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平行线的判定与性质应用

发布时间:2013-12-13 13:31:18  

判定两直线平行的方法有三种:
(1)定义法;在同一平面内不相交的两条直线是平行线。
(2)传递法;两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也平行。

(3)因为a⊥c, a⊥b;

b

所以b//c
(4)三种角判定(3种方法): 同位角相等,两直线平行。 内错角相等,两直线平行。 A C E

C
a
1

3 4
2

B D

同旁内角互补,两直线平行。
在这六种方法中,定义一般不常用。

F

填空
如图,已知,∠1=78°,∠2=78°, ∠3=78°,∠4=102°。

A

C

1

4 3

2

B

D

⑴ 因为 ∠1=∠2=78° CD 所以 AB∥____( 同位角相等,两直线平行 ) ⑵ 因为 ∠2=∠3=78° CD 所以 AB∥____ ( 内错角相等,两直线平行) ⑶因为∠2+∠4=78°+102°=180° CD AB 所以____∥____(同旁内角互补,两直线平行 )

平 行 线 的 性 质

条件
两直线平行

结论
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补

练习1: 如图,已知两平行线AB、CD被直线AE所截。 (1)从∠1=110 °可以知道∠2是多少度?为什么? (2)从∠1=110 °可以知道∠3是多少度?为什么? (3)从∠1=110 °可以知道∠4是多少度?为什么? 解:∠2=110° 解:∠4=70° 解:∠3=110° ∵AB∥CD(已知) ∵AB∥CD(已知) ∴∠1=∠2(两直线平行,内错 ∴∠1+∠4=180°(两直线平 ∴∠1=∠3(两直线平行,同位 角相等) 行,同旁内角互补) 角相等) 又∵ ∠1=110°(已知) 又∵ ∠1=110°(已知) ∴∠2=110°(等量代换) ∴∠4=70° ∴∠3=110°(等量代换) A 1 B 2 4 3 D

C
E

练习2
如图,直线a∥b, ∠1=54°,∠2, ∠3, ∠4各是多少度? 解: ∵ ∠2=∠1 (对顶角相等)
1 2 4
a

∴ ∠2=∠1 =54°
∵ a∥b(已知) ∴ ∠4=∠1=54°(两直线平行,同位角相等) ∠2+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补) ∴ ∠3= 180°- ∠2= 180° - 54°=126°
3

b

判定:已知角的关系得平行的 关系.证平行,用判定. 平行线的判定与性质的关系图 性质:已知平行的关系得角的 关系.知平行,用性质.
判定 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
性质

同位角相等 内错角相等 同旁内角互补

两直线平行

(数量关系) (位置关系) 数形转化

(数量关系)

A

综合应用:
1、填空: (1)、∵ ∠4 ∠A=____, (已知)
判定

F E
4 2 1 3

5

同位角相等,两直线平行。 ∴ AC∥ED ,(_____________________)

DF (2)、 ∵AB ∥______, (已知)

B

D
性质

C

两直线平行, 内错角相等。 ∴ ∠2= ∠4,(______________________)

AB DF (3)、∵ ___ ∥___, ∴ ∠B= ∠3.

(已知)
两直线平行, 同位角相等. (___________ ___________)
性质

练习2: E 根据右边的图形,在括号内填上相应的理由: 4 1 A 已知 ) ①∵∠1=∠C( 3 2 同位角相等,两直线平行 ) ∴AB∥CD( 已知 ) ② ∵∠1=∠B(

内错角相等,两直线平行 ) ∴EC∥BD( D C 已知 ) ③ ∵∠2+∠B=180°( ∴EC∥BD( 同旁内角互补,两直线平行 ) 已知 ) ④ ∵AB∥CD( 两直线平行,内错角相等 ) ∴ ∠3=∠C( ⑤ ∵EC∥BD( 已知 ) 两直线平行,同位角相等) ∴ ∠3=∠B( 已知 ) ⑥ ∵AB∥CD( ∴ ∠2+∠C= 180° ( 两直线平行,同旁内角互补 )

B

说明:①、②、③是平行线的判定的应用; ④、⑤、⑥是平行线的性质的应用.

3. 如图,已知:AC∥DE,∠1=∠2,试证明 AB∥CD。 A

D

证明: ∵由AC∥DE (已知)
∴ ∠ACD= ∠2 ∵ ∠1=∠2(已知) ∴ ∠1=∠ACD (等量代换) ∴AB ∥ CD (内错角相等,两直线平行)
B

1

2 E

C

(两直线平行,内错角相等)

如图,若AB//CD,你能确定∠B、∠D与∠BED的大小 关系吗?说说你的看法. 解答:过点E作EF//AB. ∴∠B=∠BEF. ∵AB//CD. ∴EF//CD. ∴∠D =∠DEF. ∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF =∠DEB. 即∠B+∠D=∠DEB. A E ……F

B

C

D

如图,一条公路两次拐弯后,和原来的方向相同, 也就是拐弯前后的两条路互相平行,第一次拐的 角∠B是140°,第二次拐的角∠C是多少度?为 什么?(变式题:第一次左转弯40度,第二次右转弯 多少度?若两次拐弯后与原来的方向相反,第二 次转弯多少度?)

C B

? 1、证明角相等的基本方法 :
(1)同角(或等角)的余角相等; (2)同角(或等角)的补角相等; (3)对顶角相等; (4)两直线平行,同位角相等;内错角相等

? 2、平行线的判定与性质的区别:
平行线的判定和平行线的性质不能混淆,应分清定理(或公理)的条件结论: (1)判定定理说的是满足了什么条件(性质)的两条直线是互相平行的. (2)性质定理说的是如果两条直线平行,它具有什么性质.

由此可见,判定定理与性质定理是因果关系倒置的两类定理(称为“互逆” 定理).

3、数学方法:对比法、数形结合


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