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2.2根的判别式课件

发布时间:2013-12-13 11:31:56  

2.2一元二次方程的解法 根的判别式

知识回顾
1.一元二次方程的求根公式是什么?

一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是
? b ? b 2 ? 4ac x? 2a

2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么?

用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式, 进而确定a、b、c的值,再求出b2-4ac的值, 当b2-4ac≥0的前提下,再代入公式求解; 当b2-4ac<0时,方程无实数 解(根)

知识回顾

3.用公式法解下列方程:
⑴ x2+x-1 = 0 ⑵ x2-2

3 x+3 = 0

⑶ 2x2-2x+1 = 0
观察上面解一元二次方程的过程,一元二次 方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、 一次项系数及常数项有关吗?能否根据这个关 系不解方程得出方程的解的情况呢?

尝试:
不解方程,你能判断下列方程根的情况吗?

⑴ x2+2x-8 = 0 ⑵ x2 = 4x-4 ⑶ x2-3x = -3
答案:(1)有两个不相等的实数根; (2)有两个相等的实数根;
(3)没有实数根 你能得出什么结论? 可以发现b2-4ac的符号决定着方程的解。

概括总结
由此可以发现一元二次方程ax2+bx+c = 0 (a≠0)的根的情况可由b2-4ac来判定 当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根 当b2-4ac = 0时,方程有两个相等的实数根 当b2-4ac < 0时,方程没有实数根 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c = 0 (a≠0)的根的判别式。 若已知一个一元二次方程的根的情况,是否能得到 判别式的值的符号呢?

,x2=2

当一元二次方程有两个不相等的实数根时,b2-4ac>0 当一元二次方程有两个相等的实数根时, b2-4ac = 0 当一元二次方程没有实数根时,b2-4ac < 0

概念巩固

1.方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= -8 所以方程的根的情况是 方程无实数根 .



2.下列方程中,没有实数根的方程是(D ) A.x2=9 B.4x2=3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0
3.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根,那么总成立的式 子是( ) D A.b2-4ac>0 B. b2-4ac<0 C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0

典型例题
例1不解方程,判断下列方程根的情况: (1)-x2+ 2 6 x-6=0 (2)x2+4x=2 (3)4x2+1=-3x (4)x2-2mx+4(m-1)=0 解(1)∵b2-4ac=24-4×(-1)×(-6)=0 ∴该方程有两个相等的实数根
(2) 移项,得x2+4x-2=0 ∵b2-4ac=16-4×1×(-2)=16-(-8) =16+8=24>0 ∴该方程有两个不相等的实数根

典型例题
例1不解方程,判断下列方程根的情况: (3)4x2+1=-3x (4)x2-2mx+4(m-1)=0

解(3)移项,得4x2+3x+1=0 ∵b2-4ac=9-4×4×1=9-16=-7<0 ∴该方程没有实数根 (4)∵b2-4ac=(2m)2-4×1×4(m-1) =4m2-16(m-1) =4m2-16m+16 =(2m-4)2≥0 ∴该方程有两个实数根

典型例题
例2 :m为任意实数,试说明关于x的方程 x2-(m-1)x-3(m+3)=0恒有两个

不相等 的实数根。

解:b 2 ? 4ac ? ?? ?m ? 1??2 ? 4?3?m ? 3??
? m 2 ? 10m ? 37

? m 2 ? 10m ? 5 2 ? 5 2 ? 37 ? ?m ? 5? ? 12 ∵不论m取任何实数,总有(m+5)2≥0 ∴b2-4ac=(m+5)2+12≥12>0
2

∴不论m取任何实数,上述方程总有两个不相等的实数根

典型例题

例3:m为何值时,关于x的一元二次方程 2x2-(4m+1)x+2m2-1=0: (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根?
解:∵a=2,b=-(4m+1),c=2m2-1 ∴b2-4ac=〔-(4m+1)〕2-4×2(2m2-1)=8m+9
9 ∴m> ? 8 9 2-4ac=0即8m+9=0 ? (2)若方程有两个相等的实数根,则b ∴m= 8
(1)若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac>0,即8m+9>0 (3)若方程没有实数根,则b2-4ac<0即8m+9<0 ∴当m>? ∴m<

9 方程有两个相等的实数根;当m< ? 时,方程没有实数根 8

9 9 ? 时,方程有两个不相等的实数根;当m= 8 时, 8

9 ? 8

练一练
例4:已知关于x的方程 kx2-(2k+1)x+k+3 = 0有两个不相等的实数 根,求k的取值范围。

解:∵方程有两个不相等的实数根
∴(2k+1)2-4k(k+3)>0 4k2+4k+1-4k2-12k>0

-8k+1>0

1 即k< 8

练一练
1.不解方程,判断方程根的情况: (1)x2+3x-1=0; (2)x2-6x+9=0; (3)2y2-3y+4=0
(4)x2+5= 2 5 x

练一练
2.k取什么值时,方程x2-kx+4=0有两个相等的 实数根?求这时方程的根。 3.已知a、b、c分别是三角形的三边,则关于x的一 元二次方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况 是( ) A、没有实数根 B、可能有且仅有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根。

归纳总结
一元二次方程的根的情况与系数的关系?
b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。利用根的 判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程 的根的情况;反过来由方程的根的情况也可以得知 b2-4ac的符号,进而得出方程中未知字母的取值 情况。


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