点B,M2

为AB的中点,∠PMQ=45°,MP交y轴于点C,MQ交x轴于点D.∠PMQ在AB的左侧以M为中心旋转,设AD 的长为m(m>0),BC的长为n,求

函数关系式. (3)在(2)的条件下,当m,n为何值时,∠PMQ的边过点F.

东城25. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y??x?(m?1)x?m?6交x轴负半轴于点

A,交y轴正半轴于点B(0 , 3),顶点C位于第二象限,连结AB,AC,BC.

(1) 求抛物线的解析式;

(2) 点D是y轴正半轴上一点,且在B点上方,若∠DCB=∠CAB,请你猜想并证明

CD与AC的位置关系;

(3) 设与△AOB重合的△EFG从△AOB的位置出发,沿x轴负方向平移t个单位长度

(0<t≤3)时,△EFG与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t之间的函数关系式. 22

25.解:(1)?抛物线y??x?(m?1)x?m?6与y轴交于点B(0 , 3),

∴ m?6?3.

∴ m??3. 222

? 抛物线的顶点在第二象限,

∴ m?3.

∴ 抛物线的解析式为

y??x2?2x?3. ………2分

(2)猜想:CD?AC. ………3分

证明如下:

, B(0 , 3),C(-1 , 4), ? A(-3 , 0)

AB?AC?BC?222∴ AB?BC?AC.

∴ ?ABC?90?.

∴ ?CAB??ACB?90?.

又??CAB??DCB,

∴ ?DCB??ACB?90?.

∴ CD?AC. ………4分

(3)当0<t≤3时,如图, EF交AB 于点Q,GF交AC于点N,过N做MP//F

E交x轴于P点,交BF的延长线点M,

BF的延长线交AC于点K.

由△AGN∽△KFN,得

即AGPN, ?KFMNt

3?t2?PN. 解得PN=2t. 3?PN

1113?3?3?(3?t)2?t?2t??t3?3t. 2222∴S阴影=S?FGE?S?QAE?S?AGN?

当3<t≤3时,如图, EF交AB于点N, 交AC于点M,BF交AC于点P.

由△AME∽△PMF, AEME. ?PFMF

3?tME即. ?33?MEt?2得

解得ME=2(3-t). ∴S阴影=S?MAE?S?NAE?

综上所述: 1119?(3?t)?2(3?t)?(3?t)2?t2?3t?. 2222

3?32?t?3t (0?t≤),??22S=? ………………………………………….8分

?1t2?3t?9 (3?t≤3).?22?2

23.已知,二次函数y?ax?bx的图象如图所示.

(1)若二次函数的对称轴方程为x?1,求二次函数的解析式;

(2)已知一次函数y?kx?n,点P(m,0)是x轴上的一个动点.若在(1)的条件下,

过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交二次函数y?ax?bx的图象于点N.若只有当1<m<225时,点M位于点N3

的上方,求这个一次函数的解析式;

(3)若一元二次方程ax?bx?q?0有实数根,请你构造恰

当的函数,根据图象直接写出q的最大值.

23. 解:(1)? 二次函数的对称轴方程为x?1,由二次函数的图象可知

2

二次函数的顶点坐标为(1,-3),二次函数与x轴的交点坐标为(0,0),(2,0),

于是得到方程组??a?b??3, ……………………………………..2分 ?4a?2b?0.

?a?3,解方程得? b??6.?

二次函数的解析式为 y?3x?6. ……………………………………..3分

(2)由(1)得二次函数解析式为y?3x?6.

依题意并结合图象可知,一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和, 225

3

由此可得交点坐标为(1,?3)和(,?). …………………………..4分

将交点坐标分别代入一次函数解析式y?kx?n中, 5353

? k?n??3,?得?55 k?n??.?3?3

? k?2, 解得 ? n??5.?

∴ 一次函数的解析式为y?2x?5. ……………………………..6分

(3)3. ……………………………………………..7分

西城23.已知抛物线y1?x?2(1?m)x?n经过点(?1,3m?

