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2013年数学中考试题专题1二次函数与相似三角形

发布时间:2013-12-14 14:51:30  

2013年数学中考试题专题1——二次函数与相似三角形

1、(2013年潍坊市压轴题)如图,抛物线y?ax?bx?c关于直线x?1对称,与坐标轴交于A、B、C三点,且AB?4,点D?2?在抛物线上,直线是一次函数2?

?3?2?

y?kx?2?k?0?的图象,点O是坐标原点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若直线平分四边形OBDC的面积,求k的值.

(3)把抛物线向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线与直线交于M、N两点,问在y轴正半轴上是否存在一定点P,使得不论k取何值,直线PM与PN总是关于y轴对称?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由

.

答案:(1)因为抛物线关于直线x=1对称,AB=4,所以A(-1,0),B(3,0),

由点D(2,1.5)在抛物线上,所以?

又??a?b?c?0,所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5, 4a?2b?c?1.5?b13?1,即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以y??x2?x?. 2a22

13(2)由(1)知y??x2?x?,令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB, 22

73令kx-2=1.5,得l与CD的交点F(,), 2k2

2令kx-2=0,得l与x轴的交点E(,0), k

根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得:OE+CF=DF+BE, 272711??(3?)?(2?),解得k?, k2kk2k5

131(3)由(1)知y??x2?x???(x?1)2?2, 222即:

所以把抛物线向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的解析式为y??12x 2假设在y轴上存在一点P(0,t),t>0,使直线PM与PN关于y轴对称,过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1,垂足分别为M1、N1,因为∠MPO=∠NPO,所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1,

所以MM1PM1?,………………(1) NN1PN1

?xMt?yM?,又yM =k xM-2, yN=k xN-2, xNt?yN

12x中,整理得x2+2kx-4=0, 2不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧,因为P点在y轴正半轴上, 则(1)式变为所以(t+2)(xM +xN)=2k xM xN,……(2) 把y=kx-2(k≠0)代入y??

所以xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入(2)得t=2,符合条件,

故在y轴上存在一点P(0,2),使直线PM与PN总是关于y轴对称.

考点:本题是一道与二次函数相关的压轴题,综合考查了考查了二次函数解析式的确定,函数图象交点及图形面积的求法,三角形的相似,函数图象的平移,一元二次方程的解法等知识,难度较大.

点评:本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题,能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识,解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进,既考查了知识掌握,也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。

4、(2013陕西)

两点. (1)写出这个二次函数的对称轴;

(2)设这个二次函数的顶点为D,与y轴交于点C,

它的对称轴与x轴交于点E,连接AD、DE和DB, 当△AOC与△DEB相似时,求这个二次函数的表达式。 [提示:如果一个二次函数的图象与x轴的交点 为A(x1,0),B(x2,0)A,那么它的表达式可表示

为:y?a(x?x1)(x?x2)] (第24题图) 考点:此题在陕西的中考中也较固定,第(1)问主要考查待定

系数法求二次函数的解析式,二次函数与坐标轴的交点坐标,

抛物线的对称性等简单问题。第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题;包括最短距离与面积的最值等(等腰三角形,平行四边形,正方形,相似三角形,相似,全等等问题。考查问题的综合能力要求较高,基本上都是转化为求点的坐标的过程。

解析:本题中(1)由抛物线的轴对称性可知,与x轴的两个交点关于对称轴对称,易求出对称轴;

(2)由提示中可以设出函数的解析式,将顶点D与E的坐标表示出来,从而将两个三角形的边长表示出来,而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题;

解:(1)对称轴为直线:x=2。

(2)∵A(1,0)、B(3,0),所以设y?a(x?1)(x?3)即y?ax?4ax?3a

当x=0时,y=3a,当x=2时,y=?a

∴C(0,3a),D(2,-a) ∴OC=|3a|, 2

∵A(1,0)、E(2,0),

∴OA=1,EB=1,DE=}-a|=|a|

在△AOC与△DEB中,

∵∠AOC=∠DEB=90° ∴当AODE时,△AOC∽△DEB ?OCEB

∴1|a|时,解得a?或a?? ?33|3a|1

AOEB时,△AOC∽△BED ?OCDE当

∴11时,此方程无解, ?|3a||a|

综上所得:所求二次函数的表达式为:

y?324324x?3x?3或y??x?x? 3333

7、(2013?内江)如图,在等边△ABC中,AB=3,D、E分别是AB、AC上的点,且DE∥BC,将△ADE沿DE翻折,与梯形BCED重叠的部分记作图形L.

