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25.6三角形内切圆

发布时间:2013-12-14 09:36:24  

25.6 圆 内 切 三 角 形 25.6 圆内切三角形
903班欢迎您的光临!
愿我们一起度过紧 张而美好的45分钟!
授课人 舒成学

1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么?
①.圆心与半径 ②.不在同一直线上的三点

2、叙述角平分线的性质与判定
性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
A

判定:到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

3、下图中△ABC与圆O的关系?
△ABC是圆O的内接三角形; 圆O是△ABC的外接圆
O

圆心O点叫△ABC的外心
B C

三角形的外接圆在实际中很有用,但还 有用它不能解决的问题.如

新 课 引 入

如图是一块三角形木料,木工师傅要 从中裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢? A

B A

C

B

C

新 课 讲 解
E F B

A
r

D
C

O

探 究 : 三 角 形 内 切 圆 的 作 法

思考下列问题:
1.如图,若⊙O与∠ABC 的两边相切,那么圆心O的 位置有什么特点? 圆心0在∠ABC的平分线上。 2.如图2,如果⊙O与 △ABC的内角∠ABC的两边 相切,且与内角∠ACB的两 边也相切,那么此⊙O的圆 心在什么位置? B M

A

O
N
A

C

O

B

图2

C

圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角 的角平分线的交点上。

试一试:

你能画出一个三角形的内切圆吗?

作法: 1、作∠B、∠C的平分线 BM和CN,交点为I。 2.过点I作ID⊥BC,垂足为D。
A

3.以I为圆心,ID为 半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆。
B

N I D

M

C

想一想

1

三角形与圆的位置关系
? 这样的圆可以作出几个?为什么?. ∵直线BE和CF只有一个交点I, 并且点I到△ABC三边的距离相 等(为什么?),
?

A

F
I ●


E

B
?



C

∴因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个, 并且只能作一个.

议一议

3

三角形与圆的位置关系
? 这圆叫做三角形的内切圆.这个 三角形叫做圆的外切三角形. ? 内切圆的圆心是三角形三 条角平分线的交点,叫做三 角形的内心.
?


A

I

B

C

老师提示: ?多边形的边与圆的位置关系称为切.

定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三 角形叫做圆的外切三角形。
性质:1.三角形的内心到三角形各边的距离相等;
2.三角形的内心在三角形的角平分线上; A r O E F B D C

名称

确定方法 三角形三 边中垂线 的交点
B

图形
A

性质

外 心 三 (三角形 角 外接圆的 形 圆心)
内 心 (三角形 内切圆的 圆心)

O

(1)OA=OB=OC (2)外心不一定在 三角形的内部.
C

内 心 和 外 心 的 区 别

三角形三条 角平分线的 交点
B

A

O

(1)到三边的 距离相等; (2)OA、OB、 OC分别平分 ∠BAC、 ∠ABC、 ∠ACB; C (3)内心在三 角形内部.

多边形的内切圆

义:和多边形各边都相切的圆
叫做 多边形的内切 圆 ,这个 多边形叫做 圆的外切多边形 。
E

D

.O

G

F

如上图,四边形DEFG是⊙O的 外切 四边形,

⊙O是四边形DEFG的 内切

圆,

思考:我们所学的平行四边形,矩形,菱形,正方 形,等腰梯形中,哪些四边形一定有内切圆?
(菱形,正方形一定有内切圆)

1.如图1,△ABC是⊙O的
点O叫△ABC的 外心 ,

内接 三角形。

A
. O

⊙ O是△ABC的 外接 圆, 三边中垂线

B
的交点。
三角形,

C D
. I
图2 图1

它是三角形

2.如图2,△DEF是⊙I的 外切 ⊙I是△DEF的 圆,

内切 点I是 △DEF的 心, E 内 它是三角形 的交点。 三条角平分线

F

3. 三角形的内切圆能作____个,圆的外切三角形有 1 无数 个,三角形的内心在三角形的_______. 内部 _____

探讨1:
(1)任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆.

(2)任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形.
(3)任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆. (4)任意一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形 正确说法有_______________________ (1) (3)

1.一个三角形有且只有一个内切圆; 2.一个圆有无数个外切三角形; 3.三角形的内心就是三角形三条内角平

分线的交点; 4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。

例题赏析 例1 如图,在△ABC中,点O是内心, (1)若 ∠ABC=50°, ∠ACB=70°,求∠BOC的度数 A
O
4 3(

解:

(1)∵点O是△ABC的内心, 2 1 1 ∴ ∠1= ∠2= ∠ABC= ?50°= 25° )1 2 2 B 1 1 同理 ∠3= ∠4= ∠ACB= ?70° =35 2 2 ° ∴ ∠BOC=180 °-(∠1+ ∠3) = 180 °-(25°+ 35 °)

C

=120 ° (2)若∠A=80 °,则∠BOC =
(3)若∠BOC=100 °,则∠A =

130 度。 20 度。

(4)试探索: ∠A与∠BOC之间存 在怎样的数量关系?请说明理由。
1 答: ∠BOC =90 ° + ∠A 2
理由: ∵点O是△ABC的内心,
1 1 ∴ ∠1= ∠ABC, ∠3= ∠ACB 2 2 1
2 )1

A O

B

4 3(

C

∴ ∠1+ ∠3 =

2 1 = (180 ° - ∠A ) 2 1

(∠ABC+ ∠ACB)

= 90 ° -

在△OBC中, ∠BOC =180 °-( ∠1+ ∠3 )
1 = 180 °-( 90 ° - ∠A ) 2 1

2

∠A

= 90 °+

2

∠A

例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm, 求AF、BD、CE的长.

