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3.5直线和圆的位置关系(第2课时)课件_北师大版

发布时间:2013-12-13 15:33:48  

3.5直线和圆的位置关系(2)
(地平线)



O
● ●

O

O a(地平线)

尹巷中学徐效忠

r



O ┐

d

r



d ┐

O

r



O

相交 ?d < r ?d =r ?d >r

直线和圆相交

相切

d ┐

相离

直线和圆相切 直线和圆相离

? 如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l 与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋 转时,

圆心O到直线l的距离d如何变化?
B O l



α d

α ┓ A

你能写出一个命题来表 述这个事实吗?
?

? 经过直径的一端,并且垂直于这 条直径的直线是圆的切线.

∵AB是⊙O的直径,直线 CD经过A点,且CD⊥AB, ∴ CD是⊙O的切线.
这个定理实际上就是: d=r 直线和圆相切。 C 的另一种说法。

B



O
D

A

例:如图:AB是⊙O的直径, 0,AT=BA. ∠ABT=45 求证:AT是⊙O的切线.
B

O

T

A

1.如图,已知直线AB 经过⊙O 上的点C, 并且 OA=OB,CA=CB,那么直线 AB是⊙O 的切线吗?
所证切线与圆有 公共点:连半径 证垂直
O

A

C

B

所证切线与圆 无公共点:



作垂直证相等 A C



三角形与圆的位置关系(回顾)
1.由定理可知:经过三角形三个顶 点可以作一个圆。
2.经过三角形各顶点的圆叫做 三角形的外接圆。
O C A

3.三角形外接圆的圆心叫做

B

三角形的外心,这个三角形叫做这 个圆的内接三角形。

?探索:从一块三角形材料中, 能否剪下一个圆,使其与各边 都相切?
A N I
● ●

A M

I ●


B



上右图就是三角形的内切圆作法:

C

B

┓ D

C

(1)作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN,交点为I. (2)过点I作ID⊥BC,垂足为D. (3)以I为圆心,ID为半径作⊙I, ⊙I就是所求

? 这样的圆可以作出几个呢?为什么?. ∵直线BE和CF只有一个交点I, 并且点I到△ABC三边的距离相 等(为什么?), ?因此和△ABC三边都相切的 圆可以作出一个,并且只能 B 作一个.
?

A

F
I ●


E



C

定义:与三角形三边都相切的圆叫做三角形 的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形. 内切圆的圆心叫做三角形的内心,是三 角形三条角平分线的交点.

分别作出锐角三角形,直角三 角形,钝角三角形的内切圆,并说 明与它们内心的位置情况? A
?
A
● ●

A

B

C

B



C



B

C

提示:先确定圆心和半径,尺规 作图要保留作图痕迹.
?

判断题:
1、三角形的内心到三角形各个 顶点的距离相等( 错 ) 2、三角形的外心到三角形各边 的距离相等 ( 错 )

3、等边三角形的内心和外心重 合; ( 对 )

? 4、三角形的内心一定在三 角形的内部( 对 ) ? 5、菱形一定有内切圆( 对 ) ? 6、矩形一定有内切圆 ( 错 )

例2 如图,在△ABC中,点O是 A 内心, (1)若∠ABC=50°, ∠ACB=70°, O
求∠BOC的度数
120
B 130 C

(2)若∠A=80度,则∠BOC=

(3)若

∠BOC=110度,则∠A=

40

Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
A

1.已知:如图,⊙O是Rt△ABC的 内切圆,∠C是直角,AC=3,BC=4. 求⊙O的半径r.

D
● ●

O O┗ F


a?b?c r? . 2
3? 4?5 r? ? 1. 2
B

B A

E

C

c


O C

b

a

斜△的三边长及面积与其内切圆半径间的关系

? 已知:如图,△ABC的面积 S=4cm2,周长等于10cm. ? 求内切圆⊙O的半径r.

