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2013年数学中考试题专题4二次函数与特殊三角形

发布时间:2013-12-14 14:51:31  

2013年数学中考试题专题4——二次函数与特殊三角形

17. (2013江苏泰州,26,14分) 已知:关于x的二欠函数y??x2?ax(a?0),点Any(,)1,

B(n?1,y2),C(n?2,y3)都在这个二次函数的图象上,其中n为正整数.

(1)若y1?y2,请说明a必为奇数,

(2)设a=11,求使y1?y2?y3成立的所有n的值;

(3)对于给定的正实数a,是否存在n,使△ABC是以AC为底边的等腰三角形?如果存

在,求n的值(用含a的代数式表示);如果不存在,请说明理由. 【思路分析】(1)根据y1?y2推出a?2n?1;(2)当a=11时,有y1?y2?y3,根据

增减性,求出n的取值范围;(3)假设存在,则AB=BC,进一步分析,得n?

【解】(1) )若y1?y2,则?n?an??(n?1)?a(n?1)即:a?2n?1

∴a必为奇数. 1a?1. 222

(2) 当a=11时,∵y1?y2?y3

∴?n2?11n??(n?1)2?11(n?1)??(n?2)2?11(n?2)

化简得:0??2n?10??4n?18

解得:n?4

∵n为正整数. ∴n?1、2、3、4.

关于x的二欠函数y??x?ax(a?0),点A(n,y1),B(n?1,y2),C(n?2,y3)都

在这个二次函数的图象上,其中n为正整数.

(3)假设存在,则AB=BC

∴2

即:两边平方得:

((n?1)?n)2?((?(n?1)2?a(n?1))?(?n2?an))2?((n?2)?(n?1))2?(((?(n?2)2?a(n?2))?((?(n?1)2?a(n?1)))2

化简得: ((?(n?1)2?a(n?1))?(?n2?an))2?(((?(n?2)2?a(n?2))?((?(n?1)2?a(n?1)))2

(?2n?1?a)2?(?2n?3?a)2 ∴n?1a?1 2

【方法指导】本题考查了二次函数的图象与性质、不等式、代数式、等腰三角形等知识综合

22、(绵阳市2013年)如图,二次函数y=ax+bx+c

x轴于A、B两点,其中A(-1,0),直线l:x=m(m>1)与x轴交于D。

(1)求二次函数的解析式和B的坐标;

(2)在直线l上找点P(P在第一象限),使得以P、

D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相

似,求点P的坐标(用含m的代数式表示);

(3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第

一象限内的点Q,使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存

在,请说明理由。

2解:(1)①二次函数y=ax+bx+c图象的顶点C的坐b标为(0,-2),c = -2 , - = 0 , b=0 , 2a

点A(-1,0)、点B是二次函数y=ax-2 的图象与x轴的交点,a-2=0,a=2. 二次函数的解析

2式为y=2x-2;

②点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称,点B的坐标为(1,0);

(2)∠BOC=∠PDB=90o,点P在直线x=m上,

设点P的坐标为(m,p), OB=1, OC=2, DB= m-1 , DP=|p| ,

OBDP1|p|m-11- m①当△BOC∽△PDB时,= ,= 或p = , OCDB2m-122

m-11- m点P的坐标为(m,)或(m,); 22

OBDB1m-1②当△BOC∽△BDP时, = ,= ,p=2m-2或p=2-2m, OCDP2|p|

点P的坐标为(m,2m-2)或(m,2-2m);

m-11- m综上所述点P的坐标为(m,)、(m,)、(m,2m-2)或(m,2-2m); 22

(3)不存在满足条件的点Q。

2点Q在第一象限内的抛物线y=2x-2上,

2令点Q的坐标为(x, 2x-2),x>1, 过点Q作QE⊥直线l ,

垂足为E,△BPQ为等腰直角三角形,PB=PQ,∠PEQ=∠PDB,

∠EPQ=∠DBP,△PEQ≌△BDP,QE=PD,PE=BD,

m-1① 当P的坐标为(m,)时, 2

m-1m-x = ,2

m-112 2x-2- 22

与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件;

1- m② 当P的坐标为(m, )时, 22

m-12

x-m= 2

91- m52

2x-2- 26与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件;

③ 当P的坐标为(m,2m-2)时,

9

252

2与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件; ④当P的坐标为(m,2-2m)时,

5

1872

2x6与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件; 综上所述,不存在满足条件的点Q。

5、(2013成都市压轴题)在平面直角坐标系中,已知抛物线y??12x?bx?c(b,c为常2

数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限。

(1)如图,若该抛物线过A,B两点,求抛物线的函数表达式;

(2)平(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上滑动,且与AC交于另一点Q.

i)若点M在直线AC下方,且为平移前(1)中的抛物线上点,当以M,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时,求出所有符合条件的M的坐标;

ii)取BC的中点N,连接NP,BQ。试探究PQ是否存在最大值?若存在,求NP?BQ

出该最大值;所不存在,请说明理由。

解析:

(1)A(0,-1) C(4,3) 则|AC|

?ABC为等腰直角三角形 ∴AB=BC=4

∴B点(4,-1)将A,B代入抛物线方程有

c??1??c??1??? ?1b?2??16?4b?c??1???2

∴y??12x?2x?1 2

(2)当顶点P在直线AC上滑动时,平移后抛物线与AC另一交点Q就是A点沿直线AC滑动同样的单位。下面给予证明:

121(x?4x?4)?1??(x?2)2?1 顶点P为(2,1) 22

12设平移后顶点P为(a,a-1),则平移后抛物线y???(x?a)?a?1 联立y=x-1(直线AC方2 原抛物线y??

