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圆周角和圆心角的关系2

发布时间:2013-12-13 09:35:54  

?3.4圆周角 (2)

一、旧知回放:
1、圆周角定义: 顶点在圆上,
并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征:

① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交.

圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.

A C


1 ∠ABC = ∠AOC. 2
A C


A C B


O

O

O

B

B

问题讨论
问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关 系?为什么? ∠B = ∠D= ∠E
问题2、如图2,BC是⊙O的直径,A是⊙O上任一点, 你能确定∠BAC的度数吗? ∠BAC =90o 问题3、如图3,圆周角∠BAC =90o ,弦BC经过圆心O 吗?为什么? A
D A B


O C

E

B

O 图2

C

B



O

C

A

图1

图3

问题解答
1、圆周角定理的推论1:

用于找相等的 角

同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;

同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 2、圆周角定理的推论2:
用于找相 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;等的弧

90°的圆周角所对的弦是直径。
用于判断某个 圆周角是否是 直角 用于判断某 条线是否过 圆心

例1
已知:如图,在△ABC中,AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证:⌒ ⌒ BD=DE B A E D C

练习: 如图,P是△ABC的外接圆上的一点 ∠APC=∠CPB=60°。 求证:△ABC是等边三角形

A
P

· O
B

C

例2:一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥, 已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这 个人工湖的直径. C

A

B

例2: 一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,

已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这 个人工湖的直径.
C
D

A

B

1如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO 的中点,DE // AB,求证: ⌒ =2 ⌒.
EC EA

C E A

D
O B

2,已知BC为半圆O的直径,AB=AF,AC 交BF于点M,过A点作AD⊥BC于D,交 BF于E,则AE与BE的大小有什么关系? 为什么? F
A M E B D O C

练习
1.试找出图中所有相等的圆周角. 2.在圆中,一条弧所对的 圆心角和圆周角分别为 (2x+100)°和(5x- 30)°,求这条弧所对的 圆心角和圆周角的度数.

(第 1 题)

这是一个圆形零件,你能找到它的圆 心位置吗?

如图,圆O的两条弦AB,CD相交于E, AC=55°,BD=35°,求∠AEC

A

C E B D

在圆O中,弦CD与直径AB垂直于E,若 CD=8,AE=3,求圆的半径。
B

O
C A

D

如图,矩形ABCD与圆O交于点A、B、E、 F,DE=1cm,EF=3cm,则AB=________cm 5
D A O

E

F C
B

1、在圆O中,圆心角∠AOB=100°,求 弦AB所对的圆周角的度数。

2、若圆的弦长等于它的半径,求该弦所 对圆周角的度数 。 3、如图一个水平放置的圆柱形水管的横截面, 水面高CD=(2+)cm,水面宽AB=2cm,那 么水管截面圆的半径为 .

A

C O

B

如图,在圆O中,已知AC=BD, 试说明:(1)OC=OD (2)AE= BF
O A C E D F B





4、已知在RT△ABC中,∠C=90°

, AC=4,BC=3,若以C为圆心,CB为 半径的圆交AB于P,求AB,AP的长。

C A P B

如图,AB,CD是两条相交弦,P是它们 的交点。

问:弦AB,CD被交点分成的四条线段 AP、BP、CP、DP有怎样的关系?

C
A

B P
D

如图,△ABC内接于圆O,AB=AC, D是BC上一点,AD的延长线交圆O于 E,那么那么AB2=AD×AE成立吗? 让点D在直线BC上运动,当点D运动到 BC延长线上时,结论还成立吗?
A

B
E

D

C

小结
1. 【圆周角的定义】 顶点在圆上,两边都与 圆相交,这样的角叫圆周角。 2. 【圆周角的性质】 (1)半圆或直径所对的圆周角都相等,都等 于90°(直角). 90°的圆周角所对的弦是 圆的直径 (2)一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆 心角的一半; (3)在同一圆内,同弧或等弧所对的圆周角相 等,都等于该弧所对的圆心角的一半; 相等的圆 周角所对的弧相等;


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