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第十二章 全等三角形1

发布时间:2013-12-12 14:34:03  

第十二章 全等三角形

12.1 全等三角形

一、学习目标

1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素。

2、知道全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等。

3、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。

二、重点难点

教学重点:全等三角形的性质。

教学难点:找全等三角形的对应边、对应角。

三、教学过程

1.观察教科书图案,指出这些图案中形状与大小相同的图形

2.学生自己动手 取一张纸,将自己事先准备好的三角板按在纸上,画下图形,照图形裁下来,纸样与三角板形状 、大小完全一样.

3.获取概念 形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形.(要是把两个图形放在一起,能够完全重合,就可以说明这两个图形的形状、大小相同.) 即:全等形的准确定义:能够完全重合的两个图形叫做全等形. 推得出全等三角形的概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 对应顶点:重合的顶点、对应角:重合的角、 对应边:重合的边”

符号:“≌” 作“全等于”

导入新课

将△ABC沿直线BC平移得△DEF;将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC;将△ABC旋转180°得△AED.

ADA

D

BCEBC

甲EF乙DB丙C

议一议:各图中的两个三角形全等吗?

得出: ≌△DEF,△ABC≌ ,△ABC≌ .

启示:一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,?但形状、大小都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形全等,这也是我们通过运动的方法寻求全等的

一种策略.

观察与思考:

寻找甲图中两三角形的对应元素,它们的对应边有什么关系?对应角呢? 全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等。

四、精讲精练

1、如图,△OCA≌△OBD,C和B,A和D是对应顶点,?说出这两个三角形中相等的边和角.

2、如图,已知△ABE≌△ACD,∠ADC=∠AEB,

∠B=∠C,?指出其他的对应边和对应角.

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边;

两个对应角所夹的边也是对应边.

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所

夹的

角是对应角.

3、已知如图△ABC≌△ADE,试找出对应边、对应角.

五、小结: 全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等、对应角相等。

12.2 三角形全等的判定(1)

一、教学目标

1、三角形全等的“边边边”的条件.

2、经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.

二、重点难点

教学重点:三角形全等的条件.

教学难点:寻求三角形全等的条件.

三、教学过程

1、复习引入:什么是全等三角形?全等三角形有些什么性质?

如图,△ABC≌△A′B′C′那么 A'BC 相等的边是:

BCB'C'

相等的角是:

2、三组对应边相等的两个三角形全等

已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm.你能画出这个三角形吗?把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较,它们全等吗?

a.作图方法:

b.以小组为单位,把剪下的三角形重叠在一起,发现 ,?这说明这些三角形都是 的.

c.归纳:三边对应相等的两个三角形 全等, .

简写为“边边边”或“SSS”. ..

d、用数学语言表述:

在△'C'中, B?和A'?BA''B?AABC

?∵?AC? ∴△ABC≌ ?BC?用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断三角形?

四、精讲精练

例1、如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架. 求证:△ABD≌△ACD.

证明的书写步骤:

①准备条件:证全等时要用的间接条件要先证好;

②三角形全等书写三步骤:

证明:∵点D中点

∴BD=CD

在△ABD和△ACD中

B=ACA

'BCB'C'全等的过程,叫做证明三角形全等.所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据. A、写出在哪两个三角形中,B、摆出三个条件用大括号括起来,C、写出全等结论。

∵BD=CD

AD=AD

∴△ABD≌△ACD(SSS)

例2、尺规作图。

已知:∠AOB. 求作:∠DEF,使∠DEF=∠AOB

五、小结: SSS

12.2 三角形全等的判定(2)

一、学习目标

1、掌握三角形全等的“SAS”条件,能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题

2.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、?归纳获得数学结论的过程.

3、积极投入,激情展示,做最佳自己。

二、重点难点

教学重点:三角形全等的条件.

教学难点:寻求三角形全等的条件.

三、教学过程

1、复习引入

(1)怎样的两个三角形是全等三角形?全等三角形的性质是什么?三角形全等的判定(一)的内容是什么?

