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二次函数结合几何综合题1

发布时间:2013-09-20 19:55:59  

二次函数结合几何综合题1

一.解答题(共30小题)

1.(2012?云南)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2交x轴于点P,交y轴于点A.抛物线y=x+bx+c2的图象过点E(﹣1,0),并与直线相交于A、B两点.

(1)求抛物线的解析式(关系式);

(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C,求点C的坐标;

(3)除点C外,在坐标轴上是否存在点M,使得△MAB是直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

2.(2012?宜宾)如图,抛物线y=x﹣2x+c的顶点A在直线l:y=x﹣5上.

(1)求抛物线顶点A的坐标;

(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD的形状;

(3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

2

3.(2012?烟台)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4).以

2A为顶点的抛物线y=ax+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.

(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;

(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?

(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.

4.(2012?仙桃天门潜江江汉)如图,抛物线y=ax+bx+2交x轴于A(﹣1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点.

2

(1)求抛物线解析式及点D坐标;

(2)点E在x轴上,若以A,E,D,P为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P的坐标;

(3)过点P作直线CD的垂线,垂足为Q,若将△CPQ沿CP翻折,点Q的对应点为Q′.是否存在点P,使Q′恰好落在x轴上?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,说明理由.

5.(2012?温州)如图,经过原点的抛物线y=﹣x+2mx(m>0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM⊥x轴于点M,交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B、C不重合).连接CB,CP.

(1)当m=3时,求点A的坐标及BC的长;

(2)当m>1时,连接CA,问m为何值时CA⊥CP?

(3)过点P作PE⊥PC且PE=PC,问是否存在m,使得点E落在坐标轴上?若存在,求出所有满足要求的m的值,并定出相对应的点E坐标;若不存在,请说明理由.

2

6.(2012?威海)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点为B(2,1),且过点A(0,2),直线y=x与抛物线交于点D,E(点E在对称轴的右侧),抛物线的对称轴交直线y=x于点C,交x轴于点G,EF⊥x轴,垂足为点F,点P在抛物线上,且位于对称轴的右侧,PM⊥x轴,垂足为点M,△PCM为等边三角形. 2

(1)求该抛物线的表达式;

(2)求点P的坐标;

(3)试判断CE与EF是否相等,并说明理由;

(4)连接PE,在x轴上点M的右侧是否存在一点N,使△CMN与△CPE全等?若存在,试求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

7.(2012?沈阳)已知,如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(﹣2,0),点B坐标为(0,2),点E为线段AB上的动点(点E不与点A,B重合),以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交线段0B于点F,C为y轴正半轴上

2一点,且OC=AB,抛物线y=﹣x+mx+n的图象经过A,C两点.

(1)求此抛物线的函数表达式;

(2)求证:∠BEF=∠AOE;

(3)当△EOF为等腰三角形时,求此时点E的坐标;

(4)在(3)的条件下,当直线EF交x轴于点D,P为(1)中抛物线上一动点,直线PE交x轴于点G,在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P,使得△EPF的面积是△EDG面积的(2+1)倍?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

8.(2012?衢州)如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x

2轴上.已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F.抛物线y=ax+bx+c经过O、A、C三

点.

(1)求该抛物线的函数解析式;

(2)点P为线段OC上一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)若△AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点C重合),△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S.试探究S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

9.(2012?南通)如图,经过点A(0,﹣4)的抛物线y=x+bx+c与x轴相交于B(﹣2,0),C两点,O为坐标原点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)将抛物线

y=x+bx+c向上平移个单位长度,再向左平移m(m>0)个单位长度得到新抛物线,若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围;

(3)设点M在y轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的长.

22

10.(2012?眉山)已知:如图,直线y=3x+3与x轴交于C点,与y轴交于A点,B点在x轴上,△OAB是等腰直角三角形.

(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;

(2)若直线CD∥AB交抛物线于D点,求D点的坐标;

(3)若P点是抛物线上的动点,且在第一象限,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.

