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二次函数及图像

发布时间:2013-12-12 12:28:26  

英才学校九年级数学组 主备人:刘老师

26.1.1二次函数

学习目标:

1.结合具体情境体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 一、预习导学

1、阅读教材P2-3,自学“思考”,理解二次函数的概念及意义. 2、自学反馈

①一般地,形如_______(a,b,c是常数,且a≠0)的函数叫做二次函数,其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为________.

②现在我们已学过的函数有___________、___________、___________,它们的表达式分别是______________、________________、_________________.. ③下列函数中,不是二次函数的是( ) A.y=1-2x2 B.y=(x-1)2-1 C.y=

1

2

(x+1)(x-1) D.y=(x-2)2-x2

④二次函数y=x2+4x中,二次项系数是______,一次项系数是______,常数项是______.

⑤一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与半径r之间的关系式_______________.

⑥n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.

_____________________. 二、合作交流 活动1 小组讨论

例1 若y=(b-1)x2+3是二次函数,则b____________

例2 一个正方形的边长是12cm,若从中挖去一个长为2xcm,宽为(x+1)cm的小长方形,剩余部分的面积为ycm2.

①写出y与x之间的关系表达式,并指出y是x的什么函数?

②当小长方形中x的值为2,4时,相应的剩余部分的面积是什么?

例3,、.已知,函数y=(m+1)x

m

2

?3m?2

+(m-1)x(m是常数).

①m为何值时,它是二次函数?②m为何值时,它是一次函数?

活动2 跟踪训练 1.如果函数y=(k+2)xk2?2

是y关于x的二次函数,则k的值为多少?

2.设y=y1

1-y2,若y1与x2成正比例,y2与

x

成反比例,则y与x的函数关系是( ) A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.反比例函数 3.有一个人患流感,经过两轮传染后共有y人患了流感,每轮传染中,平均一个人传染了x人,则y与x之间的函数关系式为_______________. 4.如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设AB边长为x米,则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数关系式为___________________(不要求写出自变量x的取值范围)

.

5、下列四个函数中,一定是二次函数的是( )

6、如图,在矩形ABCD中,AB=2cm,BC=4cm,P是BC上的一动点,动点Q仅在PC或其延长线上,且BP=PQ,以PQ为一边作正方形PQRS,点P从B点开始沿射线BC方向运动,设BP=xcm,正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为ycm2,试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时,y与x之间的函数关系式

.

英才学校九年级数学组 主备人:刘老师

26.1.2 二次函数y=ax2的图象

学习目标

1.能够用描点法作出函数y=ax2的图象,并能根据图象认识和理解其性质. 2.初步建立二次函数表达式与图象之间的联系,体会数形的结合与转化,体会数学内在的美感. 一、预习导学

阅读教材P4-6,自学“例1”、“思考”、“探究”,掌握用描点法画出函数y=ax2的图象,理解其性质.

自学反馈

①画函数图象的一般步骤:_________-__________-___________. ②在同一坐标系中画出函数y=x2、y=

12

x2

和y=2x2的图象.

取点.

③观察上述图象的特征:形状是_________,开口________,图象关于__________对称,其顶点坐标是_________,其顶点是________(最高点或最低点).

④找出上述三条抛物线的异同:___________________________________________ 点拨:研究二次函数的图像可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律.

⑤在同一坐标系中画出函数y=-x2、y=?

1x2

和y=-2x22

,并找出它们图象的异同. 归纳 一般地,抛物线y=ax2的对称轴是_______轴,顶点是_________,当a>0时,抛物线的开口_________,顶点是抛物线的最____点,a越大,抛物线的开口越_________;当a<0时,抛物线的开口向_______,顶点是抛物线的最________点,a越大,抛物线的开口越______. 二、知识运用 活动1 小组讨论

例1 填空:①函数y=(-2x)2的图象是________,顶点坐标是__________,对称轴是_________,开口方向是_________.

例2 已知函数y=(m+2)x

m2?m?4

是关于x的二次函数.

①求满足条件的m的值; ②m为何值时,抛物线有最低点?求这个最低点;当x为何值时,y随x的增大而增大? ③m为何值时,函数有最大值?最大值为多少?当x为何值时,y随x的增大而减小?

活动2 跟踪训练

1.函数y=ax2与y=-ax2(a≠0)的图象之间有何关系?

2.已知函数y=ax2经过点(1,2).①求a的值;②当x<0时,y的值随x值的增大而变化的情况.

3.当m=______时,抛物线y=(m-1)x

m2?m

开口向下,对称轴为_______,当x<0时,

y随x的增大而_________;当x>0时,y随x的增大而___________. 4.二次函数y=-2x2,当x1>x2>0,则y1与y2的关系是_____________.

5.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )

英才学校九年级数学组 主备人:刘老师

26.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象

第1课时

学习目标

1.会作函数y=ax2和y=ax2+c的图象,并能比较它们的异同;理解a、c对二次函数图象的影响,能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 2.了解抛物线y=ax2上下平移规律. 一、预习导学

阅读教材P6-7,自学“例2”及两个“思考”,理解y=ax2+c中a、c对二次函数图象的影响.

