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八 年级 数学 实用 学科导学案

发布时间:2013-12-13 15:33:51  

数学 学科导学案 使用时间

19.2.2菱形性质 第1课时 第七课时

19.2.2菱形的判定 第八课时,上课时间:

【学习目标】

1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算;

2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.

【学习重难点】菱形的两个判定方法.

【学习过程】

一、 温故知新:1

.菱形的定义:

2.菱形的性质:边:__________________________;______________________________

角:__________________________;______________________________

对角线:______________________________________________________

对称性: .

二、自学质疑:自学99页。

探究一: 如图,四边形是菱形吗?为什么?

归纳:有一组邻边相等的平行四边形是菱形

探究二:用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?

通过探究,容易得到:对角线 的平行四边形是菱形

证明上述结论

探究三:李芳同学先画两条等长的线段AB、AD,然后分别以B、D为圆心,AB为半径画弧,得到两弧的交点C,连接BC、CD,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形?请你画一画。

通过探究,容易得到: 的四边形是菱形

探索四:

菱形的面积公式是什么?如何证明这个公式?(提示:四个全等的直角三角形。)

证明上述结论

三.合作探究 以小组为单位交流以上问题。

四.例题:

例1.如图,ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AB= 5 ,AC=8,

DB=6

求证:四边形ABCD是菱形.

例2、已知:如图,AD是三角形ABC的角平分线,DE∥AC交AB于E,DF

∥AB交AC于F,求证:四边形AEDF是菱形。(提示:运用定义判定。)

展示交流 学生先分析后展示教师点拨

总结归纳 菱形常用的判定方法归纳为(让学生讨论归纳后,并板书):

检测提升

1.判断题,对的画“√”错的画“×”

(1).对角线互相垂直的四边形是菱形( )

(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形( )

(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形( )

(4).对角线相等的四边形是菱形( )

2.如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分ABCD是菱形吗? 求证:(1)四边形ABCD是平行四边形

(2) 过A作AE⊥BC于E点, 过A作AF⊥CD于F.用等积法说明BC=CD.

(3) 求证:四边形ABCD是菱形.

E

3、如图AD是⊿ABC的角平分线,DE∥AC,DF∥AB,求证:四边形AEDF是菱形。

F

课后反思: D C

19.2.3 正方形 (一)

一、教学目的

1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.

2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别,通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育,提高学生的逻辑思维能力.

二、重点、难点

1.教学重点:正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.

2.教学难点:正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.

三、教学过程:

.温故知新 填表:

性质 判定方法

1. 边:

角: 2. 矩形 对角线: 3. 对称性:

1. 边:

角 2. 菱形 对角线: 3. 对称性:

自学质疑:

自学教材100-101页,落实:

性质 判定方法

边:

角 正方形 对角线:

对称性:

自学例4,并在学案上做一遍:

完成课本P101页练习1、2、3题

合作探究:以小组为单位交流以上问题

展示交流:学生代表展示。

点拨指导:例1(教材P100的例4) 求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

已知:四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O(如图).

求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.

证明:∵ 四边形ABCD是正方形,

∴ AC=BD, AC⊥BD,

AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分).

∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,

并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO.

总结归纳:正方形的性质:

因为正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形,特殊的菱形,所以它具有这些图形性质的综合,引导学生从角、边、对角线上归纳总结。

正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边都相等。

正方形性质定理2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

例2 (补充)已知:如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.

求证:OE=OF.

分析:要证明OE=OF,只需证明△AEO≌△DFO,由于正方形的对角线垂直平分且相等,可以得到∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO,再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO,根据ASA可以得到这两个三角形全等,故结论可得.

证明:∵ 四边形ABCD是正方形,

∴ ∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等).

又 DG⊥AE, ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°.

∴ ∠EAO=∠FDO.

∴ △AEO ≌△DFO.

∴ OE=OF.

检测提升:

1.正方形的四条边__,四个角____,两条对角线.

2.

2.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是( )

A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD B. AD∥BC,∠A=∠C

C. AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D. AO=CO,BO=DO,AB=BC

3.下列说法是否正确,并说明理由.