11.(2012?锦州)如图,抛物线y=ax+bx﹣3交y轴于点C,直线l为抛物线的对称轴,点P在第三象限且为抛物线的顶点.P到x轴的距离为

(1)求抛物线的表达式;

(2)直线

y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D,与y轴交于点F,连接BD交y轴于点E,且DE:BE=4:1.求直线

y=x+m的表达式;

(3)若N为平面直角坐标系内的点,在直线

y=x+m上是否存在点M,使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

,到y轴的距离为1.点C关于直线l的对称点为A,连接AC交直线l于B. 2

12.(2012?河池)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系,抛物线y=﹣x+x+4经过A、B两点.

(1)写出点A、点B的坐标;

(2)若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移,分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P,连接PA、PB.设直线l移动的时间为t(0<t<4)秒,求四边形PBCA的面积S(面积单位)与t(秒)的函数关系式,并求出四边形PBCA的最大面积;

(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P,使得△PAM是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

2

13.(2012?恩施州)如图,已知抛物线y=﹣x+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.

(1)抛物线及直线AC的函数关系式;

(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;

2

(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;

(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.

14.(2011?兰州)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax+bx+c经过点A、B和D2.

(1)求抛物线的解析式.

(2)如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同

2时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设S=PQ

2(cm)

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;

②当S取时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.

(3)在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大,求出点M的坐标.

15.(2011?北海)如图,抛物线y=ax+bx+4与x轴交于A(﹣2,0)、B(4、0)两点,与y轴交于C点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)T是抛物线对称轴上的一点,且△ATC是以AC为底的等腰三角形,求点T的坐标;

(3)M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行,当点M到原点时,点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动,当点M到达抛物线的对称轴时,两点停止运动,过点M的直线l⊥x轴交AC或BC于点P.求点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式,并求出S的最大值. 2

16.(2011?巴彦淖尔)如图,直线y=x+3与坐标轴分别交于A,B两点,抛物线y=ax+bx﹣3a经过点A,B,顶点为C,连接CB并延长交x轴于点E,点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称.

(1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标;

(2)求证:四边形ABCD是直角梯形.

2

17.如图,直线

y=x+2与x轴交于点A、与y轴交于点D,以AD为腰,以x轴为底作等腰梯形ABCD(AB

2>CD),且等腰梯形的面积是8,二次函数y=ax+bx+c经过等腰梯形的四个顶点.

(1)求点A,B,C的坐标

(2)求抛物线的解析式;

(3)若点P为x轴上的一个动点,当点P运动到什么位置时,△ADP为等腰三角形,求这时点P的坐标;

(4)若点P为抛物线上的一个动点,是否存在点P使△ADP为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,简要地进行说明有几个,并至少求出其中的一个点坐标.

18.已知,如图二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与y轴交于点C(0,4)与x轴交于点A、B,点B(4,0),抛物线的对称轴为x=1.直线AD交抛物线于点D(2,m),

(1)求二次函数的解析式并写出D点坐标;

(2)点Q是线段AB上的一动点,过点Q作QE∥AD交BD于E,连结DQ,当△DQE的面积最大时,求点Q的坐标;

2

(3)抛物线与y轴交于点C,直线AD与y轴交于点F,点M为抛物线对称轴上的动点,点N在x轴上,当四边形CMNF周长取最小值时,求出满足条件的点M和点N的坐标.

19.如图,二次函数的图象经过点D,与x轴交于A、B两点.