自学反馈 学生独立完成后集体订正 ①在抛物线y=x2-4上的一个点是( )

A.(4,4) B.(1,-4) C.(2,0) D.(0,4)

②抛物线y=x2-4与x轴交于B、C两点,顶点为A,则△ABC的周长为______. ③画出二次函数y=x2-1、y=x2和y=x2+1的图象,并观察图象有哪些异同?

二//、合作探究 活动1 小组讨论

例1 抛物线y=ax2与y=ax2±c(c>0)有什么关系?

解:①抛物线y=ax2±c的形状与y=ax2的形状_________________

②抛物线y=ax2向_____平移_______个单位y=ax2+c,抛物线y=ax2向___平移___个单位y=ax2-c.

例2 抛物线y=ax2+c与y=-5x2的形状大小,开口方向都相同,且其顶点坐标是(0,3),则其表达式为y=-5x2向_____平移________个单位得到的.

点拨:①解这类题,必须根据二次函数y=ax2+c的图象与性质来解,a值确定抛物线的形状大小及开口方向,c值确定顶点的位置.

②抛物线平移多少个单位,主要看两顶点坐标,确定两顶点相隔的距离,从而确

定平移的方向与单位长.(有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离,从而确定平移的方向与单位长)

例3 已知抛物线y=ax2+c向下平移2个单位后,所得抛物线为y=-3x2+2,试求a、c的值.

活动2 跟踪训练

1.若二次函数y=ax2+c,当x取x1、x2(x1≠x2)时函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为( )

A.a+c B.a-c C.-c D.c

2、 函数y=ax2-a与y=ax-a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )

3、二次函数的图象如图所示,则它的解析式为( ) A.y=x2-4 B.y=4-x2 C.y=

34(4-x2) D.y=3

4

(x2-4) 4.二次函数y=-2x2+6图象的对称轴是________,顶点坐标是________,当x________,

y随x的增大而增大.

5.将抛物线y=3x2-4绕顶点旋转180°,所得抛物线的解析式为_________. 6.已知函数y=ax2+c的图象与函数y=-3x2-2的图象关于x轴对称,则a=_____,c=______. 7.如图,抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C. ①求A、B、C三点的坐标;

②过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.

英才学校九年级数学组 主备人:刘老师

第2课时

学习目标

1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤,会作函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象.

2.能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 3.掌握抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律. 一、预习导学

阅读教材P7-8,自学“探究”与“思考”,掌握y=a(x-h)2与y=ax2之间的关系,理解并掌握y=a(x-h)2的相关性质.

自学反馈 学生独立完成后集体订正

①抛物线y=ax2向( )平移( )个单位y=a(x+h)2(h>0), 抛物线y=ax2向( )平移( )个单位y=a(x-h)2(h>0). ②画函数y=-122x、y=-12(x+1)2和y=-1

2

(x-1)2的图象,观察后两个函数图象与抛物线y=-

12

x2

有何关系?它们的对称轴、顶点坐标分别是什么?(观察图象移动过程,要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况.)

③二次函数y=a(x-h)2的顶点坐标为______,对称轴为直线_______;

④抛物线y=ax2向______平移______个单位,即为抛物线y=a(x+h)2(h>0);抛物线y=ax2向_______平移________个单位,即为抛物线y=a(x-h)2(h>0).(注意y=a(x-h)2中h是非负数.)

⑤抛物线y=-1

2

(x-1)2的开口向____,顶点坐标是_____,对称轴是______,通过向______平移_______个单位后,得到抛物线y=-1

2

x2.

二、合作探究 活动1 小组讨论

例1 在直角坐标系中画出函数y=

1

(x+3)22

的图象. ①指出函数图象的对称轴和顶点坐标;

②根据图象回答:当x取何值时,y随x的增大而减小?当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y取最大值或最小值? ③怎样平移函数y=

12x2的图象得到函数y=1

2

(x+3)2的图象?

点拨:二次函数的增减性以对称轴为分界,画图象取点时以顶点为分界对称取点. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1.不画图象,回答下列问题.

①函数y=2(x+1)2的图象可以看成是由函数y=2x2的图象作怎样的平移得到的? ②说出函数y=2(x+1)2的图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. ③函数y=2(x+1)2有哪些性质?(性质从增减性、最值来说.)

④若将函数y=2(x+1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象?

2.与抛物线y=2(x+1)2顶点相同,形状也相同,而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是___________.

3、二次函数y?2x2

?1和y?2(x?1)2

,以下说法:①它们的图象都是开口向上;②它们的对称轴都是y轴,顶点坐标都是(0,0);③当x?0时,它们的函数值y都是随x的增大而增大;④它们的开口的大小一样的。其中正确的说法有( )个。 A、1 B、2 C、3 D、4

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