(2)上学时我们知道满足三个条件画两个三角形有4种情形,三个角对应相等;三条边对应相等;两角和一边对应相等;两边和一角对应相等;前两种情况已经研究了,今天我们来研究第三种两边和一角的情况,这种情况又要分两边和它们的夹角,两边及其一边的对角两种情况。

2、探究一:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等?

(1)动手试一试(学生合作练习、教师积极参与)

已知:△ABC

??求作:?,B,? AB''C',使A'C'?BC'B'?ABB?BACB

(2) 把△ABC'''剪下来放到△ABC上,观察△ABC'''与△ABC是否能够完全重合?

(3)归纳;由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定(二):

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”) (4)用数学语言表述全等三角形判定(二)

'A在△ABC和?A'B'C'中,

?AB?A'B'?∵??B? ∴△ABC≌

?BC??BCB'C'

3、探究二:两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等? 通过画图或实验可以得出:不全等

四、精讲精练

例2 p38

CD

2、 如图,AC=BD,BC=AD,求证:∠C=∠D

五、小结

SSS、SAS

六、作业:

如图,已知CA=CB,AD=BD,M、N分别是CA、CB的中点,

求证:DM=DN

12.2 三角形全等的判定(3)

一、学习目标

1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题

2.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、?归纳获得数学结论的过程.

3、积极投入,激情展示,体验成功的快乐。

二、重点难点

教学重点:已知两角一边的三角形全等探究.

教学难点:灵活运用三角形全等条件证明.

三、教学过程

1、复习引入

(1).到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?各是什么?

(2).在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了三种,今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢?三角形中

已知两角一边又分成哪两种呢?

2、探究一:两角和它们的夹边对应相等的两

个三角形是否全等?

(1)动手试一试。

已知:△ABC

求作:△ABC''',使?B'=∠B, ?C'=∠C,

B'C'=BC, AB

(2) 把△ABC'''剪下来放到△ABC上,观察△ABC'''与△ABC是否能够完全重合?

(3)归纳:由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定(三):

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形 全等 (可以简写成“边角边”或“ASA”) (4)用数学语言表述全等三角形判定(三) 在△ABC和?A'B'C'中,

??B??B'?

∵?BC? ∴△ABC≌ ??C??

A

'

BCB'C'

3、探究二。两角和其中一角的对边对应相等的两三角形是否全等1)如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗?能利用前面学过的判定方法来 证明你的结论吗?

(2)归纳;由上面的证明可以得出全等三角形判定(四):

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等可以简写成“角角边”或“AAB” ...(3)用数学语言表述全等三角形判定(四) 在△ABC和?A'B'C'中,

??A??A'?

∵??B? ∴△ABC≌ ?BC??

A

'

A

B

C

F

四、精讲精练 求证:AD=AE.

BCB'C'

P40例3、如下图,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=

B

A

∠C.

EC

2、已知:点D在AB上,点E在AC上,∠BAO=∠CAO , BE⊥AC,CD⊥AB,相交于点O,AB=AC, 求证:BD=CE 五、小结

SSS、SAS、ASA、AAS

会根据已知两角及一边画三角形

12.2 三角形全等的判定(4)

B

C

D

A

E

一、学习目标

1、理解直角三角形全等的判定方法“HL”,并能灵活选择方法判定三角形全等;

2.通过独立思考、小组合作、展示质疑,体会探索数学结论的过程,发展合情推理能力;

3. 极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

二、重点难点

教学重点:运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点:熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

三、教学过程

1、复习引入

(1)、判定两个三角形全等的方法: 、 、 、

(2)、如图,Rt△ABC中,直角边是 、 ,斜边是

(3)、如图,AB⊥BE于B,DE⊥BE于E,

①若∠A=∠D,AB=DE,

则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等” )

根据 (用简写法)

②若∠A=∠D,BC=EF,

则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等” )

根据 (用简写法)

③若AB=DE,BC=EF,

则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等” )根据 (用简写法)

④若AB=DE,BC=EF,AC=DF

则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等” )根据 (用简写法)

2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等,这两个直角三角形全等吗?

