haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

北师大八年级数学(下)第七章三角形内角和定理(2)

发布时间:2013-12-13 14:32:48  

2013年最新北师大八年级数学(上) 第七章平行线的性质

三角形的内角和定理(2)

12/13/2013

三角形的外角:
A

三角形的一边与另一 边的延长线组成的角, 叫做三角形的外角.

B

C

D

观察
A

D
A 1 A B 1 C

1
D B C B
·

C

D

三角形的一边与另一边的延长线组成的角 外角定义:

叫做三角形的外角.

三个特征:1. ∠ 1的顶点在三角形的一个顶点上; 2. ∠ 1的一条边是三角形的一条边; 3. ∠ 1的另一条边是三角形的某条边的延长线

画图并思考:
画一个△ABC ,你能画出它的所有 外角来吗?请动手试一试.同时想一想 △ABC的外角共有几个呢?

归纳:
每一个三角形都有6个外角.
每一个顶点相对应的外角都有2个.
每个外角与相邻的内角是邻补角.

三角形的外角与三角形的内 角之间有怎样的数量关系?

相邻的内角:
不相邻的两内角:

A

不相邻 内 角

3 相邻 内角

1

2

外 角
4

B

C

D

三角形的外角与内角的关系:

如图△ABC中,则 ∠ACB+∠ACD=180°
即三角形的外角与它 相邻内角的和为 180° A
? ?

结论: 三角形的外角与 它相邻的内角互为邻补角

B

C

D

证明:三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和.
A 已知:如图,∠1是△ABC的一个外角. 求证: ∠1= ∠2+ ∠3 证明:∵ ∠4 +∠2+ ∠3=180° B (三角形内角和定理) 即∠2+ ∠3= 180°-∠4 又∵ ∠1+ ∠4= 180°(1平角= 180°) 即∠1 = 180°-∠4 ∴ ∠ 1= ∠2+ ∠3 (等量代换) 3 2

41 C

D

12/13/2013

证明:三角形的一个外角大于任何一个 和它不相邻的内角.
A 已知:如图,∠1是△ABC的一个外角. 求证: ∠1> ∠2, ∠1> ∠3 2

3
B 证明: ∵ ∠1 =∠2+ ∠3 (三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和) ∴ ∠1> ∠2, ∠1> ∠3

1 C

D

12/13/2013

你能比较∠2 、 ∠A的关系么?再试试看。

试比较∠1 、∠A的大小关系?
A P 2 B D 1 C

练一练:2、把图中∠1、 ∠2、 ∠3按从大
到小的顺序排列,并说明理由。

A D

解:∠1> ∠2> ∠3

E C

B

解:∵ ∠1是△BDE的外角, ∠2是△ADC的外角 ∴∠1>∠2, ∠2 >∠3 (三角形的一个外角大于 任何一个和它不相邻的内 角).
B A D

E

C

∴ ∠1>∠2>∠3

例1.已知:如图6-14,在△ABC中, ∠1是 它的一个外角, E为边AC上一点,延长 D BC到D,连接DE. 2 求证: ∠1>∠2. C
?证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知), E 5 ? ∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大 于任何一个和 它不相邻的内角). 4 A ? ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义). ? ∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于 任何一个和 它不相邻的内角). ? ∴ ∠1>∠2(不等式的性质). 3 1 B

F

三角形的外角和
对于三角形的每个内角,从与它相邻的 两个外角中取一个,这

样取得的三个外角 相加所得的和,叫做三角形的外角和。

结论: 三角形的外角和等于360°

想一想
已知:∠BAF,∠CBD,∠ACE是△ABC的三个外角. 求证:∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
F A

1 证明:∵ ∠1 +∠BAF=180°(1平角= 180°) ∠2 +∠CBD=180° B 2 3 C E ∠3 +∠ACE=180° D 又∵ ∠1+ ∠2 + ∠3= 180° (三角形内角和定理) ∴ ∠1+ ∠2 + ∠3 +∠BAF +∠CBD +∠ACE=3× 180° ∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE=540 ° - 180°= 360°
12/13/2013

例2:
已知:如图,在△ABC中,AD平分外角 ∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC. B

E A

·D ·C

证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和),

∠B=∠C (已知),

1 ∴∠C= ∠EAC(等式性质). 2 ∵ AD平分 ∠EAC(已知). 1 ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). 2 ∴∠DAC=∠C(等量代换).
12/13/2013

∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).

例题是运 用了定理 “内错角 相等,两直 线平行” 得到了证 实.

已知:如图,∠ACE是的 A D △ABC外角, BD,CD分别是 ∠ABC,∠ACE的平分 1 2 B 线,BD和CD相交于点D. C E 求证: ∠A=2 ∠D. 证明: ∵BD,CD分别是∠ABC,∠ACE的平分线, ∴ ∠ABC =2 ∠2, ∠ACE =2∠1 ∵ ∠ACE= ∠A+ ∠ABC.(三角形的一个 外角大于任何一个和它不相邻的内角). ∴ 2∠1=∠A+ 2∠2 即∠A=2( ∠1- ∠2 ). ∵ ∠D=∠1- ∠2 (三角形的一个外角 等于和它不相邻的两内角和) 12/13/2013

例3:已知:如图,在△ABC中,点D是 AC边上的点,点P在BC. 求证:∠BPC >∠A.
B

A D

P
C

证明:∵∠BPC是△PCD的一个外角, ∴ ∠BPC >∠PDC.(三角形的一个外角大于任何一个 和 它不相邻的内角). ∵∠ PDC是△ABD的一个外角, ∴ ∠PDC > ∠A .(三角形的一个外角大于任何一个 和 它不相邻的内角).
12/13/2013

∴ ∠BPC >∠A.

B

A

1 C
P

N 3

2 D

M

F

E

360° ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___ _。

(2)求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数
A

B

E

D

C

练习
已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. B A

H

2 1F

E

C

D

12/13/2013

今天的作业
习题 7.7 1,2,3.

12/13/2013


网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com