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26.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

发布时间:2013-12-14 09:36:19  

y
8

7
6 6

5
4 4

3 2 2
1
-10 -5 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -2

1 2 3 4 5 5

x

10

2+k的图像和性质 y=a(x-h)
-4 -6

1.填表
抛物线 开口 对称 顶点 最值 方向 轴 坐标
向下 x=0 (0, 0) 增减性

y ? ?0.5x
2

2

y ? ?0.5x 2 ? 1 向下 x=0

(0, 1)

y ? ?0.5x ?1 向下 x=0 (0, - 1)

y ? 2x

2
2

向上 x=0

(0, 0) (1, 0)

y ? 2( x ?1) 向上 x=1
y ? 2( x ? 1)
2向上

x= - 1 (- 1, 0)

2.上下 平移

1 2 ? 如何由 y ?y 3 x 的图象得到 1 2 1 2 y y ? ? x ? 3 、 ? ? x ? 3 的图象。 3 3 5

4(0,3) 1 2 y ?? x ?3 3 3 2 1 x –5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 –2 (0,-3) 1 2 –3 1 2 y?? x –4 y ? ? x ?3 3 –5 3

3.左右 平移

1 1 2 y ? ? ( x ? 2) 2 如何由 y ? ? yx 的图象得到 3 3 1 2

5 x= - 2 4 x= 2 3 2 (-2,0) 1 (2,0) x O –5–4–3–2–1 1 2 3 4 5 –1 1 2 y ? ? ?x ? 2? –2 1 32 1 –3 2 y?? x y ? ? ?x ? 2? –4 3 3 –5

y ? ? ( x ? 2) 的图象。 3

4.上下平移规律
y=ax2
当c>0时,向上平移c个单位 当c<0时,向下平移 c 个单位

y ? ax ? c
2

5.左右平移规律
y=ax2
当h>0时,向右平移h个单位 当h<0时,向左平移 h 个单位

y=a(x-h)2

6.二次函数y=ax2的图象和性质
抛物线
开口方向

对称轴
顶点坐标

y=ax (a>0) 向上 直线x=0 (0,0)

2

y=ax (a<0) 向下 直线x=0 (0,0)

2

增减性

在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大. 着x的增大而减小.

最值 当x=0时,最小值为0.

当x=0时,最大值为0.

7.二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质
抛物线
开口方向

y=a(x-h)2 (a>0)

y=a(x-h)2 (a<0)

对称轴
顶点坐标

向上 直线x=h (h,0)

向下 直线x=h (h,0)

增减性

在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大. 着x的增大而减小.

最值 当x=h时,最小值为0.

当x=h时,最大值为0.

1 2 例3.画出函数 y ? ? ( x ? 1) ? 1 的图像.指出它的开口方向、 2 顶点与对称轴、

解:
x

先列表
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 … …

1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 … 2

-5.5

-3 -1.5

-1 -1.5

-3 -5.5

再描点

后连线.

解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … …
1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 … 2

-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 直线x=-1
1 y

再描点、连线 (1)抛物线
1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 2

的开口方向、对称轴、顶点? 1 2 抛物线 y ? ? ( x ? 1) ? 1 2 的开口向下,

对称轴是直线x=-1,

顶点是(-1, -1).

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y ? ? 1 ( x ? 1) 2 ? 1
2

1 (2)抛物线 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 2 1 y ? ? x2 2

有什么关系?

1

y x

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 -2 y ? ? ( x ? 1)

2 ? 1 平移方法1: 2 -3 -4 1 2向下平移 1 2 y?? x y ? ? x ?1 -5 2 1个单位 2 -6 -7 向左平移 y ? ? 1 ( x ? 1) 2 ? 1 -8 2 1个单位 -9 -10

平移方法2:

x=-1

1 1 2 向左平移 1 2 向下平移 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 y?? x y ? ? ( x ? 1) 2 2 1个单位 2 1个单位

一般地,抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
平移方法: y=ax2向左(右)平移 y=a(x-h)2 向上(下)平y=a(x-h)2+k |h|个单位 移|k|个单位 y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x-h)2+k 移|h|个单位 移|k|个单位

