haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

§2.1二次函数所描述的关系新

发布时间:2013-12-12 15:36:25  

二次函数

一、情景设置,目标呈现
复习:我们以前学过哪些函数,它们的表 达式?

温故知新 函数知多少
变量之间的关系 函 数
反比例函数 一次函数 y=kx+b (k≠0) y= k (k为常数,k≠0)
x

正比例函数 y=kx(k≠0)

双曲线

直线

学习目标: 1.经历探索和表示二次函数的过程,获得用二 次函数表示变量之间关系的体验。 2.能够判断一个函数是否是二次函数,能把一 个二次函数化为一般形式,并能确定其中的a、 b、c的值。 3.能够表示简单变量之间的二次函数关系,并 尝试用二次函数解决实际问题。

二、自主钻研 合作探究

源于生活的数学
看课本34页,某果园有 100棵橙子树,每一棵树 平均结600个橙子。现准 备多种一些橙子树以提高 产量,但是如果多种树, 那么树之间的距离和每一 棵树所接受的阳光就会减 少.根据经验估计,每多 种一棵树,平均每棵树就 会少结5个橙子。

用心想一想,马到功成
在种树问题中,种多少棵橙子树,可以 使果园橙子的总产量最多?

y=-5x2+100x+60000
x y - 5 6 7
60455

8
60480

9
60495

10 11 12 13 14 15 60500 60480 60420 60455 60375 60495

- 60375 60420

-

用心想一想,马到功成

你发现了吗?
60495 60480 60455 60420 60375
60500

60495 60480 60455 60420
60375

(1)问题中有哪些变量? 其中哪些是自 变量? 哪些是因变量?
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园 共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少 个橙子? (100+x)棵 (600-5x)个

(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么 请你写出y与x之间的关系式. y= (100+x) (600-5x) =-5x2+100x+60000

做一做

亲历知识的发生和发展

银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就 是说,利率是一个变量.在我国,利率的调整是由 中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.

设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到 期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转 存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本 息和y(元)的表达式(不考虑利息税).

y=100(x+1)2 =100x2 +200x+100.

思索归纳

二次函数

有 何 特 点? y是x的函数吗?y是x的一次函数吗?

y=-5x2+100x+60000, y=100x2+200x+100.

y是x的反比例函数吗?

定义:一般地,形如 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做x的二次函数.

思索归纳 y=-5x2+100x+60000, y=100x2+200x+100.
定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.

提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且 a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项 和常数项,但不能没有二次项.

思索归纳 定义中应该注意的几个问题:
1.定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a, b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数. y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)

的几种不同表示形式: (1)y=ax2 --------- (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax2+c ------ (a≠0,b=0,c≠0).

(3)y=ax2+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).

三、成果展示、点拨拓展

判断:下列函数是否为二次函数,如果是, 指出其中常数a.b.c的值. 3x 2 (1) y=1— (2)y=x(x-5) 1 x2- 3 x+1 (3)y=
2

2

(4) y=3x(2-x)+ 3x2
2

1 (5)y= 2 3x ? 2 x ? 1

(6) y= x 2 ? 5 x ? 6 (8)y=ax2+bx+c

(7)y= x4+2x2-1

分别说出下列二次函数的二次项系数、 一次项系数和常数项:

(1) y ? x ? 1
2

(2) y ? ?3 x ? 7 x ? 12
2

(3) y ? 2 x(1 ? x)

练一练:

请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数 的例子 (1)二次项系数是一次项系数的2倍, 常数项为任意值。 (2)二次项系数为-5,一次项系数为 常数项的3倍。

拓展练习: 关于x的函数 y ? (m ? 1) x 次函数, 求m的值.
解: 由题意可得

m2 ?m

是二

m2 ? m ? 2
解得,m ? 2 ?当m ? 2时,函数为二次函数。

m ?1 ? 0

注意:二次函数的二次项系数不能为零

用总长为60m的篱笆围成矩形场地,场地 面积S(m2 )与矩形一边长a(m)之间的关系是 什么?是函数关系吗?是哪一种函数?

解:S=a(

60 - a)=a(30-a) 2

=30a-a2 = -a2+30a .

是二次函数.

拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一 个矩形,周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一 条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。

1

y = (60-x-4)(x-2)

1

1

x

3

牛刀小试 已知二次函数

y ? 2( x ? 1) ? 4
2

(1)你能说出此函数的最小值吗? 当x=1时,函数y有最小值为4 (2)你能说出这里自变量能取哪些值呢?
x取任意实数

开动脑筋
问题:是否任何情况下二次函数中的自变量

的取值范围都是任意实数呢? 2 例如:圆的面积 y (cm )与圆的半径 x (cm)的函数关系是 y =πx2 其中自变量x能取哪些值呢? x ? 0

注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变量的取值范围.

试一试:
要用长20m的铁栏杆,一面靠墙,围成一个矩形 的花圃,设与墙垂直的一边为xm,巨形的面积为y, 试(1)写出y关与x的函数关系式. (2)当x=3时,矩形的面积为多少?

解:) y ? x(20 ? 2 x) (1

? ?2 x 2 ? 20 x

(o<x<10)

(2) y ? ?2 ? 32 ? 20 ? 3 ? 42 m

四、达标测评、自结升华
? 一、二次函数的概念
? 二、二次函数的一般形式,会判断一个函数

为二次函数 ? 三、二次函数的应用

知识的升华
已知函数 y ? (k ? k ) x ? kx ? 2 ? k (1) k为何值时,y是x的一次函数? (2) k为何值时,y是x的二次函数?
2 2

?k ? k ? 0 解(1)根据题意得 ? ?k ? 0
2

∴k=1时,y是x的一次函数。
2

(2) 当k - k ≠0,即k ≠0且k ≠1时 y是x的二次函数

例2. 已知二次函数y=x2 +px+q,当x=1时,函 数值为4,

当x=2时,函数值为- 5, 求这个二 次函数的解析式.
解:把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数y ? x ? px ? q, 得:
2

{4 ? 2 p ? q ? ?5
解得,p ? ?12, q ? 15.

1? p ? q ? 4

? 所求的二次函数是y ? x ? 12 x ? 15
2

练习:已知关于x的二次函数,当x=-1时,函数值为
10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这 个二次函数的解析试.
解:设所求的二次函数为y ? ax2 ? bx ? c,由题意得:



a ? b ? c ? 10 a?b?c ? 4 4a ? 2b ? c ? 7

待定系数法

解得,a ? 2, b ? ?3, c ? 5

?所求的二次函数是y ? 2 x 2 ? 3x ? 5


网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com