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2013华师网络学院数学建模在线作业题答案

发布时间:2013-12-12 11:29:56  

数学建模作业题

注意事项:

作业共十题,每题十分,全部是比较简单的建模计算题,题目既是课本上的习题,在课本304~315有参考解答,又是在线题库的题目,在题库里有更详细的解答。学员应该先自己动脑筋解决,然后才参考一下课本及题库的解答。

评分高低主要是看完成作业的态度、独立程度和表达清晰程度。

上传的作业必须是包括全部作业的单独一份word文档,必须自己录入,不允许扫描,不允许直接插入题库答案中的图片。严重违反者,不及格。

请于有效期结束前两周提交上传作业,教师尽快批改,请学员有效期结束前一周查看成绩,不及格的学员可以在课程答疑栏目提出或者课程论坛提出重交申请,教师删除原作业后,这些学员可以在有效期结束前之前重交作业。每人只有一次重交机会。

作业题与考试相关(当然不会一模一样),认真完成作业的学员,必将在考试取得好成绩。

一、教材76页第1章习题1第7题(来自高中数学课本的数学探究问题,满分10分) 表1.17是某地一年中10天的白昼时间(单位:小时),请选择合适的函数模型,并进行数据拟合.

1. 解:根据地理常识,某地的白昼时间是以一年为周期变化的,以日期在一

为自变量x,以白昼时间为因变量y,则根据表1.17的数据可知在一年(一个周期)内,

随着x的增加,y先增后减,y大约在6月21日(夏至)达到最大值,在12月21日(冬至)达到最小值,在3月21日(春分)或9月21日(秋分)达到中间值。选择正弦函数 y=Asin(

x—1.3712)+12.385 365

预测该地12月21日的白昼时间为5.49小时

二、教材100页第2章习题2第1题(满分10分)

继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例,请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗?“两秒准则”是否足够安全?对于安全车距,你有没有更好的建议?

2.解:“两秒准则”表明前后车距D与车速ν成正比例关系D=K2ν,其中K2=2s , 对于小型汽车,“一车长度准则”与“两秒准则”不一致。由d—D=ν[κ可以计算得到当ν<(K2—κ

1)/

—(K2—κ

1)]

κ

2=54

.428㎞/h时有d<D,“两秒准则”足够安全,

1

或者吧刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中,根据图形指出“两秒准则”足够安全的车速范围。

用最大刹车距离除以车速,得到最大刹车距离所需要的尾随时间,并以尾随时间为根据,提出更安全的准则,如“3秒准则”、“4秒准则”或“t秒准则”(如下图)。

t秒准则,刹车距离的模型和数据

三、教材100页第2章习题2第3题(满分10分)

继续考虑第2.3节“生猪出售时机”案例,做灵敏度分析,分别考虑农场每天投入的资金对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响.

解:(1)考虑每天投入的资金c发生的相对为△c/c,则生猪饲养的天数t发生的

相对变化△t/t是△c/c的多少倍,即定义t对c的灵敏度为

△t/tS(t,c)= 因为△c→0,所以重新定义t对c的灵敏度为 △c/c

△t/tdtcS(t,c)==×t ① △c/cdc

rp(0)-gω(0)-c ② 2gr

rp(0)-gω(0)c所以t=-2gr,所以t是c的减函数 2gr

为了使t﹥0,c应满足rp(0)-gω(0)-c>0

结合①② 由课本上可知t=

2

c3.2 = - = -2这个结果表rp(0)-gω(0)-c12-0.08×90-3.2

示的意思是如果农场每天投入的资金c增加1%,出售时间就应该提前2% 。

(2)同(1)理总收益Q对每天投入资金c的灵敏度为

dQcS(Q,c)= dc×Q ③

[rp(0)-gω(0)-c]2Qmax= ④ 4gr

结合③④得 可得S(t,c)= —

2×3.22cQmax=- =- =-4这结果表示的意rp(0)-gω(0)-c12-0.08×90-3.2

思是如果每天投入的资金c增加1%,那么最大利润就会减少4%

四、教材143页第3章习题3第2题(满分10分)

某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下,年平均增长率分别为1.68%、0.55%和-4.5%. 假设开始时有100只山猫,按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势:

(1) 三种自然环境下25年的变化过程,结果要列表并图示;

(2) 如果每年捕获3只,山猫数量将如何变化?会灭绝吗?如果每年只捕获1只呢?