①对角线相等的菱形是正方形;( ) F

②对角线互相垂直的矩形是正方形;( )

③对角线垂直且相等的四边形是正方形;( B

④四条边都相等的四边形是正方形;( )

4.已知:如图,四边形ABCD为正方形,E、F分别

为CD、CB延长线上的点,且DE=BF.求证:∠AFE=∠AEF

5.如图,E为正方形ABCD内一点,且△EBC是等边三角形,求∠EAD与∠ECD的度数.

6.已知:如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且DE=BF. 求证:EA⊥AF.

课后反思:

⑤四个角相等的四边形是正方形.

( ) C

19.2.3 正方形(二)

一、教学目的

1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.

2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别,通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育,提高学生的逻辑思维能力.

二、重点、难点

1.教学重点:正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.

2.教学难点:正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.

三|、教学过程

自学质疑:

1.有一组邻边,且有一个角__的平行四边形是正方形。

2.正方形的四边__,四角,对角线且__;正方形既是矩形,又是_;既是轴对称图形,又是__。

3.如图正方形ABCD的边长为8,DM=2,N为AC上一点,则DN+MN的最小值为4.如图,正方形ABCD边长为2,两对角线交点为O,OEFG也为正方形,则图中阴影部分面积为5.如图,若四边形ABCD是正方形,△CDE是等边三角形,则∠EAB的度数为.

6. 如图,已知正方形ABCD的面积为256,点F在AD上,点E在AB的延长线上,Rt△CEF的面积为200,则BE的值是.

AD

MADF

AN第4题图B第5题图 B第3题图C

第6题图E

例3 (补充)已知:如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P点.

求证:四边形PQMN是正方形.

合作探究:以小组为单位交流以上问题

展示交流:学生代表展示。

点拨指导;分析:由已知可以证出四边形PQMN是矩形,再证

△ABM≌△DAN,证出AM=DN,用同样的方法证AN=DP.即可证

MN=NP.从而得出结论.

证明:∵ PN⊥l1,QM⊥l1,

∴ PN∥QM,∠PNM=90°.

∵ PQ∥NM,

∴ 四边形PQMN是矩形.

∵ 四边形ABCD是正方形

∴ ∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等,四个角都是直角).

∴ ∠1+∠2=90°.

又 ∠3+∠2=90°, ∴ ∠1=∠3. 出

∴ △ABM≌△DAN.

∴ AM=DN. 同理 AN=DP.

AM+AN=DN+DP

即 MN=PN.

∴ 四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).

总结归纳:由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.

所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质. 检测提升:

1.已知:如图,△ABC中,∠C=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F.求证:四边形CFDE是正方形.

2.已知:如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,AF平分∠DAE交CD于F,求证:AE=BE+DF.

课后反思:

19.3 梯形(一)

一、教学目标:

1. 探索并掌握梯形的有关概念和基本性质,探索、了解并掌握等腰梯形的性质.

2. 能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算,进一步培养学生的分析问题能力和计算能力.

3. 通过添加辅助线,把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题,使学生体会图形变换的方法和转化的思想.

二、重点、难点

1.重点:等腰梯形的性质及其应用.

2.难点:解决梯形问题的基本方法(将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线),及梯形有关知识的应用.

三.教学过程

.创设问题情境——引出梯形概念.

【观察】(教材P106页思考)图中,有你熟悉的图形吗?它们有什么共同的特点?

自学质疑:

1.梯形的定义:_______________________________________________

等腰梯形的定义:___________________________________________

直角梯形的定义:___________________________________________

2.等腰梯形的性质:①______________________;②______________________;

证明以上性质:

AD(2)B

3.学习课本P110 ---9.并在课本上证明和记忆梯形中位线定理

4..自学例1,

合作探究:以小组为单位交流以上问题

展示交流:学生代表展示。

教师点拨 : 强调:①梯形与平行四边形的区别和联系;②上、下底的概念是由底的长短来定义的,而并不是指位置来说的.底:平行的一组对边叫做梯形的底。(较短的底叫做上底,较长的底叫做下底)

结论: ①等腰梯形是轴对称图形,上下底的中点连线是对称轴.

②等腰梯形同一底上的两个角相等.

③等腰梯形的两条对角线相等.

例1(教材P107的例1)略.

梯形辅助线添加方法三)

例2(补充)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,

∠B=70°,∠C=40°,AD=6cm,BC=15cm.

求CD的长.

分析:设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中,

C 便可以解

决问题.其方法是:平移一腰,过点A作AE∥DC交BC于E,因此四边形AECD是平行四边形,由已知又可以得到△ABE是等腰三角形(EA=EB),因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm.