(1)求c的值;

(2)如图①,设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点,直线AC将四边形ABCD的面积二等分,试证明线段BD被直线AC平分,并求此时直线AC的函数解析式;

(3)设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点,试猜想:是否存在这样的点P、Q,使△AQP≌△ABP?如果存在,请举例验证你的猜想;如果不存在,请说明理由.(图②供选用)

20.如图,在平面直角坐标系中,Rt△AOB的顶点坐标分别为A(0,2),O(0,0),B(4,0),把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD(点A转到点C的位置),抛物线=ax+bx+c(a≠0)经过C、D、B三点.注:抛物线的顶点坐标为 (﹣,) 2

(1)求抛物线的解析式;

(2)若抛物线的顶点为P,△PAB的面积;

(3)在抛物线上是否存在点M,使△MBC的面积等于△PAB的面积?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

21.已知:直线与y轴交于A,与x轴交于D,抛物线y=x+bx+c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、2

C两点,且B点坐标为 (1,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P是直线AE上一动点,当△PBC周长最小时,求点P坐标;

(3)动点Q在x轴上移动,当△QAE是直角三角形时,求点Q的坐标;

(4)在y轴上是否存在一点M,使得点M到C点的距离与到直线AD的距离恰好相等?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

22.如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣x+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.

①求S关于m的函数表达式;

②当S最大时,在抛物线y=

﹣x+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.

22

23.已知:如图,等腰梯形ABCD的边BC在x轴上,点A在y轴的正方向上,A(0,6),D(4,6),且AB=

(1)求点B的坐标;

(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式;

(3)点C是不是也在(2)中的抛物线上,若在请证明,若不在请说明理由;

(4)在(2)中所求的抛物线上是否存在一点P,使得

请说明理由.

?若存在,请求出该点坐标,若不存在,

24.如图,直线y=﹣x+3与x轴,y轴分别交于B,C两点,抛物线y=﹣x+bx+c经过点B和点C,点A是抛物线与x轴的另一个交点.

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;

(2)若点Q在抛物线的对称轴上,能使△QAC的周长最小,请求出Q点的坐标;

(3)若直线l:y=kx(k≠0)与线段BC交于点D(不与点B,C重合),则是否存在这样的直线l,使得以B,O,D为顶点的三角形与△BAC相似?若存在,求出该直线的函数表达式及点D的坐标;若不存在,请说明理2由.

25.如图,抛物线交x轴于点A(﹣2,0),点B(4,0),交y轴于点C(0,4).

(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D的坐标;

(2)若直线y=x交抛物线于M,N两点,交抛物线的对称轴于点E,连接BC,EB,EC.试判断△EBC的形状,并加以证明;

(3)设P为直线MN上的动点,过P作PF∥ED交直线MN上方的抛物线于点F.问:在直线MN上是否存在点P,使得以P,E,D,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P及相应的点F的坐标;若不存在,请说明理由.

26.如图1,在平面直角坐标系中,直线l:

线沿x轴翻折后,与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物与y轴交于点D,与直线AB交于点E、点F(点F在点E的右侧).

(1)求直线AB的解析式;

(2)若线段DF∥x轴,求抛物线的解析式;

(3)如图2,在(2)的条件下,过F作FH⊥x轴于点G,与直线l交于点H,在抛物线上是否存在P、Q两点(点P在点Q的上方),PQ与AF交于点M,与FH交于点N,使得直线PQ既平分△AFH的周长,又平分△AFH面积,如果存在,求出P、Q的坐标,若不存在,请说明理由.

27.如图①,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AB=5,cosA=.一动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OB方向匀速运动;另一动点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿BO方向匀速运动.两动点同时出发,当第一次相遇时即停止运动.在点P、Q运动的过程中,以PQ为一边作正方形PQMN,使正方形PQMN和△AOB在线段OB的同侧.设运动时间为t(单位:秒).

(1)求OA和OB的长度;

(2)在点P、Q运动的过程中,设正方形PQMN和△AOB重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围;

(3)如图②,现以△AOB的直角边OB为x轴,顶点O为原点建立平面直角坐标系xOy.取OB的中点C,将过点A、C、B的抛物线记为抛物线T.

①求抛物线T的函数解析式;

②设抛物线T的顶点为点D.在点P、Q运动的过程中,设正方形PQMN的对角线PM、QN交于点E,连接DE、DN.是否存在这样的t,使得△DEN是以EN、DE为两腰或以EN、DN为两腰的等腰三角形?若存在,请求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.