说出平移方式,并指出其顶点与对称轴。 k>0上移y=ax2+k y=ax2 下移 k<0 左加 右减

左加

右减 y=a(x-h)2+k k>0 上移

y=a(x-h)2 k<0 下移

平移的规律总结:
y=ax2
当h>0时,向右平移h个单位

y=a(x-h)2
当h<0时,向左平移 h 个单位

当k>0时,向上平移k个单位

y=a(x-h)2+k

当k<0时,向下平移 k 个单位

1 2 y ? ? x ? 2 ? ? 2 x=-2 2

y 观察:

(-2,2)

5 4 3 2 1

1 2 1 2 y? x y ? ?x ? 2? ? 2 2 2 1 2 y ? ? x ? 2? ? 3 的图像 2

1 2 y? x 2

x

–5 –4 –3 –2 –1 O –1 1 2 y ? ?x ? 2? ? 3 –2 2 –3 (-2,-3) –4

1 2 3 4 5

抛物线
开口 方向

1 2 y ? ?x ? 2? ? 2 2

1 y ? ? ( x ? 2) 2 ? 3 2

向上
直线x=-2 (-2,2)
当X<-2时,y随着x的增大 而减小.当X>-2时, y随着x 的增大而增大.

向下
直线x=2 (2,-3)
当X<2时,y随着x的增大而 增大. 当X>2时, y随着x的 增大而减小.

对称轴
顶点坐标

增减性

最值 当x=-2时,最小值为2 当x=2时,最大值为-3

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

抛物线
开口方向

y=a(x-h)2+k(a>0)

y=a(x-h)2+k(a<0)

对称轴
顶点坐标

向上 直线x=h (h,k)

向下 直线x=h (h,k)

增减性 在对称轴的左侧,y随着x的 在对称轴的左侧,y随着x的

增大而减小. 在对称轴的右 增大而增大. 在对称轴的右 侧, y随着x的增大而增大. 侧, y随着x的增大而减小.

最值

当x=h时,最小值为k.

当x=h时,最大值为k.

指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口 对称轴 顶点坐标
2

?1?y ? 2?x ? 3?

?5
2

向上 向下 向下 向上

直线x=3 直线x= –1 直线x=0 直线x=2

(3,–5) (–1,0)

?2 ? y ? ? 0 .5 ? x ? 1?
2

3 2 ?3? y ? ? x ? 1 4

(0,–1)
(2, 5) (– 4,2) (3,0)

?4 ? y ? 2 ? x ? 2 ? ? 5 2 ?5?y ? 0.5?x ? 4? ? 2

向上 直线x= – 4

3 2 ?6 ? y ? ? ? x ? 3 ? 4

向下

直线x=3

1.完成下列表格:
二次函数 y=2(x+3)2+5 开口方向 对称轴 顶点坐标

向上 向下 向上 向下

直线x=-3 (-3, 5 ) 直线x=1 ( 1 , -2 ) 直线x=3 直线x=2 ( 3 , 7)
( 2 , -6 )

y=-3(x-1)2-2 y = 4(x-3)2+7

y=-5(2-x)2-6

2.请回答抛物线y = 4(x-3)2+7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =-4(x-3)2+7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?

考考你学的怎么样:
1.抛物线的上下平移
(1)把二次函数y=(x+1)2的图像向上平移3
y=(x+1)2+3 个单位,得到__________的图像;

y=x2+3 (2)把二次函数__________的图像,沿y轴

向下平移2个单位,得到y=x 2+1的图像.

2.抛物线的左右平移 (1)把二次函数y=(x+1) 2的图像,沿x轴向
y=(x+4)2 左平移3个单位,得到________的图像; y=(x+2)2+1 (2)把二次函数_____________的图像,

沿x轴向右平移2个单位,得到y=x 2+1的图像.

3.抛物线的平移:
(1)把二次函数y=3x 2的图像,先向左平

移3个单位,再向下平移2个单位,得到 y=3(x+3)2-2 _____________的图像;
y=-3(x+6)2 (2)把二次函数_____________的图像,

先向下平移2个单位,再向右平移3个单位,
得到y=-3(x+3) 2-2的图像.

4.抛物线
5.抛物线 6.抛物线

y?