(1)求n?m的值;

(2)若此抛物线的顶点为(p,q),用含m的式子分别表示p和q,并求q与p之间

的函数关系式;

(3)若一次函数y2??2mx?

取值范围.

21). 21,且对于任意的实数x,都有y1≥2y2,直接写出m的8

23.解:(1)∵抛物线y1?x?2(1?m)x?n经过点(?1,3m?

∴3m?1?(?1)2?2(1?m)?(?1)?n. 221), 2

∴n?m?3. ................................................................................................ 1分 2

(2)∵y1?x2?2(1?m)x?m?3, 2

∴p?m?1, ................................................................................................ 2分

1q??m2?3m?. .................................................................................. 3分 2

∵p?m?1,

∴m?p?1.

∴q??(p?1)2?3(p?1)?1. 2

∴q??p2?p?5. ........................................................................................ 5分 2

(3)m的取值范围是?3?m?1且m?0. ........................................................ 7分 22

阅卷说明:只写?3?m?1或只写m?0得1分. 22

12x?bx?c与x轴交于A、B两点,点2

C是AB的中点,CD⊥AB且CD=AB.直线BE与y轴平行,点F是射线BE上的一个动点,25.如图1,平面直角坐标系xOy中,抛物线y?连接AD、AF、DF.

(1)若点F的坐标为(9,1),AF

2

①求此抛物线的解析式;

②点P是此抛物线上一个动点,点Q在此抛物线的对称轴上,以点A、F、P、Q

为顶点构成的四边形是平行四边形,请直接写出点Q的坐标;

(2)若2b?c??2,b??2?t,且AB的长为kt,其中t?0.如图2,当∠DAF=45°

时,求k的值和∠DFA的正切值.

25.解:(1)①∵直线BE与y轴平行,点F的坐标为( ∴点B的坐标为(

9

,1), 2

9

,0),∠FBA=90°,BF=1. 2

在Rt△ABF中,AF

∴AB?4. ∴点A的坐标为(

1

,0). 2

∴抛物线的解析式为y?1(x?1)(x?9)?1x2?5x?9. ................. 1分

222228

②点Q的坐标为Q1(

555,3),Q2(,5),Q3(,7). ........... 4分 222

阅卷说明:答对1个得1分. (2)∵2b?c??2,b??2?t, ∴c?2t?2. ∴y? 由

12

x?(2?t)x?2t?2. 2

12

x?(2?t)x?2t?2?0, 2

(x?2)(x?2t?2)?0. 解得 x1?2,x2?2t?2. ∵t?0,

∴点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(2t?2,0).

∴AB=2t?2?2?2t,即 k?2. ............................................................... 5分 方法一:过点D作DG∥x轴交BE于点G,AH∥BE交直线DG于点H,延 长DH至点M,使HM=BF,连接AM.(如图9)

∵DG∥x轴,AH∥BE,

∴四边形ABGH是平行四边形. ∵∠ABF=90°, ∴四边形ABGH是矩形. 同理四边形CBGD是矩形. ∴AH=GB=CD=AB=GH=2t. ∵∠HAB=90°,∠DAF=45°, ∴∠1+∠2=45°.

在△AFB和△AMH中,

AB=AH,

∠ABF=∠AHM=90°,

BF=HM,

∴△AFB≌△AMH. ..................................................................................... 6分 ∴∠1=∠3,AF=AM,∠4=∠M. ∴∠3+∠2=45°. 在△AFD和△AMD中, AF=AM, ∠FAD=∠MAD, AD=AD, ∴△AFD≌△AMD.

∴∠DFA=∠M,FD=MD.

∴∠DFA=∠4. ……………………………………………………………7分

∵C是AB的中点, ∴DG=CB=HD=t.

设BF=x,则GF=2t?x,FD=MD=t?x. 在Rt△DGF中,DF2?DG2?GF2, ∴(t?x)2?t2?(2t?x)2,解得 x?2t.