(1)求△ABC的面积;

(2)设AD=x,图形L的面积为y,求y关于x的函数解析式;

(3)已知图形L的顶点均在⊙O上,当图形L的面积最大时,求⊙O的面积.

标为(3,0),与y轴交于点C(0,4),以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.

(1)求抛物线的解析式;

(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动,分别交x轴于点E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长;

(3)在(2)的条件下,连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似?若存在,求出此时m的值,并直接判断△PCM的形状;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题.

2分析:(1)将A(3,0),C(0,4)代入y=ax﹣2ax+c,运用待定系数法即可求出抛物线的

解析式;

(2)先根据A、C的坐标,用待定系数法求出直线AC的解析式,进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标,即可得到PM的长;

(3)由于∠PFC和∠AEM都是直角,F和E对应,则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时,分两种情况进行讨论:①△PFC∽△AEM,②△CFP∽△AEM;可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长,根据相似三角形对应边的比相等列出比例式,求出m的值,再根据相似三角形的性质,直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状.

2解答:解:(1)∵抛物线y=ax﹣2ax+c(a≠0)经过点A(3,0),点C(0,4),

∴,解得,

∴抛物线的解析式为y=﹣x+x+4;

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,

∵A(3,0),点C(0,4), ∴,解得, 2

∴直线AC的解析式为y=﹣x+4.

∵点M的横坐标为m,点M在AC上,

∴M点的坐标为(m,﹣ m+4),

2∵点P的横坐标为m,点P在抛物线y=﹣x+x+4上,

2∴点P的坐标为(m,﹣ m+m+4),

22∴PM=PE﹣ME=(﹣m+m+4)﹣(﹣m+4)=﹣m+4m,

2即PM=﹣m+4m(0<m<3);

(3)在(2)的条件下,连结PC,在CD上方的抛物线部分存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似.理由如下:由题意,可得AE=3﹣m,EM=﹣m+4,CF=m,PF=

22﹣m+m+4﹣4=﹣m+m.

若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似,分两种情况:①若△PFC∽△AEM,则PF:AE=FC:EM,

2即(﹣m+m):(3﹣m)=m:(﹣ m+4),

∵m≠0且m≠3, ∴m=.

∵△PFC∽△AEM,∴∠PCF=∠AME,

∵∠AME=∠CMF,∴∠PCF=∠CMF.

在直角△CMF中,∵∠CMF+∠MCF=90°,

∴∠PCF+∠MCF=90°,即∠PCM=90°,

∴△PCM为直角三角形;

②若△CFP∽△AEM,则CF:AE=PF:EM,

2即m:(3﹣m)=(﹣m+m):(﹣m+4),

∵m≠0且m≠3,

∴m=1.

∵△CFP∽△AEM,∴∠CPF=∠AME,

∵∠AME=∠CMF,∴∠CPF=∠CMF.

∴CP=CM,

∴△PCM为等腰三角形.

综上所述,存在这样的点P使△PFC与△AEM相似.此时m的值为

角形或等腰三角形. 或1,△PCM为直角三

点评:此题是二次函数的综合题,其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式,矩形的性质,相似三角形的判定和性质,直角三角形、等腰三角形的判定,难度适中.要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时,要分类讨论,以免漏解.

10、(2013?曲靖压轴题)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A、

2B两点,过A、B两点的抛物线为y=﹣x+bx+c.点D为线段AB上一动点,过点D作CD⊥x

轴于点C,交抛物线于点E.

(1)求抛物线的解析式.

(2)当DE=4时,求四边形CAEB的面积.

(3)连接BE,是否存在点D,使得△DBE和△DAC相似?若存在,求此点D坐标;若不存在,说明理由.

15、(2013浙江丽水压轴题)如图1,点A是x轴正半轴上的动点,点B坐标为(0,4),M是线段AB的中点,将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C,过点C作x轴的垂线,垂

足为F,过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E,点D点A关于直线CF的对称点,连结AC,BC,CD,设点A的横坐标为t

(1)当t?2时,求CF的长;

(2)①当t为何值时,点C落在线段BD上?