D
4 r? . 5

A


O


F

1 S ? r ?a ? b ? c ?. 2

B

E

C

2S r? . a?b?c

思考题: 如图,某乡镇在进入镇区的道路交叉 口的三角地处建造了一座镇标雕塑,以树立起文明 古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、 AB的距离相等,AC⊥BC,BC=30米,AC=40米。 请你帮助计算一下,镇标雕塑中心M离道路三边的 距离有多远?
A

镇 商 业 区 D
C

.M

F B

E 镇工业区

(2012?常州)在平面直角坐标系xOy中, 已知点P(3,0),⊙P是以点P为圆心, 2为半径的圆,若一次函数y=kx+b的图象 过点A(-1,0)且与⊙P相切,则k+b的 值为——


(2008?乐山)如图,在直角坐标系中,一直 线l经过点M( √3 ,1)与x轴、y轴分别交于 A、B两点,且MA=MB,则△ABO的内切圆 ⊙O1的半径r1=——;若⊙O2与⊙O1,l,y轴 分别相切,⊙O2与⊙O3,l,y轴分别相 切,…,按此规律,则⊙O2008的半径r2008=— —.

(2011?衢州)木工师傅可以用角尺测 量并计算出圆的半径r,用角尺的较短 边紧靠⊙O,并使较长边与⊙O相切于 点C,假设角尺的较长边足够长,角尺 的顶点为B,较短边AB=8cm,若读得 BC长为acm,则用含a的代数式表示r 为——.

解:①如图所示,0<r≤8时, ∵OA⊥BA,OC⊥BC, ∠B=90°,AO=CO,∴四边 形OABC是正方形,∴BC=CO, ∴r=a;
②当r>8时,如图:连接OC,∵BC与⊙O 相切于点C,∴OC⊥BC,连接OA,过点A 作AD⊥OC于点D,则四边形ABCD是矩形, 即AD=BC,CD=AB.在Rt△AOD中, OA2=OD2+AD2,即:r2=(r-8)2+a2,整理 得:r=1/16 a2+4.故答案是:0<r≤8时, r=a;当r>8时,r=1/16a2+4.

1.解:连接DF、OE,过点D作DG⊥AC于点 G.∵∠C=∠CGD=∠CFD=90°,∴四边 形CGDF是矩形,∴DG=CF=y;∵OE∥DG, ∴△AOE∽△ADG,∴OE:AO=DG:AD,即 1:(x+1)=y:x,化简可得y=x:(1+x).

3.(1)①根据矩形的性质和边长即可求出E的坐标;②推出 CE=AE,BC∥OA,推出∠HCE=∠EAG,证出△CHE≌△AGE 即可;
(2)连接DE并延长DE交CB于M,求出DO=OC=1/2OA,证 △CME≌△ADE,求出CM=AD=1,推出四边形CMDO是矩形, 求出MD切⊙O于D,设CH=HF=x,推出(1-x)2+(1/2)2= (1/2+x)2,求出H、G的坐标,设直线GH的解析式是y=kx+b, 把G、H的坐标代入求出即可; (3)连接BG,证△OCH≌△BAG,求出∠CHO=∠AGB,证 △HOE≌△GBE,求出∠OHE=∠BGE,得

出BG平分∠FGA, 推出圆心P必在BG上,过P做PN⊥GA,垂足为N,根据 △GPN∽△GBA,得出PN/BA=GN/GA,设半径为r,代入求出即 可.

(1)①解:E的坐标是:(1,12),故答案为: (1,12);②证明:∵矩形OABC,∴CE=AE, BC∥OA,∴∠HCE=∠EAG,∵在△CHE和 △AGE中∠HCE=∠EAGCE=AE∠HEC=∠GEA, ∴△CHE≌△AGE,∴AG=CH.

(2)解:如图2,连接DE并延长DE交CB于M, 连接AC,∵DO=OC=1=1/2OA,∴D是OA的中 点,∵BC∥OA,∴∠MCE=∠DAE,∵在 △CME和△ADE中 ∠MCE=∠DAECE=AE∠MEC=∠DEA, ∴△CME≌△ADE,∴CM=AD=2-1=1, ∵BC∥OA,∠COD=90°,∴四边形CMDO是 矩形,∴MD⊥OD,MD⊥CB,∴MD切⊙O于D, ∵HG切⊙O于F,E(1,1/2),


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