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17.1.2反比例函数图象和性质

发布时间:2013-12-12 14:34:01  

17.1.2

反比例函数的

图象和性质

下面是k取1、2、3、4的反比例函数图像
◆图象是两支曲线,分别在一、三象限内
y y

6 5 4 3 2 1 O
-4 -3 -2 -1 -1 0
-2 -3 -4 -5 -6

2 y? x

1 y? x
2 3 4

·1

6 5 4 3 2 1 O x
-4 -3 -2 -1 -1 0
-2

3 y? x

·1

2 3 4

x

4 y? x

-3 -4

-5
-6

认真观察
x
y= 6 x … -6 … -5 -4

6 y ? 的图象 x
-3 -2 -1 -6 1 6 2 3 3 2
y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 1 2 3 4 5 6

4

5

6 1

… …

-1 -1.2 -1.5 -2 -3

1.5 1.2

◆图象由两条曲线组 成,叫做双曲线, ◆只要k取正值,图 象都位于第一、三象 限内

6 y? x
x

6 观察y ? 的图象 x
1、在每一个象限内
y

发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化?
2、在整个自变量的取值范围内
y

如图xB< xA 但yB< yA xB
-6 -5 -4 -3 -2 -1

6 5 4 3 2

6 y? x

比较: 1.当自变量为-3,-2, -1时,函数值的大小?

· A
0 1

1

-1

xA

2

3

4

5

6

x

2.当自变量为1,2,3时 ,函数值的大小?
思考:你发现了什么?

B

·

-2 -3

-4
-5 -6

3.你能利用你的发现来比较 :当自变量为-3,2时,函 数值的大小吗?

k 当k ? 0时y ? 的图象又会怎样?如k ? ?2、 3 ? x 当K<0时,图象位于二.四象限 y y
6 5 2 4 y?? 3 x 2 1 O
-4 -3 -2 -1 -1 0
-2
-3 -4 -5 -6

3 y?? x
2 3 4

·1

6 5 4 3 2 1 O
-2
-3 -4 -5 -6

x

-4 -3 -2 -1 -1 0

·1

2 3 4

x

发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化?
1、在每一个象限内
比较: 1.当自变量为-3,-2, -1时,函数值的大小? 2.当自变量为1,2,3时 ,函数值的大小?
-

6 观察y ? ? 的图象 x

2、在整个自变量的取值范围内
6 y?? x

C

·
6 5 4 3

y

2
1

思考:你发现了什么?
3.你能利用你的发现来比较 :当自变量为-3,2时,函 数值的大小吗?

-6

-5

-4

-3

-2

-1
-1 -2 -3 -4 -5 -6

0

1

2

3

4 5

6 x

D

·

反比例函数的图象和性质
k 1、反比例函数 y ? (k为常数,k≠0) x 的图象是双曲线

y

k>0

O K<0

X

2、当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限, 在每个象限内y值随x值的增大而减小。

3、当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限, 在每个象限内y值随x值的增大而增大。

课堂小结:
内容
图象 性质

k 反比例函数 y ? (k为常数,k≠0) x
双曲线 k>0 双曲线的两支所在象限 k<0 在每个象限内的增减性

图象名称 性 质
k>0

双曲线
双曲线的两支分别 位于第一、第三象限,

在每个象限内 y值随x值的增大而减小。
双曲线的两支分别 位于第二、第四象限, 在每个象限内 y值随x值的增大而增大。

k<0

填表 分析 正比 例函 数和 反比 例函 数的 区别

函数 解析式
图象形 状
位 置

正比例函数
y=kx ( k≠0 ) 直线 一三 象限


反比例函数
k y = x ( k是常数,k≠0 )

双曲线 一三象限 在每个象限内,y随 x的增大而减小 二四象限 在每个象限内, y随 x的增大而增大

K>0

增 减 y随x的增大而增大 性 位 置

二四 象限

K<0

增 减 y随x的增大而减小 性

反馈练习:

会自编类似 问题吗?

2?m 1、已知反比例函数 y ? 的函数图象位于第一、三象限, x ② ① 则m的取值范围是 m<2 。
如: 若函数 y ? (3m ? 1) x 是反比例函数,且图象位于第一、 三象限,则m的值为 m=2 。
m2 ?5

性质: k y ? (k为常数,k≠0)的图象是双曲线 反比例函数 x 当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内y值随x值的 增大而减小。 当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内y值随x值的 增大而增大。

2、长方形的面积为10,则它的长y与宽x之间的关系用图象 大致可表示为( D ) (A)直线

(C)双曲线 3 3、y ? ? 的图象在第 二、四 象限。 x

(B)双曲线在第三象限的一支 (D)双曲线在第一象限的一支

性质: k y ? (k为常数,k≠0)的图象是双曲线 反比例函数 x 当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内y值随x值的 增大而减小。 当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内y值随x值的 增大而增大。

4、下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是( B ) k 3 2 ?1 3?? ( B) y ? (C ) y ? ( D) y ? ? ( A) y ? x x x x

5、任意写出一个在每一个象限内y随x的增大而减小的反比 (只需k>0) 例函数 。 6、 下列函数中,其图象位于第二、四象限的有 在其图象所在的象限内,y随x的增大而减小的有
3 (1) y ? ? 2x 1 (2) y ? 2x

(1),(4) , (2),(3) 。

7 1 (3) y ? (4) y ? ? 4x 800 x 3 7、正比例函数y=x与反比例函数 y ? x 图象交点有 两 个, 正比例函数y=x与反比例函数 y ? ? 3 图象交点有 零 个。 x
性质: k y ? (k为常数,k≠0)的图象是双曲线 反比例函数 x 当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内y值随x值的 增大而减小。 当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内y值随x值的 增大而增大。

例1:已知反比例函数的图象经过点A(2,6). (1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何 变化? 1 4 (2)点B(3,4)、C( ?2 , ?4 )和D(2,5)是否在 5 2 这个函数的图象上? k 解:(1)设这个反比例函数为 y ? , x
∵图象过点A(2,6)

12 ∴这个反比例函数的表达式为 y ? x
∵k>0

k ?6 ? 2

解得: k=12

∴这个函数的图象在第一、第三象限, 在每个象限内,y随x的增大而减小。

例1:已知反比例函数的图象经过点A(

2,6). (1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何 变化? 1 4 (2)点B(3,4)、C( ?2 , ?4 )和D(2,5)是否在 5 2 这个函数的图象上?

12 (2)把点B、C和D的坐标代入 y ? x

,可知点B、

点C的坐标满足函数关系式,点D的坐标不满足函数关系式,

12 所以点B、点C在函数 y ? 的图象上,点D不在这个 x
函数的图象上。

例2:如图是反比例函数 的图象一支, 根据图象回答下列问题 : (1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值 范围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a, b)和b(a′,b′),如果a>a′,那 么b和b′有怎 样的大小关系?
解:(1)反比例函数图象的分布只有两种 可能,分布在第一、第三象限,或者分布在 第二、第四象限。这个函数的图象的一支在 第一象限,则另一支必在第三象限。 ∵函数的图象在第一、第三象限 ∴ m-5>0 解得 m>5

m?5 y? x

例2:如图是反比例函数 的图象一支, 根据图象回答下列问题 : (1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值 范围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a, b)和B(a′,b′),如果a>a′,那 么b和b′有怎 样的大小关系?

m?5 y? x

(2)∵m-5>0,在这个函数图象 的任一支上,y随x的增大而减小, ∴当a>a′时b<b′


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