总结归纳:

解决梯形问题常用的方法:

(1)“平移腰”:把梯形分成一个平行四边形和一个三角形(图1);

(2)“作高”:使两腰在两个直角三角形中(图2);

(3)“平移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中(图3);

(4)“延腰”:构造具有公共角的两个等腰三角形(图4);

(5)“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形(图5).

图1 图2 图3 图4 图5

综上所述:解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线,把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决

检测提升:

1.如图在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=DC=AB,BD=BC,求∠A的度数.

AD

B

2.下列命题中,真命题是( )

A、有一组对边平行但不相等的四边形是梯形

B、直角梯形中只有一个直角

C、等腰梯形的对角线相等且互相垂直

D、等腰梯形是轴对称图形,有两条对称轴

3.填空

(1)在梯形ABCD中,已知AD∥BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=a,BC=b,,则DC= .

(2)直角梯形的高为6cm,有一个角是30°,则这个梯形的两腰分别是 和 .

(3)等腰梯形 ABCD中,AB∥DC,A C平分∠DAB,∠DAB=60°,若梯形周长为8cm,则AD=

4.已知:如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB>CD,AD=BC,BD平分∠ABC,∠A=60°,梯形周长是20cm,求梯形的各边的长. (AD=DC=BC=4,AB=8)

.

C

课后反思:

19.3 梯形(二)

一、教学目标:

1.通过探究教学,使学生掌握“同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形”这个判定方法,及其此判定方法的证明.

2.能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算,体会转化的思想,数学建模的思想,会用分析法寻求证明题思路,从而进一步培养学生的分析能力和计算能力.

3.通过添加辅助线,把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题,使学生体会图形变换的方法和转化的思想.

二、重点、难点

1.重点:掌握等腰梯形的判定方法并能运用.

2.难点:等腰梯形判定方法的运用.

三. 教学过程:

(一)、温故知新

1.等腰梯形的两底差等于腰长,腰与下底边两夹角为_______________.

2.一个梯形的两底长分别为6和8,则这个梯形的中位线长为____________.

3.如图(1),等腰梯形ABCD中,AB∥CD,BD⊥AD,BC=CD,∠A=60°,

CD=2cm.(1)求∠CBD的度数;(2)求下底AB的长.

(1)(二)、自学质疑

1.自学P107-108,填空:等腰梯形的判定定理____________________________________________

2.自学例2,并完成P108练习3、4,P109-110 3、7.

(三)合作探究:以小组为单位交流以上问题

(四) 展示交流:学生代表展示。

(五) 点拨指导等腰梯形同一底上两个角相等的逆命题是什么?

命题:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

问:这个命题是否成立?能否加以证明,引导学生写出已知、求证.

启发:能否转化为特殊四边形或三角形,鼓励学生大胆猜想,和求证.

已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C.

求证:AB=CD.

分析:我们学过“如果一个三角形中有两个角相等,那么它们所对的边相等.”因此,我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角,命题就容易证明了.

证明方法1:过点D作DE∥AB交BC于点F,得到△DEC.

∵AB∥DE, ∴∠B=∠1,

∵∠B=∠C, ∴∠1=∠C. ∴DE=DC.

又∵AD∥BC, ∴DE=AB=DC.

证明时,可以仿照性质证明时的分析,来启发学

生添加辅助线DE.

证明方法二:用常见的梯形辅助线方法:过点A作AE⊥BC, 过D作DF⊥BC,垂足分别为E、F(见图一).

证明方法三: 延长BA、CD相交于点E(见图二).

(六)总结归纳:等腰梯形判定方法 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

几何表达式:梯形ABCD中,若∠B=∠C,则AB=DC.

【注意】等腰梯形的判定方法:①先判定它是梯形,②再用“两腰相等”“或同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形.

(七)检测提升

1.下列命题中,是真命题的为( )

A、有一组对边平行,另一组对边相等的四边形是等腰梯形 B、有一组对角互补的梯形是等腰梯形

C、有一组邻角相等的四边形是等腰梯形 D、有两组邻角分别相等的四边形是等腰梯形

2.已知梯形的两底长分别为6、8,一腰长为7,则另一腰长a的到值范围是____________.若a为奇数,则此时梯形为____________梯形.