3 ∴tan?DFA?tan?4?AB?2t?2t?3.…8FB3 方法二:过点D作DM⊥AF于M.(如图10) ∵CD⊥AB,DM⊥AF, ∴∠NCA=∠DMN=90°. ∵∠1=∠2, ∴∠NAC=∠NDM.

∴tan∠NAC=tan∠NDM.

∴NC?NM. ……………………………6分

ACDM ∵C是AB的中点,CD=AB=2t,

∴AC=t,AD???. ∵∠DAM=45°,

∴DM?AM?AD?sin45???.

设 CN=x,则DN=2t?x. ∴x?.

t

∴NM?x. 在Rt△DNM中,DN2?DM2?NM2,

∴(2t?x)2?)2?)2. 3x2?8tx?3t2?0.

(3x?t)(x?3t)?0. ∴x1?t,x2??3t(舍). 3

∴CN=t, …………………………………………………………………7分 3

. AN

∵EB∥y轴,

∴EB⊥x轴.

∵CD⊥AB,

∴CD∥EB. ∴AC?AN?1. ABAF2

∴AF

. ∴MF= AF?AM

?.

?∴tan?DFA?DM????3. ………………………………8分 ?MF??

海淀24.抛物线y?mx?(m?3)x?3(m?0)与x轴交于A、B两点,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C,OB=OC.

(1)求这条抛物线的解析式;

(2)若点P(x1,b)与点Q(x2,b)在(1)中的抛物线上,且x1?x2,PQ=n.

①求4x1?2x2n?6n?3的值;

② 将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折,抛物线的其它部分保持不变,得到一个新图象.

当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时,b的取值范围是 .

24.解:(1)解法一:∵抛物线y?mx?(m?3)x?3(m?0)与y轴交于点C,

∴C(0,?3). ……………………1分 222

∵抛物线与x轴交于A、B两点,OB=OC,

∴B(3,0)或B(-3,0).

∵点A在点B的左侧,m?0,

∴抛物线经过点B(3,0). ……………………2分

∴0?9m?3(m?3)?3.

∴m?1.

∴抛物线的解析式为y?x?2x?3. ……………………3分 解法二:令y?0,

∴mx?(m?3)x?3=0.

∴(x?1)(mx?3)?0. ∴x??1,x=223. m

?m?0,点A在点B的左侧, 3∴A(?1,0),B(,0). ……………………1分 m

令x?0,可得y??3.

∴C(0,?3).

∴OC?3. ……………………2分

?OB?OC, 3?3. m

∴m?1. ∴

∴y?x?2x?3. ……………………3分

(2)①由抛物线y?x?2x?3可知对称轴为x?1. ……………4分 ∵点P(x1,b)与点Q(x2,b)在这条抛物线上,且x1?x2,PQ?n, ∴x1?1?22nn,x2?1?. ……………………5分 22

∴2x1?2?n,2x2?2?n.

∴原式=(2?n)?(2?n)n?6n?3?7. ……………………6分 ②?4?b??2或b?0. ……………………8分

(注:答对一部分给1分.)

2

24.如图所示,在平面直角坐标系中,Rt△OBC的两条直角边分别落在x轴、y轴上, 且OB=1,OC=3,将△OBC绕原点O顺时针旋转90°得到△OAE,将△OBC沿y轴翻折得到△ODC,AE与CD交于点F.

(1)若抛物线过点A、B、C, 求此抛物线的解析式;

(2)求△OAE与△ODC重叠的部分四边形ODFE的面积;

(3)点M是第三象限内抛物线上的一动点,点M在何处时△AMC

的面积最大?最大面积是多少?求出此时点M的坐标.

24. 解:(1)∵OB=1,OC=3

∴C(0,-3),B(1,0)

∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE

∴A(-3,0)

所以抛物线过点A(-3,0),C(0,-3),B(1,0) ……………………………… 1分

设抛物线的解析式为y?ax?bx?c(a?0),可得 2

c?0?a+b+?a?1?? ?c?-3解得?b?2

?9a-3b?c?0?c?-3??

