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26.1.1 二次函数的基本概念(1)用 2

发布时间:2013-12-14 11:41:26  

函数: 在一个变化过程中,如果有两个变

量x与y, 并且对于x的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么就说y 是x的函数, x是自变量.
一次函数
函 数

y=kx+b (k≠0)

(正比例函数) y=kx (k≠0)

反比例函数

y=

k x

(k≠0)

问题1:

正方体六个面 是全等的正方形,设正 方形棱长为 x,表面积为 y ,则 y 关于x 的关系式 为____. y=6x2

问题2:

多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系? n n边形有__个顶点,从一 个顶点出发,连接与这点不相 (n-3) 邻的各顶点,可作___条对 角线.因此,n边形的对角线总 1 n(n-3) 数 d =______. 2
即:d= 1n22 3 2

n

问题3 : 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今
后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍, 那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而 确定, y与x之间的关系怎样表示?

这种产品的原产量是20件,一年后的产量 是 20(1+x) 件,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即两年后的产量为: . y=20(1+x)2 即: y=20x2+40x+20

认真观察以上出现的三个函数解析式,分别说出 哪些是常数、自变量和函数.
函数解析式 自变量 函数

y=6x2
d=
1 2 3 nn 2 2

x
n x

y
d y

这些函数有什 么共同点? 这些函数自变 量的最高次项 都是二次的!

y=20x2+40x+20

二次函数的定义: 一般地,形如 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a 0) ?

的函数,叫做二次函数。
注意: 1、其中,x是自变量,ax2是二次项,a是二次项系数 bx是一次项,b是一次项系数 c是常数项。

2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项. 3 1 2 y=20x2+40x+20 2 d= n n y=6x
2 2

二次函数的一般形式:

y=ax2+bx+c

(a、b、c为常数,a≠0)

二次函数的特殊形式: 2+c 当b=0时, y=ax 2+bx 当c=0时, y=ax 2 当b=0,c=0时, y=ax

函数y ? ax ? bx ? c(其中a, b, c是常数),
2

当a, b, c满足什么条件时
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数? (3)它是正比例函数?

解:( )a ? 0 1 (2)a ? 0, b ? 0 (3)a ? 0, b ? 0, c ? 0

例1、判断:下列函数是否为二次函数, 如果是,指出其中常数a.b.c的值. 2 (1) y=1- 3x (2)y=x(x-5) 1 x2- 3 x+1 (3)y=
2

2

(4) y=3x(2-x)+ 3x2
2

1 (5)y= 2 3x ? 2 x ? 1

(6) y= x 2 ? 5 x ? 6 (8)y=ax2+bx+c

(7)y= 3x3+2x2-1

函数的类型:

一次函数

y=kx+b (k≠0)

函 数

(正比例函数) y=kx (k≠0)

反比例函数

y=

k (k≠0) x

二次函数

y=ax2+bx+c(a ≠ 0)

小试牛刀
下列函数中,哪些是二次函数?

1 (否) 2 x -x (5)y=(x+3)2 (否) (6)v=10πr2(是) -x2 (7) y=x2 +25 (否) (8)y=22 +x3 +2x (否)

1 (1) y=3(x-1)2 (是) (2) y = x + (否) +1 x
(3) s=3-2t2
(是) (4) y =

先化简后判断

例2. y=(m+3)x (1) m取

什么值时,此函数是正比例函数?

m2-7

(2) m取什么值时,此函数是反比例函数?
(3) m取什么值时,此函数是二次函数?

变式训练 如果函数y=

x

k 2 - 3k+ 2

+kx+1是二次函数,

0或3 则k的值一定是______
如果函数y=(k-3)

x x

k 2 - 3k+ 2

+kx+1是二次函数,

0 则k的值一定是______
如果函数y=(k-3)
k 2 - 3k+ 2

+kx+1 (x≠0)是一次

3或1或2 函数,则k的值一定是______

3? 5 或 2

例3、用总长为60m的篱笆围成矩形场地,场地
面积S(m2 )与矩形一边长a(m)之间的关系是什

么?是函数关系吗?是哪一种函数?并求自变量 a的取值范围?

解: S=a(60-2a)

S是 a 的二次函数。

a

因为a和(60-2a)表示边长,即a?0 且 (60-2a) ?0,所以a的取值为0<a<30

练习:
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.

2. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛, 写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式.

小结

拓展

1.定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种形式:
(1)y=ax2

(2)y=ax2+c
(3)y=ax2+bx

2.定义的实质是:ax2+bx+c是整式,自变量x的最高次 数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.

练习.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙 子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树, 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根 据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量?

(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子
树?这时平均每棵树结多少个橙子? 果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子 (3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之 间的关系式.

y=(100+x)(600-5x)=-5x2 +100x+60000

课后巩固 1、将进货单价为40元的商品按50元卖出时,就 能卖出500个,已知这种商品每涨1元,其销售量 就会减少10个,设售价定为X元(x>50)时的利 润为Y元。试求出Y与X的函数关系式,并按 所求的函数关系式计算出售定价为80元时所 得利润


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