(3) 在较差的自然环境下,如果要使山猫数量稳定在60只左右,每年要人工繁殖多少只?

①解记第k年山猫 xk,设自然坏境下的年平均增长率为r,则列式得

xk+1=(1+r)xk, k=0,1,2…

其解为等比数列

xk=x0(1+r)k, k=0,1,2…

当分别取r=0.0168 , 0.0055和-0.0450时,山猫的数量在25年内不同的环境下的数量演变为

3

年 较好 中等 较差 0 100 100 100 1 102 101 96 2 103 101 91 3 105 102 87 4 107 102 83 5 109 103 79 6 111 103 76 7 112 104 72 8 114 9 116 10 118 11 120 12 122 13 124 14 126 15 128 16 131 17 133 18 135 19 137 20 140 21 142 22 144 23 147 24 149

25 152 104 69 105 66 106 63 106 60 107 58 107 55 108 52 109 50 109 48 110 46 110 44 111 42 112 40 112 38 113 36 113 35 114 33 115 32

4

从上可以得出结论:

(1) 在较好的自然环境下即r=0.0168时,xk单调增趋于无穷大,山猫的数量将

无限增长;

(2)

(3) 在中等的自然环境下即r=0.0055时,xk单调增并且趋于稳定值; 在较差的环境中即r=-0.0450时,xk单调衰减趋于0,山猫将濒临灭绝。 ②若每年捕获3只,b=-3,则列式为

Xk+1=(1+r)xk-b

5

则山猫在25年内的演变为

年 较好 中等 较差 0 100 100 100 1 99 98 93 2 97 95 85 3 96 93 78 4 95 90 72 5 93 88 66 6 92

7 90

8 89

9 87

10 86

11 84

12 83

13 81

14 79

15 78

16 76

17 74

18 73

19 71

20 69

21 67

22 65

23 63

24 61

25 59 85 60 83 54 80 49 77 43 75 39 72 34 70 29 67 25 64 21 62 17 59 13 56 10 54 6 51 3 48 0 46 -3 43 -6 40 -9 37 -11 35 -14

6

由图上可知,无论在什么环境下,如果每年捕获山猫3只,单调减趋于0,那么最终山猫的数量都会灭绝,在较差的环境中第20年就会灭绝。

同理,如果每年人工捕获山猫1只,那么山猫在不同环境中的演变为

7

年 较好 中等 较差 0 100 100 100 1 101 100 95 2 101 99 89 3 102 99 84 4 103 98 79 5 104 98 75 6 104 97 70 7 105 97 66 8 106

9 107

10 107

11 108

12 109

13 110

14 111

15 111

16 112

17 113

18 114

19 115

20 116

21 117

22 118

23 119

24 120

25 121 96 62 96 59 95 55 95 51 94 48 94 45 93 42 93 39 92 36 92 34 92 31 91 29 91 26 90 24 90 22 89 20 88 18 88 16

8

如果每年人工捕获山猫一只,在较好的环境下山猫的数量仍然会一直增加,在中等的环境下,山猫的数量趋于稳定,但会慢慢减少,在较差的环境下,山猫的数量一直在减少,很快就会灭绝。

③若要使山猫的数量稳定在60只左右,设每年需要人工繁殖b只,到第k年山猫的数量为xk=(1+r)xk-1+b, k=0,1,2…

这时 xk= xk-1 =60,r=-4.5%,代入上式得b≈3

五、教材143页第3章习题3第4题(满分10分)

某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金,学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行,第二年一到期就支取,取出一部分作为当年的奖学金,剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行??请你研究这个问题,并向学院领导写一份报告.

解:记存款的年利息为r ,由于一开始存入银行的本金为x0,第k 年存入银行的钱为Xk,并且每年取出当奖金的钱为b,则它们之间存在的关系有:

每年利息=本年存入款项??年利息

每年取出款项=上一年存入款项+每年利息

9

每年存入款项=每年取出款项??奖金 列式得:

