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24.2 .3圆与圆的位置关系

发布时间:2013-12-14 14:51:25  

直线和圆的位置关系

d

E

C

复习提问
d F
C

d
C

l

直线 l与⊙A 相交 d <r 两个公共点 直线 l是⊙A的 割线

直线 l与⊙A 相切 d =r 唯一公共 点 直线 l是⊙A的 切线 点C是切点

直线 l与⊙A 相离 d >r 没有公共点
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第24章 圆
24.2 圆与圆的位置关系

下一页

C D A B

提问:平面内的两个圆平移, 它们有什么位置关系?

演示:

返回

下一页 小结

外离

1

演示两圆的位置关系
外切
2

. o

1

o2

.

相交 内切

3

4

演示

内含

5

分别观察两圆R、r和d有何数量关系? ? R O1 r ? O2

o1 ?o2 ? r d R (b)
(b)两圆内切: d=R-r(R>r);

d (a) 结论:(a)两圆外切: d=R+r ;

O1 O2 ? ?

O? R 1

d

r ?O2 (d)

d r R

(c) (c)两圆外离: d>R+r;

(d)两圆内含: d<R-r(R>r)

提问:两圆相交时,它们的数量关系如何?
RA r R r O1 d O2 ? ?

? O1 d

O ? 2

R-r<d<R+r (R>或=r) 结论:两圆相交:
说明概 念间的 关系和 联系

小结

两圆的位置关系

相离 外离 内含

相交

相切

相交 外切 内切

d>R+r d<R-r

R-r <d<R+r

d=R+r d=R-r

两圆两种数量关系用数轴表示:

内含 相交

外离

R-r
内切

R+r
外切

观察:两圆相切有什么性质? [提问]: 通过两圆圆心的直线折叠后, 连心线与切点的关系如何? O? 1 ? O ?
2

? ? O1O2 ? 结论:相切两圆成轴对称图形,两圆圆心 的直线叫连心线是它们的对称轴。 如果两圆相切,那么切点一定在连心线上。

小结

如果两圆相切,那么其中任一个圆的过两圆 切点的切线,也是另一个圆的切线吗?

分析:分两种情况讨论, A
R O1 r O2

一、当两圆外切时, 二、当两圆内切时。
R

O1 O r 2

A

依据:两圆相切,连心线必过切点。
如果两圆相切,那么其中任一个圆的过两圆 切点的切线,也必是另一个圆的切线.

相交两圆的性质定理
相交两圆的连心线垂直平分公共弦
已知:⊙O1和⊙O2相交于A、B(如图) 求证:O1O2是AB的垂直平分线 证明:连结O1A、O1B、O2A、 O2B
A

∵ O1A=O1B ∴ O1点在AB的垂直平分线上 ∵ O2A=O2B

O

1

O2 B

∴ O2点在AB的垂直平分线上
∴ O O 是AB的垂直平分线

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自我评价,记录成长
认真填一填 位置 外离 关系
图 形

外切

相交

内切

内含

性质 及判 定
公共 点个 数 连心 线的 性质

d>R+r

d=R+r

R-r <d<R+r

d=R-r

d<R-r

没有

一个

两个

一个

没有 连心线为

连心线为两圆 的对称轴

连心线经 过切点

连心线垂直 平分公共弦

连心线经 两圆的对 过切点
称轴

巩固练习
在图中有两圆的多种位置关系,请你 找出还没有的位置关系是 外离 .

练习1、 圆O1和圆O2的半径分别为3厘米和4厘米,设 (1)O1O2=9厘米 外离 (2)O1 O2=7厘米; 外切

(3) O1O2=

5厘米 (4)O1 O2=14厘米; 相交 外离

(5)O1 O2=0.5厘米; (6)O1和 O2重合 内含 内含(同心圆)

那么它们有怎样的位置关系?

小试牛刀 例1 1、两圆半径分别是3和6,两圆的圆心距为9 外切 则两圆的位置关系是___________. 2、内切两圆的半径分别是7和5,则圆心距 2 为_____________. 3、两圆只有一个公共点,则它们的位置关系 是______________. 外切或内切

巩固练习
1.已知:⊙O1的半径为4,⊙O2的半径 为5,若⊙O1与 ⊙O2外切,则O1O2 = 9 . 2.已知两圆半径分别为3和7,如果两圆 相交,则圆心距d的取值范围是 4<d<10 . 如果两圆外离,则圆心距d的取值范围 d>10 是_______.





