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二次函数抛物线和运动

发布时间:2013-12-12 12:28:24  

二次函数---运动中的抛物线

一、跳绳运动中的二次函数

例1 你知道吗?平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图1所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5m,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如图所示)( ) A.1.5m B.1.625m C.1.66m D.1.67m

2 解:设函数表达式为y=Ax+Bx+C,易知图像经过点(—1,1),(0,1.5),(3,1),

可得

A—B+C=1,A= —1/6,

C=1.5, 解得B=1/3,

9A+3B+C=1. C=1.5.

所以函数表达式为y= —

答案:B.

二、以投掷“铅球”为背景渗透的二次函数问题

例2、(济南)小明代表班级参加校运动会的铅球项目,他想:“怎样才能将铅球推得更远呢?”于是找来小刚作了如下探索:小明手持铅球在控制每次推出时用力相同的条件下,分别沿与水平线成30°,45°,60°方向推了三次.铅球推出后沿抛物线形运动,如图,小明推铅球时的出手点距离地面2m,以铅球出手点所在竖直方向为y轴,以地平线为x轴建立直角坐标系,分别得到的有关数据如下表:

1

1213x+x+.当x=1.5时,y=1.625. 632

(1)请你求出表格中两横线上的数据,写出计算过程,并将结果填入表格中的横线上; (2)请根据以上数据,对如何将铅球推得更远提出你的建议.

(1)a=-0.1,欲求铅球落点到小明站立处的水平距离,即求当y2=0时与x轴交点的横坐标.因而有-0.1(x-4)+3.6=0,解之得x1=-2,(舍去)x2=10,所以铅球落点到小明站立处的水平距离为10米.

例3一男生在校运会的比赛中推铅球,铅球的行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系用如图2所示的二次函数图象表示.(铅球从A点被推出,实线部分表示铅球所经过的路线)

⑴由已知图象上的三点,求y与x之间的函数关系式. ⑵求出铅球被推出的距离.

⑶若铅球到达的最大高度的位置为点B,落地点为C,求四边形OABC的面积.

解:⑴设y=Ax+Bx+C,已知图象经过(—2,0),(0,得A= —

2

2

58

),(2,)三点,由此可求33

1251225

,B=,C=,所以y= —x+x+. 12331233

1225

⑵令y=0,即—x+x+=0,解得x1=10,x2= —2(不合题意,舍去).所以铅球被

1233

2

推出的距离是10米.

1122(x—8x—20)= —(x—4)+3,所以B(4,1212

15113);由⑵得C(10,0).所以S四边形OABC= S梯形OABD +S△BDC=×(+3)×4+×6×3=18. 2323 ⑶作BD⊥OC,D为垂足.因为y= —

三、篮球比赛中的二次函数

例4某学校初三年级的一场篮球比赛中,队员甲正在投篮,已知球出手时离地面高20

9

米,与篮圈中心的水平距离为7米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行轨迹为抛物线,篮圈距地面3米.

⑴建立如图2的平面直角坐标系,问此球能否准确投中?

⑵此时,若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3.1米,那么他能否获得成功?

(3)若该队员身高1.7米,球出手时距头顶0.3米,那么他需要跳起多高才能投中?(结果保留一位有效数字)

解:⑴由条件可得到球出手点、最高点、和篮圈的坐标分别为A(0,20),B(4,4),9

1(x—4)9C(7,3),其中B是抛物线的顶点. 设二次函数解析式为y=A(x—h)+k,将点A、B的坐标代入,可得y= —

22+4.

将点C的坐标代入上式,得左边=右边,即点C在抛物线上.所以此球一定能投中. ⑵将x=1代入函数式,得y=3.因为3.1>3,所以盖帽能获得成功.

3

四.铅球与二次函数

例5某同学推铅球时,铅球行进的路线是抛物线.已知铅球出手时距离地面的高度是1.4米,铅球行进1.5米后到达最高点,此时距离地面2米,问铅球从出手到落地行进的距离是多少米?(结果保留根号)

图3

B

解:依题意,铅球行进的路线是如图3所示的抛物线A-B-C这一部分(A为铅球出手时位置,

B为铅球行进中的最高点,C为铅球落地时的位置).以地面为x轴,过点A垂直于x轴的直

线为y轴建立直角坐标系,则抛物线经过点A(0,1.4),顶点为(1.5,2),其解析式为

y=a(x-1.5)2+2.