28.如图,已知

(q≠0)与直线y=x交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=BO,BC∥x轴.

(1)求p和q的值;

(2)设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点(点E在点D的右上方),,过D作y轴的平行线,交抛物线于F.

①设点D的横坐标为t,△EDF的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;

②又过点E作y轴的平行线,交抛物线于G,试问能不能适当选择点D的位置,使四边形DFGE是平行四边形?如果能,求出此时点D的坐标;如果不能,请说明理由.

29.如图①,抛物线

y=x+x﹣4与x轴的两个交点分别为A、B,与y轴的交点为C.

(1)请直接写出点A、B、C的坐标;

(2)如图①,点Q是函数

y=x+x﹣4的图象在第三象限上的任一点,点Q的横坐标为m,设四边形AQCB的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并求出m这何值时,S有最大值,最大值是多少?

(3)抛物线y=x+x﹣4的对称轴上是否存在一点H,使△BCH的周长最小?若存在,请直接写出H点坐标;若不存在,请说明理由.

(4)如图②,若点E为线段BC的中点,EF垂直平分BC交x轴于点F(﹣3,0),点P是抛物线y=x+x﹣4对称轴上的一点,设P点的纵坐标为t,请直接写出∠PEC为钝角三角形时t的取值范2222

围.

2 30.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax+bx+4经过点A(﹣1,0)、B(4,0),与y轴交于点C,直线y=x+2

交y轴交于点D,交抛物线于E、F两点,点P为线段EF上一个动点(与E、F不重合),PQ∥y轴与抛物线交于点Q.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当P在什么位置时,四边形PDCQ为平行四边形?求出此时点P的坐标;

(3)是否存在点P使△POB为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

二次函数结合几何综合题1

参考答案与试题解析

一.解答题(共30小题)

1.(2012?云南)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2交x轴于点P,交y轴于点A.抛物线y=x+bx+c2的图象过点E(﹣1,0),并与直线相交于A、B两点.

(1)求抛物线的解析式(关系式);

(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C,求点C的坐标;

(3)除点C外,在坐标轴上是否存在点M,使得△MAB是直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

2.(2012?宜宾)如图,抛物线y=x﹣2x+c的顶点A在直线l:y=x﹣5上.

(1)求抛物线顶点A的坐标;

(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD的形状;

3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由. 2

3.(2012?烟台)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4).以

2A为顶点的抛物线y=ax+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发,沿

线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.

(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?

(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.

4.(2012?仙桃天门潜江江汉)如图,抛物线y=ax+bx+2交x轴于A(﹣1,0),

B(4,0)两点,交y轴于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点. 2

(1)求抛物线解析式及点D坐标;

(2)点E在x轴上,若以A,E,D,P为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P的坐标;

(3)过点P作直线CD的垂线,垂足为Q,若将△CPQ沿CP翻折,点Q的对应点为Q′.是否存在点P,使Q′恰好落在x轴上?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,说明理由.

5.(2012?温州)如图,经过原点的抛物线y=﹣x+2mx

(m>0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM⊥x轴于点M,交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B、C不重合).连接CB,CP.

(1)当m=3时,求点A的坐标及BC的长;

(2)当m>1时,连接CA,问m为何值时CA⊥CP?