②设△BCE的面积为S,求S与t之间的函数关系式;

(3)如图2,当点C与点E重合时,△CDF沿x轴左右平移得到△C’D’F’,再将A,

B,C’,D’为顶点的四边形沿C’F’剪开,得到两个图形,用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形,请直接写出所有符合上述条件的点C’的坐标。

17、(2013?自贡)将两块全等的三角板如图①摆放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°.

(1)将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②,点P1是A1C与AB的交点,点Q是A1B1与BC的交点,求证:CP1=CQ;

(2)在图②中,若AP1=2,则CQ等于多少?

(3)如图③,在B1C上取一点E,连接BE、P1E,设BC=1,当BE⊥P1B时,求△P1BE面积的最大值.

与y轴交于点C,点D为顶点.

(1)求点B及点D的坐标.

(2)连结BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.

①若线段BD上一点P,使∠DCP=∠BDE,求点P的坐标.

②若抛物线上一点M,作MN⊥CD,交直线CD于点N,使∠CMN=∠BDE,求点M的坐标.

二次函数y=ax+bx+c的图象经过点A,B,与x轴分别交于点E,F,且点E的坐标为(﹣22,30),以0C为直径作半圆,圆心为D.

(1)求二次函数的解析式;

(2)求证:直线BE是⊙D的切线;

(3)若直线BE与抛物线的对称轴交点为P,M是线段CB上的一个动点(点M与点B,C不重合),过点M作MN∥BE交x轴与点N,连结PM,PN,设CM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.S是否存在着最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.

次函数y=x+3的图象与y轴的交点,点B在二次函数的图象上,且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.

(1)试求b,c的值,并写出该二次函数表达式;

(2)动点P从A

到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:①当P运动到何处时,有PQ⊥AC?

②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?

考点:二次函数综合题.

分析:(1)根据一次函数解析式求出点A.点C坐标,再由△ABC是等腰三角形可求出点B坐标,根据平行四边形的性性质求出点D坐标,利用待定系数法可求出b、c的值,继而得出二次函数表达式.

(2)①设点P运动了t秒时,PQ⊥AC,此时AP=t,CQ=t,AQ=5﹣t,再由△APQ∽△CAO,利用对应边成比例可求出t的值,继而确定点P的位置;

②只需使△APQ的面积最大,就能满足四边形PDCQ的面积最小,设△APQ底边AP上的高为h,作QH⊥AD于点H,由△AQH∽CAO,利用对应边成比例得出h的表达式,继而表示出△APQ的面积表达式,利用配方法求出最大值,即可得出四边形PDCQ的最小值,也可确定点P的位置.

解答:解:(1)由y=﹣x+3,

令x=0,得y=3,所以点A(0,3);

令y=0,得x=4,所以点C(4,0),

∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形,

∴B点坐标为(﹣4,0),

又∵四边形ABCD是平行四边形,

∴D点坐标为(8,3),

将点B(﹣4,0)、点D(8,3)代入二次函数y=x+bx+c,可得2, 解得:,

2故该二次函数解析式为:y=x﹣x﹣3.

(2)①设点P运动了t秒时,PQ⊥AC,此时AP=t,CQ=t,AQ=5﹣t, ∵PQ⊥AC,

∴△APQ∽△CAO, ∴=,即=

个单位长度处,有PQ⊥AC. , 解得:t=即当点P运动到距离A点

②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD,且S△ACD=3833=12,

∴当△APQ的面积最大时,四边形PDCQ的面积最小,

当动点P运动t秒时,AP=t,CQ=t,AQ=5﹣t,

设△APQ底边AP上的高为h,作QH⊥AD于点H,由△AQH∽CAO可得: =解得:h=(5﹣t),

∴S△APQ=t3(5﹣t)=(﹣t+5t)=﹣2, (t﹣)+2,

=,

∴当t=时,S△APQ达到最大值,此时S四边形PDCQ=12﹣故当点P运动到距离点A个单位处时,四边形PDCQ面积最小,最小值为

点评:本题考查了二次函数的综合,涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是找到满足题意时的相似三角形,利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式,难度较大.

26、(2013?包头压轴题)已知抛物线y=x﹣3x﹣的顶点为点D,并与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C.

(1)求点A、B、C、D的坐标;

(2)在y轴的正半轴上是否存在点P,使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)取点E(﹣,0)和点F(0,﹣),直线l经过E、F两点,点G是线段BD的中点. ①点G是否在直线l上,请说明理由;

②在抛物线上是否存在点M,使点M关于直线l的对称点在x轴上?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

2

为Q(2,3),点D在x轴正半轴上,且OD=OC.