把x=0,y=1.4代入得,1.4=2.2a+2.解得a=-

442

.故y=-(x-1.5)+2.

1515

由y=0,得x

.所以C

0).OC

). 2、丁丁推铅球的出手高度为1.6m,铅球飞行的线路符合抛物线

y??0.1(x?k)2?2.5,在如图所示的直角坐标系中,求铅球的落点与丁丁的距离.

,在抛物线y??0.1(x?k)?2.5上, 解:由题意知,点(016)

所以1.6??0.1(0?k

2

2

.解这个方程,得k?3或)?2.5

2

k??3(舍去).

所以,该抛物线的解析式为y??0.1(x?3)?2.5.

2

当y?0时,有?0.1(x?3)?2.5?0,解得x1?8,x2??2

(第2题图)

(舍去).

所以,铅球的落点与丁丁的距离为8m.

4

五、以“足球”为背景二次函数应用问题

例6、如图,足球场上守门员在O处开一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B出发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面4米高,球落地后又一次弹起.据实验,足球在草坪上弹起后

的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减

少到原来最大高度的一半.

(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线

的表达式;

(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取4=7)

(3)运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米?(取2=5)

解:(1)由题意知足球开始飞出到第一次落地抛物线顶点坐标为(6,4),故可设相应抛物线的解析式为y=a(x-6)+4,又开出点A(0,1)在抛物线上,故有36a+4=1,解之,得a=-2x(米) 112,故抛物线的解析式为y=-x+x+1, 1212

(2)欲求足球落地点到守门员C的水平距离,即求当y=0时与x轴交点的横坐标.因而有-12x+x+1=0,解之得x1=6-4,(舍去)x2=6+43,所以足球第一次落地点C距守12

门员6+4≈13米.

(3)因为足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,故可设抛物线的解析式为y=-12(x-k)+2又点(6+43,0)在抛物线上,所以k=6+43+26,根据抛12

物线的对称性,运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑CD=2×(6+4+2-6-4)=46≈10米.

例7 为了备战世界杯,中国足球队在某次训练中,一队员距离门12米处挑射,正好射中了2.4米高的球门横梁,若足球运动的路线是抛物线y=ax2+bx+c,如图所示,则下列结论⑴a<-11;⑵-<a<0;⑶6060a-b+c>0;⑷0<b<-12a,其中正确的是( ) A.⑴⑶ B.⑴⑷ C.⑵⑶ D.⑵⑷

5

解:把点(0,2.4)、(12,0)代入解析式得c=2.4,b=-12a-0.2.

故b<-12a.

b>0,故b>0.即0<b<-12a, 2a

1 因此⑷正确.又因144a+12b=-2.4且b>0,故144a<-2.4.因此a<-,因此⑴正60 又抛物线开口向下,故a<0.且对称轴x=-

确.

因此,应选B.

六、以“羽毛球”为背景二次函数应用问题

例8、甲、乙两人进行羽毛球比赛,甲发出一枚十分关键的球,出手点为P,羽毛球飞行的水平距离s(米)与其地面高度h(米)之间的关系式为h=?AB距原点5米,乙(用线段CD表示)扣球的最大高度为1223s+s+如图,已知球网12329米,设乙的起跳点C的横坐标为m,若乙原地起4跳,因球的高度高于乙球扣球的最大高度而导致接球

失误,则m的取值范围是_____.

分析:此题是以“羽毛球”为载体创设的二次函数

的应用问题,本题已告诉了羽毛球飞行的水平距离s(米)

与其地面高度h(米)之间的关系式为米) 12239s+s+,我们不妨先求出当乙扣球的最大高度为米刚刚触及羽毛球时,乙对应12324

12239的横坐标值. 列方程得?m+m+=,解得m1=4?7,m2=4?7,根据二次函数12324

1223h=?m+m+在对称轴m=4的右侧h随m得增大而减小,又“球的高度高于乙球扣球1232h=?的最大高度” 所以m<4?7,另一方面乙站在球网的右则因而m> 5故m的取值范围为5<m<4?7

七、跳水中的二次函数

某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是经过原点O的一条抛物线。在跳某规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面32/3

6

米,入水处距池边的距离为4米,同时,运动员在距水面高度为5米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误。

(1)求这条抛物线的解式;

(2)在某次试跳中,测得运动员在空中运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为18/5米,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由。

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