解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF=AE,BD=BF,CE=CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE=z(cm)

则有

x+y=9 y+z=14 x+z=13

x=4 解得 y=5 z=9 CE=9(cm).

∴ AF=4(cm), BD=5(cm),

△ABC 的内切圆⊙O 与AB 、 BC 、 AC分别相切于点D、E、F,且AB=5厘米, BC = 9 厘 米 , AC = 6 厘 米 , 则 1厘米 5厘米 4厘米 AD=______,BE=_______,CF=______.
1.

想 一 想 填 一 填

(第 1 题)

三角形的内切圆的有关计算
如图,△ABC

的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l, 求△ABC的面积S. A

解:设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F,
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF, 则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC +S△AOC
1 l· r 2

D F O

·
C

B 1 1 1 = 2 AB· OD+ 2 BC· OE+ 2AC· OF


E

设△ABC的三边为a、b、c,面积为S, 2S 则△ABC的内切圆的半径 r= a+b+c

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b, AB=c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求:Rt△ABC的内切圆的半径 r. 解:设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F, 连结OD、OE、OF则OA⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB。 A ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD=AF,BE=BF,CE=CD 设AD= x , BE= y ,CE= r 则有 x+r=b y+r=a x+y=c
D O F

·
B

a+b-c C 解得 r= 2 a+b-c
2

E

设Rt△ABC的直角边为a、b,斜边为c,则Rt△ABC的
内切圆的半径 r=

或r= a+b+c

ab

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4, ⊙O为 Rt△ABC的内切圆. (1)求Rt△ABC的内切圆的半径 . (2)若移动点O的位置,使⊙O保持与△ABC的边AC、 BC都相切,求⊙O的半径r的取值范围。

解:(1)设Rt△ABC的内切圆与三边相
切于D、E、F,连结OD、OE、OF则 OA⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB。 在Rt△ABC中,BC=3,AC=4, ∴AB=5 ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD=AF,BE=BF,CE=CD

A F D O

·
B

C E 由已知可得四边形ODCE为正方形,∴CD=CE=OD

设AD= x , BE= y ,CE= r x+r=4 则有 y+r=3 解得 r=1 ∴ Rt△ABC的内切圆的 半径为1。 x+y=5

(2)如图所示,设与BC、AC相切的最大圆与BC、 AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC A 为正方形。

∴OB=BC=3 ∴半径r的取值范围为0<r≤3
D O ·

几何问题代数化是 解决几何问题的一 种重要方法。

C

B

看 比 谁 一 做 比 得 快

直角三角形的两直角边分 别是5cm,12cm .则其内切 2cm 圆的半径为______。
A

.O
C B

在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4. 求这个三角形的外接圆半径和内切圆半径.
解:如图:由勾股定理可得:

A

AB ?

AC 2 ? BC 2 ? 3 2 ? 4 2 ? 5
r O

∴外接圆半径R=2.5
由我们推导的三角形的面积公式可知:

S ?ABC ?

1 ( AB ? BC ? AC )r 2

C

B

1 1 AC ? BC ? ( AB ? AC ? BC )r 2 2

1 1 ? 3 ? 4 ? (5 ? 4 ? 3)r 2 2

解得:r=1

小结: 三角形的内切圆 (1)三角形的内心是三角形内切圆的圆心 (2)三角形的内心是三角形各角平分线的交点 (3)三角形内心到三边的距离相等 1 S ? rC (4)三角形面积 2 (C为三角形周长,r为内切圆半径)
(5)直角三角形 的内切圆的半径为r 与 各边长 a、b、c的关系是

a?b?c r? 2

再次感谢您 的 光 临!

欢迎多提宝 贵 意 见!

1、下列图形中,一定有内切圆的四边形是(B )
(A)梯形 (B)菱形 (C)矩形

(D)平行四边形 2、菱形ABCD中,周长为40,∠ABC=120°,则内切 圆的半径为( ) 5 2 2 5 2 (D) 3 (A) 3 (B) 2 (C) 2 3 3 2
A

3、如图,⊙O是△ABC的内切圆, D、E、F是切点,∠A=50°,∠C=60°, 则∠DOE=( ) B D (A)70° (C)120° (B)110° (D)130°
O

F

B

E

C

4、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为 (D ) A (A)1∶ 2 ∶ 3 (B)1∶2∶ 3

(C)1∶ 3∶2

(D)1∶2∶3
B

O R r D C

5、存在内切圆和外接圆的四边形一定是(C ) (A)矩形 (C)正方形 (B)菱形 (D)平行四边形

6.已知:△ABC的内切圆分别和BC、 AC、AB相切于点D、E、F, ∠DIE=120°,∠EIF=130°.求 A △ABC的三个内角的度数.
F


I

E C

B
D

7.如图,△ABC中,E是内心,∠A的平分线和△ABC的 外接圆相交于点D. 求证:DE=DB A DE 2 AE · . = DF
21

E B
3 4 5

F
D

C


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