(1)求直线CD的解析式;

(2)求抛物线的解析式;

(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,求证:△CEQ∽△CDO;

(4)在(3)的条件下,若点P是线段QE上的动点,点F是线段OD上的动点,问:在P点和F点移动过程中,△PCF的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.

OC=3,以O为原点,OC、OA所在直线为轴建立坐标系.抛物线顶点为A,且经过点C.点P在线段AO上由A向点O运动,点O在线段OC上由C向点O运动,QD⊥OC交BC于点D,OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E.

(1)求抛物线的解析式;

2)点E′是E关于y轴的对称点,点Q运动到何处时,四边形OEAE′是菱形?

(3)点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发,运动的时间为t秒,当t为何值时,PB∥OD?

抛物线的顶点为D点,点A的坐标为(﹣1,0

).

(1)求D点的坐标;

(2)如图1,连接AC,BD并延长交于点E,求∠E的度数;

(3)如图2,已知点P(﹣4,0),点Q在x轴下方的抛物线上,直线PQ交线段AC于点M,当∠PMA=∠E时,求点Q的坐标.

△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,抛物线过点B、C和D(3,0).

(1)求直线BD和抛物线的解析式.

(2)若BD与抛物线的对称轴交于点M,点N在坐标轴上,以点N、B、D为顶点的三角形与

△MCD相似,求所有满足条件的点N的坐标.

(3)在抛物线上是否存在点P,使S△PBD=6?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

39、(2013?黔西南州压轴题)如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C

(1)求抛物线的函数解析式.

(2)设点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且以AO为边的四边形AODE是平行四边形,求点D的坐标.

(3)P是抛物线上第一象限内的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P,M,A为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(2013山东德州,24,12分)如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转900,得到△DOC。抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C。

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t。

①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F。求出当△CEF与△COD相似时点P的坐标;

②是否存在一点P,使△PCD的面积最大?若存在,求出△PCD面积的最大值;若不存在,请说明理由。

【思路分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式;(2)求动点P坐标,需要进行探究,分类讨论存在情况,结合相似、列一元二次方程解题;要探究使△PCD的面积最大,寻求PN=PM-NM,S△PCD=△PCN+△PND列出二次函数模型来解决.

【解】(1)在Rt△AOB中,OA=1,tan∠BAO=3

∵tan∠BAO=OA OB

∴OB=OA2tan∠BAO=3 0∵△DOC是由△AOB绕原点O逆时针旋转90而得到的。

∴OC=OB=3,OD=OA=1

∴A、B、C三点的坐标分别为(1,0),(0,3),(-3,0) 代放抛物线解析式得,

a+b+c=0

c=3

9a-3b+c=0

解之得,a=-1,b=-2,c=3

∴抛物线的解析式为:y=-x2-2x+3 (2)①抛物线y=-x2-2x+3的对称轴l为:x=?b= -1 2a

∴E点坐标为(-1,4)

(ⅰ)当∠CEF=900时,△CEF∽△COD,此时点P在对称轴上,即点P为抛物线的顶点。坐标为(-1,4)

(ⅱ)当∠CFE=900时,△CFE∽△COD。过点P做PMCA

于点M,则△EFC∽△EMP。EMEFDO1???, MPFCOC3

∴MP=3EM.

即:-t2-2t+3=3(-1-t)。

整理得:t2-t-6=0

解之得:t1=-2,t2=-3(不合题意,舍去)。

所以此时点P的坐标为(-2,3)

所以当△CEF与△COD相似时点P的坐标分别为:(-1,4)

或(-2,3)。

??3k?m?0?1m?1②设直线CD的解析式为:y=kx+m则得: ? ,解之得:k=,m=1 3

所以直线CD的解析式为:y=1x+1 3

1t+1). 3

17∴ PN=PM-NM=-t2-2t+3-(t+1)=-t2-t+2 33设PM与CD的交点为N,则点N的坐标为(t,

则S△PCD=△PCN+△PND 1111PN3CM+PN3OM=PN3(CM+OM)=PN3OC 2222

3737121=(-t2-t+2)=-(t+)2+ 232624

7121∴当t=-时,S△PCD的最大值为。 624=【方法指导】本题主要考查二次函数、一次函数与相似三角形、旋转等结合,具有较强探究性、同时融合方程思想、分类讨论思想、函数建摸等.

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