由上式解得

由实际情况,已知x0 =20(万元),r在近10多年的变化幅度在2%~4%之间,我们取3个值,分别为2%,3%,4%,

(1) 当年利率为2%时,每年存入款项随奖金数变化如下 年数\奖金数额 2千元 4千元 6千元

0 20.0000 20.0000 20.0000

1.0000 20.2000 20.0000 19.8000

2.0000 20.4040 20.0000 19.5960

3.0000 20.6121 20.0000 19.3879

4.0000 20.8243 20.0000 19.1757

5.0000 21.0408 20.0000 18.9592

6.0000 21.2616 20.0000 18.7384

7.0000 21.4869 20.0000 18.5131

8.0000 21.7166 20.0000 18.2834

9.0000 21.9509 20.0000 18.0491

10.0000 22.1899 20.0000 17.8101

11.0000 22.4337 20.0000 17.5663

12.0000 22.6824 20.0000 17.3176

13.0000 22.9361 20.0000 17.0639

14.0000 23.1948 20.0000 16.8052

15.0000 23.4587 20.0000 16.5413

16.0000 23.7279 20.0000 16.2721

17.0000 24.0024 20.0000 15.9976

18.0000 24.2825 20.0000 15.7175

19.0000 24.5681 20.0000 15.4319

20.0000 24.8595 20.0000 15.1405

21.0000 25.1567 20.0000 14.8433

22.0000 25.4598 20.0000 14.5402

23.0000 25.7690 20.0000 14.2310

24.0000 26.0844 20.0000 13.9156

25.0000 26.4061 20.0000 13.5939

26.0000 26.7342 20.0000 13.2658

10

27.0000 27.0689 20.0000 12.9311

28.0000 27.4102 20.0000 12.5898

29.0000 27.7584 20.0000 12.2416

30.0000 28.1136 20.0000 11.8864

①当年利率为2%,学金定为4千元时,因为0?r?1,x0?0, 经验算得知xk?x0?因此存款的数额将趋于稳定.

②当年利率为2%,奖学金的数额大于4 千元时,xk单调递减并且将在某一年变为零.同理,当奖学金的数额小于4 千元时,存款的数额将会无限增长. b,r

(2) 当年利率为3%时,每年存入款项随奖金数变化如下 年数\奖金数额 4千元 6千元 8千元

0 20.0000 20.0000 20.0000

1.0000 20.2000 20.0000 19.8000

2.0000 20.4060 20.0000 19.5940

3.0000 20.6182 20.0000 19.3818

4.0000 20.8367 20.0000 19.1633

5.0000 21.0618 20.0000 18.9382

6.0000 21.2937 20.0000 18.7063

7.0000 21.5325 20.0000 18.4675

8.0000 21.7785 20.0000 18.2215

9.0000 22.0318 20.0000 17.9682

10.0000 22.2928 20.0000 17.7072

11.0000 22.5616 20.0000 17.4384

12.0000 22.8384 20.0000 17.1616

11

13.0000 23.1236 20.0000 16.8764

14.0000 23.4173 20.0000 16.5827

15.0000 23.7198 20.0000 16.2802

16.0000 24.0314 20.0000 15.9686

17.0000 24.3523 20.0000 15.6477

18.0000 24.6829 20.0000 15.3171

19.0000 25.0234 20.0000 14.9766

20.0000 25.3741 20.0000 14.6259

21.0000 25.7353 20.0000 14.2647

22.0000 26.1074 20.0000 13.8926

23.0000 26.4906 20.0000 13.5094

24.0000 26.8853 20.0000 13.1147

25.0000 27.2919 20.0000 12.7081

26.0000 27.7106 20.0000 12.2894

27.0000 28.1419 20.0000 11.8581

28.0000 28.5862 20.0000 11.4138

29.0000 29.0438 20.0000 10.9562

30.0000 29.5151 20.0000

10.4849

①年利率为3%,学金定为6千元时,因为0?r?1,x0?0, 经验算得知xk?x0?此存款的数额将趋于稳定. b,因r

② 当年利率为3%,奖学金的数额大于6 千元时,xk单调递减并且将在某一年变为零.同理,当奖学金的数额小于6 千元时,存款的数额将会无限增长. 12

(3) 当年利率为4%时,每年存入款项随奖金数变化如下 年数\奖金数额 6千元 8千元 1万元

0 20.0000 20.0000 20.0000

1.0000 20.2000 20.0000 19.8000

2.0000 20.4080 20.0000 19.5920

3.0000 20.6243 20.0000 19.3757

4.0000 20.8493 20.0000 19.1507

5.0000 21.0833 20.0000 18.9167

6.0000 21.3266

7.0000 21.5797

8.0000 21.8428

9.0000 22.1166

10.0000 22.4012

11.0000 22.6973

12.0000 23.0052

13.0000 23.3254

14.0000 23.6584

15.0000 24.0047

16.0000 24.3649

17.0000 24.7395

18.0000 25.1291

19.0000 25.5342

20.0000 25.9556

21.0000 26.3938

22.0000 26.8496

23.0000 27.3236

24.0000 27.8165

25.0000 28.3292

26.0000 28.8623

27.0000 29.4168

28.0000 29.9935

29.0000 30.5933

30.0000 31.2170

20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 18.6734 18.4203 18.1572 17.8834 17.5988 17.3027 16.9948 16.6746 16.3416 15.9953 15.6351 15.2605 14.8709 14.4658 14.0444 13.6062 13.1504 12.6764 12.1835 11.6708 11.1377 10.5832 10.0065 9.4067 8.7830 13