(1)动手试一试。

已知:Rt△

ABC

求作:Rt△ABC''',

使?C'=90°,A'B' =AB, B'C'=BC

作法:

(2) 把△ABC'''剪下来放到△ABC上,观察△ABC'''与△ABC是否能够完全重合?

(3)归纳;由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法

斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边直角边”或“HL”) (4)用数学语言表述上面的判定方法

在Rt△ABC和Rt?A'B'C'中,

?BC?B'C'∵?

?AB?A1 B C1 1

∴Rt△ABC≌Rt△

(5)直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊

D的

判定方法 “ ”

四、精讲精练

1、如图,AC=AD,∠C,∠D是直角,将上述条件标注在图

CA

B

中,

你能说明BC与BD相等吗?

2、如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和

∠DFE的大小有什么关系?

3 P42例5

五、作业

1、如图1,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF⊥AC于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点。

(1)求证:MB=MD,ME=MF;

(2)当E、F两点移动至图2所示的位置时,其余条件不变,上述结论是否成立?若成立,给予

证明。

2、如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F,

(1)若AC//DB,且AC=DB,则△ACE≌△BDF,根据

(2)若AC//DB,且AE=BF,则△ACE≌△BDF,根据

(3)若AE=BF,且CE=DF,则△ACE≌△BDF,根据

(4)若AC=BD,AE=BF,CE=DF。则△ACE≌△BDF,根

(5) 若AC=BD,CE=DF(或AE=BF),则△ACE≌△BDF,根据

六、小结

这学时你有什么收获呢?与你的同伴进行交流

判定两个直角三角形全等的方法:一般方法SSS 、SAS、ASA、AAS、特殊方法HL

12.3 角的平分线的性质(1)

一、学习目标

1、经历角的平分线性质的发现过程,初步掌握角的平分线的性质定理.

2、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.

3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

二、重点难点

教学重点:掌握角的平分线的性质定理

教学难点: 角平分线定理的应用。

三、教学过程

1、复习引入

什么是角的平分线?怎样画一个角的平分线?

2.OC是∠AOB的平分线,点P是射线OC上的任意一点,操作测量:取点P的三个不同的位置,分别过点P作PD⊥OA,PE ⊥OB,点D、E为垂足,测量PD、PE的长.将三次数据填入下表:观察测量结果,猜想线段PD与

3、命题:角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 题设:一个点在一个角的平分线上

结论:这个点到这个角的两边的距离相等

结合第2题图形请你写出已知和求证,并证明命题的正确性

解后思考:证明一个几何命题的步骤有那些?

4、用数学语言来表述角的平分线的性质定理:

如右上图,

OC

是∠AOB的平分线,点P是 OC上的一

点, PA?OB、PD?OA

∴ PD=PE

1、如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,

问PE=PD?为什么?

2、如图:在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,

DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF;

求证:CF=EB

四、精讲精练 O D A B

1、在Rt△ABC中,BD平分∠ABC, DE⊥AB于E,则

⑴图中相等的线段有哪些?相等的角呢?

⑵哪条线段与DE相等?为什么?

⑶若AB=10,BC=8,AC=6,

求BE,AE的长和△AED的周长。

2、如图,在△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,AB=7㎝,AC=3㎝, 求BE的长

五、小结

这学时你有什么收获呢?与你的同伴进行交流

角平分线上的点到角两边的距离相等??

12.3 角的平分线的性质(2)

一、学习目标

1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.

2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.

3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

二、重点难点

教学重点:角平分线的性质及其应用

教学难点: 灵活应用两个性质解决问题。

三、教学过程

1、复习引入思考

(1)、画出三角形三个内角的平分线

D A

你发现了什么特点吗?

(2)、如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证:点P到三边AB,BC,CA的距离相等。

2、求证:到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

提示:先画图,并写出已知、求证,再加以证明

四、精讲精练

1、如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,

CD相交于点O,OB=OC,

求证∠1=∠2

2. P50 例

五、作业

如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC,

求证:∠A+∠C=180°

六、小结

1、这学时你有什么收获呢?与你的同伴进行交流

2、角平分线上的点到角两边的距离相等 3、到角两边距离相等的点在角的平分线上 .

B

CADANMPBC

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