(3)过点P作PE⊥PC且PE=PC,问是否存在m,使得点E落在坐标轴上?若存在,求出所有满足要求的m的值,并定出相对应的点E坐标;若不存在,请说明理由. 2

6.(2012?威海)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点为B(2,1),且过点A(0,2),直线y=x与抛物线交于点D,E(点E在对称轴的右侧),抛物线的对称轴交直线y=x于点C,交x轴于点G,EF⊥x轴,垂足为点F,点P在抛物线上,且位于对称轴的右侧,PM⊥x轴,垂足为点M,△PCM为等边三角形. 2

(1)求该抛物线的表达式;

(2)求点P的坐标;

(3)试判断CE与EF是否相等,并说明理由;

(4)连接PE,在x轴上点M的右侧是否存在一点N,使△CMN与△CPE全等?若存在,试求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

7.(2012?沈阳)已知,如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(﹣2,0),点B坐标为(0,2),点E为线段AB上的动点(点E不与点A,B重合),以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交线段0B于点F,C为y轴正半轴上

2一点,且OC=AB,抛物线y=﹣x+mx+n的图象经过A,C两点.

(1)求此抛物线的函数表达式;

(2)求证:∠BEF=∠AOE;

(3)当△EOF为等腰三角形时,求此时点E的坐标;

(4)在(3)的条件下,当直线EF交x轴于点D,P为(1)中抛物线上一动点,直线PE交x轴于点G,在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P,使得△EPF的面积是△EDG面积的(2+1)倍?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

8.(2012?衢州)如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x

2轴上.已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F.抛物线y=ax+bx+c经过O、A、C三

点.

(1)求该抛物线的函数解析式;

(2)点P为线段OC上一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)若△AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点C重合),△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S.试探究S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

9.(2012?南通)如图,经过点A(0,﹣4)的抛物线y=x+bx+c与x轴相交于

B(﹣2,0),C两点,O为坐标原点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)将抛物线y=x+bx+c向上平移个单位长度,再向左平移m(m>0)个单位长度得到新抛物线,若新抛物线的顶点P在△

ABC内,求m的取值范围;

(3)设点M在y轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的长. 22

10.(2012?眉山)已知:如图,直线y=3x+3与x轴交于C点,与y轴交于A点,B点在x轴上,△OAB是等腰直角三角形.

(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;

(2)若直线CD∥AB交抛物线于D点,求D点的坐标;

(3)若P点是抛物线上的动点,且在第一象限,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.

11.(2012?锦州)如图,抛物线y=ax+bx﹣3交y轴于点C,直线l为抛物线的对称轴,点P在第三象限且为抛物线的顶点.P到x轴的距离为,到y轴的距离为1.点C关于直线l的对称点为A,连接AC交直线l于B. 2

(1)求抛物线的表达式;

(2)直线

y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D,与y轴交于点F,连接BD交y轴于点E,且DE:BE=4:1.求直线

y=x+m的表达式;

(3)若N为平面直角坐标系内的点,在直线

y=x+m上是否存在点M,使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

12.(2012?河池)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系,抛物线y=﹣x+x+4经过A、B两点.

(1)写出点A、点B的坐标;

(2)若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移,分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P,连接PA、PB.设直线l移动的时间为t(0<t<4)秒,求四边形PBCA的面积S(面积单位)与t(秒)的函数关系式,并求出四边形PBCA的最大面积;

(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P,使得△PAM是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

2

13.(2012?恩施州)如图,已知抛物线y=﹣x+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.

(1)抛物线及直线AC的函数关系式;

(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;

(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,

F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;

(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值. 2

14.(2011?兰州)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax+bx+c经过点A、B和D2.

(1)求抛物线的解析式.

(2)如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同

2时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设S=PQ

2(cm)

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;

②当S取时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.

(3)在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大,求出点M的坐标.

15.(2011?北海)如图,抛物线y=ax+bx+4与x轴交于A(﹣2,0)、B(4、0)两点,与y轴交于C点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)T是抛物线对称轴上的一点,且△ATC是以AC为底的等腰三角形,求点T的坐标;

(3)M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行,当点M到原点时,点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动,当点M到达抛物线的对称轴时,两点停止运动,过点M的直线l

⊥x轴交AC或BC于点P.求点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式,并求出S的最大值. 2

16.(2011?巴彦淖尔)如图,直线y=x+3与坐标轴分别交于A,B两点,抛物线y=ax+bx﹣3a经过点A,B,顶点为C,连接CB并延长交x轴于点E

,点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称.