①年利率为4%,学金定为8千元时,因为0?r?1,x0?0, 经验算得知xk?x0?此存款的数额将趋于稳定. b,因r

② 当年利率为4%,奖学金的数额大于8 千元时,xk单调递减并且将在某一年变为零.同理,当奖学金的数额小于8 千元时,存款的数额将会无限增长.

六、教材143页第3章习题3第5题(满分10分)

有一位老人60岁时将养老金10万元以整存零取方式(指本金一次存入,分次支取本金的一种储蓄)存入,从第一个月开始每月支取1000元,银行每月初按月利率0.3%把上月结余额孳生的利息自动存入养老金. 请你计算老人多少岁时将把养老金用完?如果想用到80岁,问60岁时应存入多少钱?

解:记养老金第k月末的银行账户余额为xk元,则列式为

xk+1=(1+r)xk-b

根据一阶线性常系数非齐次差分方程得

bbxk=(x0+r)(1+r)k-r k=0,1,2,3……

由题目可知x0=100000,b=1000元,r=0.003,所以账户余额的变化如下

14

月份 余额 0 10.0000 1.0000 9.9300 2.0000 9.8598 3.0000 9.7894 4.0000 9.7187 5.0000 9.6479 6.0000 9.5768 7.0000 9.5056 8.0000 9.4341 9.0000 9.3624 10.0000 9.2905 11.0000 9.2183 12.0000 9.1460 13.0000 9.0734 14.0000 9.0007 15.0000 8.9277 16.0000 8.8544 17.0000 8.7810 18.0000 8.7074 19.0000 8.6335 20.0000 8.5594 21.0000 8.4851 22.0000 8.4105 23.0000 8.3357 24.0000 8.2607 25.0000 8.1855 26.0000 8.1101 27.0000 8.0344 28.0000 7.9585 29.0000 7.8824 30.0000 7.8060 31.0000 7.7295 32.0000 7.6526 33.0000 7.5756 34.0000 7.4983 35.0000 7.4208 36.0000 7.3431 37.0000 7.2651 38.0000 7.1869 39.0000 7.1085 40.0000 7.0298 41.0000 6.9509 42.0000 6.8717 15

43.0000 6.7924 44.0000 6.7127 45.0000 6.6329 46.0000 6.5528 47.0000 6.4724 48.0000 6.3918 49.0000 6.3110 50.0000 6.2300 51.0000 6.1486 52.0000 6.0671 53.0000 5.9853 54.0000 5.9032 55.0000 5.8210 56.0000 5.7384 57.0000 5.6556 58.0000 5.5726 59.0000 5.4893 60.0000 5.4058 61.0000 5.3220 62.0000 5.2380 63.0000 5.1537 64.0000 5.0691 65.0000 4.9844 66.0000 4.8993 67.0000 4.8140 68.0000 4.7284 69.0000 4.6426 70.0000 4.5566 71.0000 4.4702 72.0000 4.3836 73.0000 4.2968 74.0000 4.2097 75.0000 4.1223 76.0000 4.0347 77.0000 3.9468 78.0000 3.8586 79.0000 3.7702 80.0000 3.6815 81.0000 3.5926 82.0000 3.5033 83.0000 3.4138 84.0000 3.3241 85.0000 3.2341 86.0000 3.1438 16

87.0000 3.0532 88.0000 2.9623 89.0000 2.8712 90.0000 2.7798 91.0000 2.6882 92.0000 2.5963 93.0000 2.5040 94.0000 2.4116 95.0000 2.3188 96.0000 2.2257 97.0000 2.1324 98.0000 2.0388 99.0000 1.9449 100.0000 1.8508 101.0000 1.7563 102.0000 1.6616 103.0000 1.5666 104.0000 1.4713 105.0000 1.3757 106.0000 1.2798 107.0000 1.1837 108.0000 1.0872 109.0000 0.9905 110.0000 0.8934 111.0000 0.7961 112.0000 0.6985 113.0000 0.6006 114.0000 0.5024 115.0000 0.4039 116.0000 0.3051 117.0000 0.2060 118.0000 0.1067 119.0000 0.0070 120.0000 -0.0930 121.0000 -0.1933 122.0000 -0.2939 123.0000 -0.3947 124.0000 -0.4959 125.0000 -0.5974 17