1 (-1,0) ?x ? 1?2 的顶点坐标是________; 2

1 2 y ? ?x ? 1? 2

向上平移3个单位后, (-1,3) 顶点的坐标是________;

1 2 x=-1 y ? ?x ? 1? ? 3 的对称轴是_____. 2

7.把二次函数y=4(x-1) 2的图像, 沿x轴向 2 右 _ 平移__个单位,得到图像的对称轴是直 线x=3. 8.把抛物线y=-3(x+2) 2,先沿x轴向右 平移2个单位,再沿y轴向下平移1个单位, y=-3x2-1 得到_____________的图像. 9.把二次函数y=-2x 2的图像,先沿x轴 向左平移3个单位,再沿y轴向下平移2 (-3,-2) 个单位,得到图像的顶点坐标是______.

10.如图所示的抛物线: 0或-2 当x=_____时,y=0; < 当x<-2或x>0时, y_____0; 当x在-2 < x<0范围内时,y>0; _____ -1 3 当x=_____时,y有最大值_____.
3

11、试分别说明将抛物线的图象通 2的图象: 过怎样的平移得到y=x (1) y=(x-3)2+2 ;
先向左平移3个单位,再向下平移2个单位

(2)y=(x+4)2-5
先向右平移4个单位,再向上平移5个单位

12.与抛物线y=--4x 2形状相同,顶点为 (2,-3)的抛物线解析式 y= - 4(x-2)2-3或y= 4(x-2)2-3 为 .

13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示 (1)求解析式
解:∵二次函数图象的顶点是(1,-1), ∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1, ∵其图象过点(0,0), ∴0= a(0-1)2-1, ∴a=1 ∴y= (x-1)2-1

(2)根据图象回答: x<0或x>2 时,y>0; (0,0) 当x 当x x=0或2 时,y=0; 当x 0< x<2 时,y﹤0。

(2,0)

(1,-1)

画出下列函数图象,并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点,最大值或 最小值各是什么及增减性如何?。

y= 2(x-3)2+3 y= ?2(x+3)2-2 y= ?2(x-2)2-1
y= 3(x+1)2+1

各种形式的二次函数的关系
左 个 右 单 平 位 移

y = a( x - h )2 + k

上 个 下 单 平 位 移

|k|

y = ax2 + k
上下平移

结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)

2+k 与y = ax2形状相同,位置不同。

|h|

y = a(x - h )2
左右平移

y = ax2

|k|个单位

|h|个单位

如何平移:
3 y ? ( x ? 1) 2 4

3 2 y ? ( x ? 1) ? 2 4

3 2 y ? ( x ? 3) ? 3 4

3 2 y ? ( x ? 5) ? 2 4

例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直 安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水 平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落 地处离池中心3m,水管应多长?
解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 y=a(x-1)2+3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 0=a(3-1)2+3

y
3 A 2

B(1,3)

3 ∴ 解得: a=- 4 1 因此抛物线的解析式为: 3 y= -(x-1)2+3 (0≤x≤3) O 4 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.

1

2

C(3,0) x 3

一个运动员推铅球,铅球出手点在A处, 出手时球离地面 1 2 m
3

,铅球运行所经

过的路线是抛物线,已知铅球在运动员前 4m处达到最高点,最高点高为3m,你 能算出该运动员的成绩吗?

3米
2 1 3

4米

一场篮球赛中,小明跳起投篮,已知球出手时离地面高 20 米,与篮圈中心的水平距离为8米,当球出手后水平距 9 离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行的轨迹为 抛物线,篮圈中心距离地面3米。

问此球能否投中?

4米
20 9

3米

4米 8米

在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多 少时能将篮球投入篮圈?
6

y
(4,4)

4

? 20 ? ? 0, ? ? 9 ?2

(8,3) ? 20 ? ? 8, ? ? 9 ?

0

1

2

3

4

5 5

6

7

8

9

10

x
-2

在出手角度、力度及高度都不变的情况下,则小明朝着篮 球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈?
6

y
(4,4) (5,4)

4

? 20 ? ? 0, ? ? 9 ?
2

(7,3) (8,3)


0

1

2

3

4

5 5

6

7

8

9

10

X
-2

若假设出手的角度和力度都不变,

则如何才能使此球命中?
(1)跳得高一点
(2)向前平移一点

(1)抛物线y=a(x+2)2-3经过点(0,0), 则a= 。 (2)设抛物线的顶点为(1,-2),且经 过点(2,3),求它的解析式。 (3)抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平 移2个单位得到的抛物线是 。 (4)抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是 。

谈谈你对本节课有什么收获?

作业:P15练习1、2、3、4题

下课了!


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