(1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标;

(2)求证:四边形ABCD是直角梯形. 2

17.如图,直线y=x+2与x轴交于点A、与y轴交于点D,以AD为腰,以x轴为底作等腰梯形ABCD(AB

2>CD),且等腰梯形的面积是8,二次函数y=ax+bx+c经过等腰梯形的四个顶点.

(1)求点A,B,C的坐标

(2)求抛物线的解析式;

(3)若点P为x轴上的一个动点,当点P运动到什么位置时,△ADP为等腰三角形,求这时点P的坐标;

(4)若点P为抛物线上的一个动点,是否存在点P使△ADP为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,简要地进行说明有几个,并至少求出其中的一个点坐标.

18.已知,如图二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与y轴交于点C(0,4)与x轴交于点A、B,点B(4,0),抛物线的对称轴为x=1.直线AD交抛物线于点D(2,m),

(1)求二次函数的解析式并写出D点坐标;

(2)点Q是线段AB上的一动点,过点Q作QE∥AD交BD于E,连结DQ,当△DQE的面积最大时,求点Q的坐标;

(3)抛物线与y轴交于点C,直线

AD与y轴交于点F,点M为抛物线对称轴上的动点,点N在x轴上,当四边形CMNF周长取最小值时,求出满足条件的点M和点N的坐标. 2

19.如图,二次函数的图象经过点D,与x轴交于A、B两点.

(1)求c的值;

(2)如图①,设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点,直线AC将四边形ABCD的面积二等分,试证明线段BD被直线AC平分,并求此时直线AC的函数解析式;

(3)设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点,试猜想:是否存在这样的点P、Q,使△AQP≌△ABP?如果存在,请举例验证你的猜想;如果不存在,请说明理由.(图②供选用)

20.如图,在平面直角坐标系中,Rt△AOB的顶点坐标分别为A(0,2),O(0,0),B(4,0),把△AOB绕点

2O逆时针方向旋转90°得到△COD(点A转到点C的位置),抛物线=ax+bx+c(a≠0)经过C、D、B三点.注:抛

物线的顶点坐标为

(﹣,)

(1)求抛物线的解析式;

(2)若抛物线的顶点为P,△PAB的面积;

(3)在抛物线上是否存在点M,使△MBC的面积等于△PAB的面积?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

21.已知:直线与y轴交于A,与x轴交于D,抛物线y=x+bx+c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、2

C两点,且B点坐标为 (1,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P是直线AE上一动点,当△PBC周长最小时,求点P坐标;

(3)动点Q在x轴上移动,当△QAE是直角三角形时,求点Q的坐标;

(4)在y轴上是否存在一点M,使得点M到C点的距离与到直线AD的距离恰好相等?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

22.如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣x+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设

CP=m,△CPQ的面积为S.

①求S关于m的函数表达式;

②当S

最大时,在抛物线y=﹣x+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符22

合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.

23.已知:如图,等腰梯形ABCD的边BC在x轴上,点A在y轴的正方向上,A(0,6),D(4,6),且AB=.

(1)求点B的坐标;

(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式;

(3)点C是不是也在(2)中的抛物线上,若在请证明,若不在请说明理由;

(4)在(2)中所求的抛物线上是否存在一点P,使得

请说明理由. ?若存在,请求出该点坐标,若不存在,

24.如图,直线y=﹣x+3与x轴,y轴分别交于B,C两点,抛物线y=﹣x+bx+c经过点B和点C,点A是抛物线与x轴的另一个交点.

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;

(2)若点Q在抛物线的对称轴上,能使△QAC的周长最小,请求出Q点的坐标; 2

(3)若直线l:y=kx(k≠0)与线段BC交于点D(不与点B,C重合),则是否存在这样的直线l,使得以B,O,D为顶点的三角形与△BAC相似?若存在,求出该直线的函数表达式及点D的坐标;若不存在,请说明理由.