例2 已知两圆半径分别为3和4,圆心的 坐标分别是(0,3)和(4,0),试判断这 两圆的位置关系.
y Y

3

5

0

4

x x

例3
? 若两圆的圆心距是6,两圆的直径是方 程x2-12x+1=0的两根,则两圆的位置 关系如何?

例4:

已知⊙o 的半径为 5cm, OP ? 8cm
(1) ⊙P与⊙o外切,则⊙P的半径为

3cm

.

(2) ⊙P与⊙o内切,则⊙P的半径为 13cm . (3) ⊙P与⊙o相切,则⊙P的半径为 3cm 或13cm .

P· P·

· · o o

o · · P · o · P

例 如图(1),圆o的半径为6厘米,点p是圆外一点, op=10厘米。求:以p为圆心作圆p与圆o相切,圆p的半径是多少?
解: (1)以P为圆心作圆P与圆O外切时 因为两圆外切OP=OA+AP 即 AP=OP-OA=10-6=4厘米 所以:小圆的半径是4厘米。 (2)以P为圆心作圆P与圆O内切时, 因为两圆内切OP=DP-OD 既 DP=OP+OD=10+6=16厘米, 所以:大圆的半径是16厘米。 答:圆P的半径是4厘米或16厘米

D ?

o?

P ? ? A

练习2
定圆O的半径是4厘米,动圆P的半径为1厘米。

(1)设圆P和圆O外切,那么点P和O的距离是多少?
点P在什么样的线上移动?点P的运动轨迹是什么 解:OP=4+1=5厘米; 点P在圆心P 和圆心O的连线上移动。 运动轨迹是:以O为圆心5厘米为半径的圆 (2)设圆O和圆P相内切,情况怎样? 解:OP=4-1=3厘米; 点P在圆心P 和圆心O的连线上移动。 运动轨迹是:以O为圆心3厘米为半径的圆 返回

变(一) 已知⊙o的半径为 5cm, OP ? 3cm ⊙P与⊙o相切,则⊙P的半径为 2cm 或8cm . 变(二) 已知⊙ o 的半径为 5cm, 则半径为 2cm且和 P· P ⊙ o相切的圆的圆心的轨迹为 O点为圆心7cm · o ·· o 或3cm为半径的圆 .

轨迹

2、三角形的三边长分别为4cm、5cm、6cm, 以各顶点为圆心的三个圆两两外切。求各圆的 半径。

3、画三个半径分别为2cm、5cm、2.5cm的圆, 使它们两两外切。

? 已知A,B两点相距4cm,分别以A,B两 点为圆心,以2cm为半径作圆, ? (1)⊙A与⊙B的位置关系如何? ? (2)试问,半径为4cm,且与两个圆都 相切的圆共有几个?


穷千里目 更上一层楼
已知⊙O1和⊙O2外离,作一个⊙O3,使⊙O3和 ⊙O1, ⊙O2都相切

自我评价,记录成长
认真填一填 位置 外离 关系
图 形

外切

相交

内切

内含

性质 及判 定
公共 点个 数 连心 线的 性质

d>R+r

d=R+r

R-r <d<R+r

d=R-r

d<R-r

没有

一个

两个

一个

没有 连心线为

连心线为两圆 的对称轴

连心线经 过切点

连心线垂直 平分公共弦

连心线经 两圆的对 过切点
称轴

两圆两种数量关系用数轴表示:

内含 相交

外离

R-r
内切

R+r
外切

1、圆和圆的五种位置关系。 2、圆心距与半径之间的数量关系是性质定理也是判 定定理。 3、相切两圆的连心线(经过两圆心的直线)必过切 点。可用来证明三点共线。

4、相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。可用 来证明两线垂直或线段相等。
5、两种常用的添辅助线方法:

两圆相交添两圆的公共弦
两圆相切添两圆的公共切线

我思故我在

实践创新:你能做出下面的图形吗?

C D A B

练习 半径为5cm的两个等圆相交, 如果圆心距为8cm ,那么 公共弦的长为 6cm 。
A

o1
B

o2

范例

例1、已知两个等圆相交于A、B, ⊙O1经过点O2,求∠O1AB的度数。
A

o1
B

o2


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