∴过点A,B,C的抛物线的解析式为

y?x2?2x-3 ……………………………… 2分

(2) ∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE,

△OBC沿y轴翻折得到△COD

∴E(0,-1),D(-1,0)

可求出直线AE的解析式为y??1x?1 3

直线DC的解析式为y??3x?3

∵点F为AE、DC交点

∴F(-33,-) ……………… 3分

44

M

S四边形ODFE=S△AOE-S△ADF=3 ………… 4分 4

(3)连接OM,设M点的坐标为(m,n)

∵点M在抛物线上,∴n?m?2m?3

∴S?AMC?S?AMO?S?OMC?S?AOC 2

111393OA?m?OC?n?OA?OC??(m?n)???(m?n?3) 222222

33327=??(m2?3m)??(m?)2? ……………………………… 62228=

315时,n??,△AMA’的面积有最大值 24

315所以当点M的坐标为(?,-)时,△AMA’的面积有最大值……… 7分 24因为0?m?3,所以当m??

石景山24.已知二次函数y?ax?bx?3图象的对称轴为直线x?1.

(1)用含a的代数式表示b;

(2)若一次函数y?kx?5的图象经过点A(4,1)及这个二次函数图象的顶点,求二次函

数y?ax?bx?3的解析式;

(3)在(2)的条件下,若点P(t,2t)在二次函数y?ax?bx?3图象上,则点P叫做

图象上的2倍点,求出这个二次函数图象上的所有2

25.已知:抛物线C1:y??2x?bx?6与抛物线C2关于原点对称,抛物线C1与x轴分

别交于A(1,0),B(m,0),顶点为M,抛物线C2与x轴分别交于C,D两点(点C在点D的左侧),顶点为N.

(1)求m的值;

(2)求抛物线C2的解析式;

(3)若抛物线C1与抛物线C2同时以每秒1个单位的速度沿x轴方向分别向左、向右2222

运动,此时记A,B,C,D,M,N在某一时刻的新位置分别为A,B,C,D,M,N,当点A'与点D'重合时运动停止.在运动过程中,四边形BMCN能否形成矩形?若能,求出此时运动时间t(秒)的值,若不能,说明理由.

24.解: ''''''''''

b?1 ……………………………………1分 2a

∴b??2a且a?0. ……………………………………2分

(2)由直线y?kx?5过点A(4,1)

∴1?4k?5,解得k??1

∴y??x?5 ……………………………………3分 设抛物线顶点坐标为(1,n),代入y??x?5中,可得n??1?5?4 (1)由题意,得?∴抛物线顶点坐标为(1,4), ……………………………………4分 代入y?ax?2ax?3中,可得a??1

∴抛物线的解析式为y??x?2x?3.…………………………………5分

(3)∵点P(t,2t)在抛物线上

∴2t??t?2t?3 …………………………………6分 解得t??

∴这个抛物线上的2倍点有两个,分别是(3,2)和(?,?2).

…………………………………7分25.解:

25、(1)∵抛物线y??2x?bx?6过点 A(1,0)

∴0??2?b?6 …………………………………1分 ∴b?8

22∴抛物线C1的解析式为 y??2x?8x?6??2(x?2)?2

∴M(2,2)

令y?0,则?2x?8x?6?0

解这个方程,得x1?1,x2?3

∴m?3 ……………………………………2分

(2)由题意,抛物线C2过点C(-3,0),D(-1,0),N(-2,-2)

∴抛物线C2的解析式为 y?2(x?2)?2?2x?8x?6 …………3分

(3)过点M'作M'H⊥x轴于点H, …………………………………4分 若四边形BMCN是矩形,则OB?OM

由题意,设M(2?t,2),B(3?t,0),则H(2?t,0) ………………5分 在Rt△MOH中,OH?M'H?OM'?OB'

∴(t?2)?2?(t?3) …………………………………6分 解得t?

∴t?

2222222222'''''''''22221 21''''秒时,四边形BMCN是矩形.………………………………7分 2

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