3、填空

(1)在梯形ABCD中,已知AD∥BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=a,BC=b,,则DC= 。

(2)直角梯形的高为6cm,有一个角是30°,则这个梯形的两腰分别是 和 。

(3)等腰梯形 ABCD中,AB∥DC,A C平分∠DAB,∠DAB=60°,若梯形周长为8cm,则AD=

4.如图,在锐角△ABC中,AD⊥BC于D,E、F、G分别是AC、AB、BC的中点.求证:四边形DEFG是等腰梯形.

A

5. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,∠B=60o.(1)求证:AB⊥AC;(2)若DC=6,求梯形ABCD的面积 .

ADBGDC

BC

作业:109页3题110页7题.

课后反思:

第19章:四边形复习

教学目标:

1、掌握特殊四边形的判定及其性质,能灵活运用特殊四边形的知识解一些实际问题.

2、通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力.

重点:特殊四边形的判定及其性质,应用特殊四边形的知识分析和解决简单的实际问题.

难点:特殊四边形性质的灵活运用,能把相关应用问题转化为数学问题.

教学过程:

一、知识回顾

梳理本章的知识点:

(从图形的定义、性质、判定、面积等方面考虑)

二、课堂展示

例1如图,在□ABCD中,已知AE,CF分别是∠DAB,?∠BCD?的角平分线.?你认为四边形AFCE是平行四边形吗?试说明理由.

例2.如图所示,已知在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,将△ABC沿BC?所在直线

向右平移6个单位,得到△DCE,连结AD.

(1)请找出图中所有的平行四边形.

(2)求四边形ABED的面积.

例3如图,已知四边形ABCD中,AC=BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边

上的中点,求证:四边形EFGH是菱形.

三、随堂练习

1.在□ABCD中,

(1)若∠A=30°,则∠B=______ ,∠C=________ , ∠D=________ .

(2)若∠A:∠B=1:2,则∠A=______ ,∠B=_______, ∠D=_______.

(3)若∠A-∠B=40°,则∠A=______, ∠B=_______.

(3)若∠A+∠C=90°,则∠D=________.

2.如图,在□ABCD中,下列各式不一定正确的是( ).

(A)∠1+∠2=180°;(B)∠2+∠3=180°;

(C)∠3+∠4=180°;(D)∠2+∠4=180°

3、已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.

求证:四边形ABCD是平行四边形.

4.在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AF⊥BD,CE⊥BD,垂足分别为E、F;连结AE、CF,得四边形AFCE,求证:AFCE是平行四边形.

AD B

四、课堂检测

1、在□ABCD中,∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点O,则∠BOC的度数为

2、如图,在菱形ABCD中,AB=BD=5,求:(1)∠BAC的度数;(2)求AC的长。

. 3已知:如图,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC的垂线EF, 交AD于点M,交CD的延长线

于点F.

⑴求证:AM=DM

⑵若DF=2,求菱形ABCD的周长.

五、反思与小结

19.4 课题学习 重心

教学目标:

1.通过寻找几何图形的重心的数学活动,经历探究物体与图形的重心的过程,了解规则几何图形的重心就是它的几何中心.

2.在探索线段、特殊平行四边形、三角形、任意多边形的重心活动等过程,让学生经历观察、实验、猜想等过程,发展几何直觉

3.了解重心的物理意义,体会数学与物理之间的联系,能用实验方法寻找任意多边形的重心. 重点:通过课题学习的任务、目的、结论等环节,培养学生探究能力和创新意识.

难点:实验活动的规范操作,及寻找三角形的重心.

教学过程:

新课讲解 活动一:向学生简略介绍物体重力的产生和重心的含义. 活动二:探究小木条的重心. 结论:重心在小木条所在线段的中点上. 活动三:用带线的重锤与平行四边形及特殊的平行四边形有同一顶点挂起来,找到重力的作用线,这样做二次,得到二条重力作用线的交点,即为平行四边形的重心. 结论:平行四边形的重心是它的对角线的交点. 活动四:探究三角形的重心(让学生自己动手按活动三的方法做,找出三角形的重心) 小结:三角形的重心在三角形三条边的中线的交点上. 活动五:让学按照刚才的方法寻找任意四边形的重心的位置

.

课堂小结: 通过课题学习,你能得到什么结论呢?在哪些体会呢?

课后反思:

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