25.如图,抛物线交x轴于点A(﹣2,0),点B(4,0),交y轴于点C

(0,4).

(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D的坐标;

(2)若直线y=x交抛物线于M,N两点,交抛物线的对称轴于点E,连接BC,EB,EC.试判断△EBC的形状,并加以证明;

(3)设P为直线MN上的动点,过P作PF∥ED交直线MN上方的抛物线于点F.问:在直线MN上是否存在点P,使得以P,E,D,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P及相应的点F的坐标;若不存在,请说明理由.

26.如图1,在平面直角坐标系中,直线l:

线沿x轴翻折后,与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物与y轴交于点D,与直线AB交于点E、点F(点F在点E的右侧).

(1)求直线AB的解析式;

(2)若线段DF∥x轴,求抛物线的解析式;

(3)如图2,在(2)的条件下,过F作FH⊥x轴于点G,与直线l交于点H,在抛物线上是否存在P、Q两点(点P在点Q的上方),PQ与AF交于点M,与FH交于点N,使得直线PQ既平分△AFH的周长,又平分△AFH面积,如果存在,求出P、Q的坐标,若不存在,请说明理由.

27.如图①,在Rt△AOB中,∠

AOB=90°,AB=5,cosA=.一动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OB方向匀速运动;另一动点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿BO方向匀速运动.两动点同时出发,当第一次相遇时即停止运动.在点P、Q运动的过程中,以PQ为一边作正方形PQMN,使正方形PQMN和△AOB在线段OB的同侧.设运动时间为t(单位:秒).

(1)求OA和OB的长度;

(2)在点P、Q运动的过程中,设正方形PQMN和△AOB重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围;

(3)如图②,现以△AOB的直角边OB为x轴,顶点O为原点建立平面直角坐标系xOy.取OB的中点C,将过点A、C、B的抛物线记为抛物线T.

①求抛物线T的函数解析式;

②设抛物线T的顶点为点D.在点P、Q运动的过程中,设正方形PQMN的对角线PM、QN交于点E,连接DE、DN.是否存在这样的t,使得△DEN是以EN、DE为两腰或以EN、DN为两腰的等腰三角形?若存在,请求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.

28.如图,已知(q≠0)与直线y=x交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=BO,BC∥x轴.

(1)求p和q的值;

(2)设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点(点E在点D的右上方),,过D作y轴的平行线,交抛物线于F.

①设点D的横坐标为t,△EDF的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;

②又过点E作y轴的平行线,交抛物线于G,试问能不能适当选择点D的位置,使四边形DFGE是平行四边形?如果能,求出此时点D的坐标;如果不能,请说明理由.

29.如图①,抛物线y=x+x﹣4与x轴的两个交点分别为A、B,与y轴的交点为C.

(1)请直接写出点A、B、C的坐标;

(2)如图①,点Q是函数y=x+x﹣4的图象在第三象限上的任一点,点Q的横坐标为m,设四边形AQCB的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并求出m这何值时,S有最大值,最大值是多少?

(3)抛物线y=x+x﹣4的对称轴上是否存在一点H,使△BCH的周长最小?若存在,请直接写出H点坐标;若不存在,请说明理由. 222

(4)如图②,若点E为线段BC的中点,EF垂直平分BC交x轴于点F(﹣3,0),点P是抛物线y=x+x﹣4对称轴上的一点,设P点的纵坐标为t,请直接写出∠PEC为钝角三角形时t的取值范2

围.

30.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax+bx+4经过点A(﹣1,0)、B(4,0),与y轴交于点C,直线y=x+2交y轴交于点D,交抛物线于E、F两点,点P为线段EF上一个动点(与E、F不重合),PQ∥y轴与抛物线交于点Q.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当P在什么位置时,四边形PDCQ为平行四边形?求出此时点P的坐标;

(3)是否存在点P使△POB为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 2

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