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复习勾股定理

发布时间:2013-12-12 15:36:31  

【重点难点 考点】
? 学习目标 ? 1.理解勾股定理的内容,已知直角三角形的两边,会运用勾股定 理求第三边. ? 2.勾股定理的应用. ? 3.会运用勾股定理的逆定理,判断直角三角形. ? 重点:掌握勾股定理及其逆定理. ? 难点:理解勾股定理及其逆定理的应用.

? 考点:勾股定理 用

勾股定理的逆定理

勾股定理的应

【知识架构】

【考点一】勾股定理
? ? ? ? ? 一)勾股定理的推导 法一:面积证法: SA+SB=SC 结论:两条直角边上的正方形面积 A 之和等于 斜边上的正方形的面积

C

B
图1-1

相传2500年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时,发 现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量 关系.

【考点一】勾股定理
? 一)勾股定理的推导 ? 法二:赵爽弦图的证法 ? S大正方形=S小正方形+ 4S直角三角形 1 2=(b-a)2+4× c2 =a2+ b2 c ab 2
a

c
b a

c

b a

中黄实 2 (b a)
b

c
? 在中国古代,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾",下 半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为 “勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”.





a

b

c

【考点一】勾股定理
? 一)勾股定理的推导 ? 法三:茄菲尔德的证法
1 1 1 2 1 ab + ab + c = (a+b)(a+b) 2 2 2 2
c2 =a2+ b2

a

c b c
c c b a

? ? ? ?

有趣的总统证法 美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明, 就把这一证法称为“总统”证法。

【考点一】勾股定理
? 二、勾股定理 ? 一)勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那 么一定有 c2=a2 + b2

? 勾股定理的另一种表述:直角三角形两直角边的平方和和等于斜 边的平方。 ? 二)勾股定理的其他表示形式:

? ★解题技巧: ? 1、勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系,是解决有 关线段计算问题的重要依据

【考点一】勾股定理
? 例1:如图3,分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形,其面 积分别用S1、S2、S3表示,容易得出S1、S2、S3之间有的关 系式 .
S2
S3

S1

图4

【考点一】勾股定理
? 例2:如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角 走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路 (假设2步为1米),却踩伤了花草.
3m

“路”
4m

【考点一】勾股定理
? 例3:如图2,一个3米长的梯子AB,斜着靠在竖直的墙AO上, 这时AO的距离为2.5米. ? ①求梯子的底端B 距墙角O多少米? ? ②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C. A 算一算,底端滑动的距离近似值(结果保留两位小

数).
A
C O C O B D O B D

【考点二】勾股定理的逆定理
? 一)勾股定理的逆定理(直角三角形的判定): 2 c2=a2 ? 如果三角形的三边长a,b,c满足 + b 角形是直角三角形. ? ◆符号语言: ? 在△ABC中,若a2 + b2 = c2,则△ABC是直角三角形。 ,那么这个三

? ★注意: ? 1、这一命题是勾股定理的逆定理

? 2、它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的 有关问题提供了新的方法.
? 3、定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边 a,b,c(a2+b2=c2),先构造一个直角边为a,b的直角三角形,由勾股 定理证明第三边为c,迚而通过“SSS”证明两个三角形全等,证 明定理成立.

【考点二】勾股定理的逆定理
? ★二)勾股数组:

? 定义:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数
组. ? 常见勾股数组: ? (1)a=3,b=4,c=_____ ? (2)a=9,b=____c=15 ? (3)a=____,b=40,c=50 ? (4)a=24,b=32,c=________ ? (5)a=5,b=_______,c=13 ? (6)a=_____,b=36,c=39

【考点二】勾股定理的逆定理
? 三)解题技巧: 在中考中,很多问题常常要证明两条直线互相垂直, 当题中给出线段的长度要证明它们互相垂直时,往往用到勾股定 理的逆定理通过计算得到证明. ? 勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的. 勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直 角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定 定理,它丌仅可以判定三角形是否为直角三角形,还可以判定哪 一个角是直角,从而产生了证明两直线互相垂直的新方法:利用 勾股定理的逆定理,通过计算来证明,体现了数形结合的思想.

【考点二】勾股定理的逆定理
? 四)逆命题与互逆命题 ? 1)互逆命题: 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论, 而第一 个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆 命题. 如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题. ? 2)互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理. ? 3)注意:任何一个命题都有 都有 __ _____,但任何一个定理未必

? 五)勾股定理判别三角形形状 ? 三角形的三边分别为a、b、c,其中c为最大边,

【考点二】勾股定理的逆定理
? ? ? ? ? 例4:说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗? 两直线平行,内错角相等; 如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等; 全等三角形的对应角相等; 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

? 例5:思考:我们知道3、4、5

是一组勾股数,那么3k、4k、5k (k是正整数)也是一组勾股数吗?一般地,如果a、b、c是一组 勾股数,那么ak、bk、ck(k是正整数)也是一组勾股数吗?

【考点二】勾股定理的逆定理
? 例6:在△ABC中,三条边的长分别为a,b,c,a=n2-1,b= 2n,c=n2+1(n>1,且n为整数),这个三角形是直角三角形吗? 若是,哪个角是直角

【考点二】勾股定理的逆定理
? 例7:下列丌是一组勾股数的是( )

? A、5、12、13
? C、12、16、20

B、
D、 7、24、25 )

? 例8:下面有几组数可以作为直角三角形的边长? ( (1) 9, 12, 15 ? (4) 12, 18,32 A. 2 B. 3 (2) 12,35,36 (5) 5,12,13 C. 4 D. 5 (3) 15,36 39 (6) 7,24 ,25

【考点三】勾股定理的应用
? ? ? ? 1、已知两边求第三边 2、利用列方程求线段的长 3、判别一个三角形是否是直角三角形 4、灵活变通

? 例:如图一个囿柱,底囿周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外 ? 壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行 cm

【考点三】勾股定理的应用
n ? 一)利用勾股定理在数轴上表示无理数
17 ? 例9:在数轴上画出表示

(n为正整数)的点:

的点?(尺规作图)

【考点三】勾股定理的应用
? 一)直角三角形面积法:
例10:如图:在 ?ABC中,?ACB ? 900,CD是斜边上的高, ? 3,BC ? 4, Rt AC 则CD的长为多少?

C

A D
例11 :如图:CD ? AB于D,AC ? 9,BC ? 12,AB ? 15, : 你能求出?ABC的面积吗?

B

【考点三】勾股定理的应用
? 二)勾股定理在特殊三角形中的应用 ?ABC ? 例12:如图:一工厂的房顶为等腰 ,AB=13米,求跨度BC的长. , AB=AC,AD=5米
A

B

D

C

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Thank You!
北京师范大学 田开兰


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