由表中和图中可知,到第119个月账户余额为70元,到了第120个月就没有余额了。也就是10年后就没有了,若想用20年也就是240个月,则账户应存x0,此时有

bbXk=(x0r )(1+r)kr

把k=240,r=0.003带入上式得

10001000X240=(x0+ )(1+0.003)240-=0得x0=170908元 0.0030.003

所以老人应该存入170908元才能用到80岁。

七、教材302页第7章习题7第1题(满分10分)

对于不允许缺货的确定性静态库存模型,做灵敏度分析,讨论参数p1、p2和r的微小

变化对最优订货策略的影响.

解:(1)考虑每次订货的固定费用p1发生的相对为△p1/ p1,则最优订货周期 ΔT*发生的相对变化ΔT*/T*是△p1/ p1的多少倍,即定义p1对T*的灵敏度为

△T*/T*S(T*,p1)= 因为△p1→0,所以重新定义p1对T*的灵敏度为 Δp1/p1

dT*p1S(T*,p1)dp1 ×T* ①

2p1由课本上可知T*=(p2r)0.5 ②

Q*=r T* ③

②中对p1求导式和②式代入①得

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S(T*,p1)=0.5

同理得

S(Q*,p1)=0.5

S(T*,p2)=-0.5

S(Q*,p2)=-0.5

S(T*,r)=-0.5

S(Q*,r)=0.5

八、教材302页第7章习题7第2题(满分10分)

习题7第2题. 某配件厂为装配线生产若干种部件. 每次轮换生产不同的部件时,因更换设备要付生产准备费(与生产数量无关). 同一部件的产量大于需求时,因积压资金、占用仓库要付库存费. 今已知某一部件的日需求量100件,生产准备费5000元,库存费每日每件1元. 如果生产能力远大于需求,并且不允许出现缺货,请制定最优生产计划.

解:由EOQ公式计算得:

T

Q*?????10

?1000 *

所以,最优生产周期为10天,每次生产1000件。

19

九、教材303页第7章习题7第3题(满分10分)

某商场把销售所剩的空纸皮箱压缩并打成包准备回收,每天能产生5包,在商场后院存放的费用是每包每天10元. 另一家公司负责将这些纸包运送到回收站,要收取固定费用1000元租装卸车,外加运输费每包100元. 请制定运送纸包到回收站的最优策略.

解:由公式计算得:

T

T**????6?6 **1?**

1Q0

Q

**?rT?rT???5?6?30****?5?6?30所以,最优运货日期为6天,运货量为30包,即每6天运30包到回收站。

十、教材303页第7章习题7第4题(满分10分)

某旅馆把毛巾送到外面的清洗店去洗. 旅馆每天有600条脏毛巾要洗,清洗店定期上门来收取这些脏毛巾,并换成洗好的干净毛巾. 清洗店清洗毛巾的标准收费每条2元,但是如果旅馆一次给清洗店至少2500条毛巾,清洗店清洗毛巾的收费为每条1.9元. 清洗店每一次取送服务都要收取上门费250元. 旅馆存放脏毛巾的费用是每天每条0.1元. 旅店应该如何使用的清洗店的取送服务呢?

10、解:由题意得p1=250 ,p2=60 ,r=600 很明显,这时属于不允许缺货的模型,所以每单位时间的总费用

p1p2rT C=p0r + T+2 ①

当且仅当T=T*是C取得极值的必要条件

C'(T*)=-( p1/T*2)+(p2r/2)=0

5√3 ≈2.883 3 解得T*=

p1p2rT 即是C=p0r + T +2 在(0 , 2.883)内单调递减,在(2.883 ,+∞)内递增,

考虑到T*=1,2,3,4……

又因为当最优订货量Q*﹤2500时,p0=2 , 当Q*≥2500时,p0=1.9 ,

我们把p1=250 ,p2=60 ,r=600 ,T*=2,3,4 ,5,6 代入①式分别得

20

1340元,达到最小值

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