程)

得Q点为(a-2,a-3)

∴|PQ|

=即实际上是线段AP在直线AC上的滑动.

ⅰ)点M在直线AC下方,且M,P,Q构成等腰直角三角形,那么先考虑使MP,Q构成等腰直角三角形的M点的轨迹,再求其轨迹与抛物线的交点以确定M点.

①若∠M为直角,则M点轨迹即为AC下方距AC为MH且与AC平行的直线l

又知|PQ|

=,则|MH|

|PM|=2

直线l即为AC向下平移|PM|=2个单位 L:y=x-3 联立y??

得x=1

M点为(

)或(

②若∠P=或∠Q为直角,即PQ为直角边,MQ⊥PQ且,

MQ=PQ=或MP⊥PQ,且

MP=PQ=∴M点轨迹是AC下方距AC

为AC平行直线L

直线L即为AC向下平移|MP|=4个单位

L:y=x-5 联立y??12x?2x?1 212x?2x?1得x=4或x=-2 2

∴M点为(4,-1)或(-2,-7)

综上所有符合条件的点M为(

)(4,-1);(

),(-2,-7)

ⅱ)知

PQ=PQ有最大值,即NP+BQ有最小值 MP?BQ

如下图,取AB中点M,连结QM,NM,知N为中点

∴MN为AC边中位线,∴MN∥AC且MN=

∴MN?PQ ∴MNPQ为平行四边形

即PN=QM ∴QB+PN=BQ+MQ

此时,作B点关于AC对称的点B′,连B?Q,B?M

1AC=2

B?M交AC于点H,易知B?Q=BQ

∴BQ+PN=B?Q+MQ≥B?M(三角形两边之和大于第三边)

仅当Q与H重合时,取等号

即BQ+PN最小值存在 且最小值为B?M

连结A?B知?ABB?为等腰直角三角形。

A?B=4,AM=

∴1AB=2

∴由勾股定理得B?M? 2PQ?

NP?

BQ

6、(2013山西压轴题,26,14分)(本题14分)综合与探究:如图,抛物线y=123x-x-442

与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q

(1)求点A,B,C的坐标。

(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD,BC于点M,N。试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由。

(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点 Q,使△BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。

解析:(1)当y=0时,123x-x-4=0,解得,x1=-2,x2=8 42

∵点B在点A的右侧,

∴点A,B的坐标分别为:(-2,0),(8,0)

当x=0时,y=-4

∴点C的坐标为(0,-4),

(2)由菱形的对称性可知,点D的坐标为(0,4).

ì1?b=4设直线BD的解析式为y=kx+b,则í.解得,k=-,b=4. 2??8k+b=0

∴直线BD的解析式为y=-1x+4. 2

113m+4),(m,m2-m-4) 242∵l⊥x轴,∴点M,Q的坐标分别是(m,-

如图,当MQ=DC时,四边形CQMD是平行四边形. ∴(-113m+4)-(m2-m-4)=4-(-4) 242

化简得:m2-4m=0.解得,m1=0,(舍去)m2=4.

∴当m=4时,四边形CQMD是平行四边形.

此时,四边形CQBM是平行四边形.

解法一:∵m=4,∴点P是OB中点.∵l⊥x轴,∴l∥y轴. ∴△BPM∽△BOD.∴BPBM1==.∴BM=DM. BOBD2

∵四边形CQMD是平行四边形,∴DMCQ∴BMCQ.∴四边形CQBM为平行四边形.

ì1?b1=-4解法二:设直线BC的解析式为y=k1x+b1,则í.解得,k1=,b1=-4 2??8k1+b1=0

∴直线BC的解析式为y=1x-4 2

又∵l⊥x轴交BC于点N.∴x=4时,y=-2. ∴点N的坐标为(4,-2)由上面可知,点M,Q的坐标分别为:(4,2),Q(4,-6).

∴MN=2-(-2)=4,NQ=-2-(-6)=4.∴MN=QN.

又∵四边形CQMD是平行四边形.∴DB∥CQ,∴∠3=∠4,

又∠1=∠2,∴△BMN≌△CQN.∴BN=CN.

∴四边形CQBM为平行四边形.

(3)抛物线上存在两个这样的点Q,分别是Q1(-2,0),Q2(6,-4).

7、(2013?内江)如图,在等边△ABC中,AB=3,D、E分别是AB、AC上的点,且DE∥BC,将△ADE沿DE翻折,与梯形BCED重叠的部分记作图形L.

(1)求△ABC的面积;

(2)设AD=x,图形L的面积为y,求y关于x的函数解析式;

(3)已知图形L的顶点均在⊙O上,当图形L的面积最大时,求⊙O的面积.

A、B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,且经过点(b-2,2b-5b-1).

(1)求这条抛物线的解析式;

(2)⊙M过A、B、C三点,交y轴于另一点

D,求点M的坐标;

(3)连接AM、DM,将∠AMD绕点M顺时针旋转,两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F,若△DMF为等腰三角形,求点E的坐标.

解析:(1)把点(b-2,2b-5b-1)代入解析式,得

2b-5b-1=(b-2)+b(b-2)-3b+3, ?????1′

解得b=2.

2∴抛物线的解析式为y=x+2x-3. ?????2′

2(2)由x+2x-3=0,得x=-3或x=1.

∴A(-3,0)、B(1,0)、C(0,-3).

抛物线的对称轴是直线x=-1,圆心M在直线x=-1上. ?????3′ ∴设M(-1,n),作MG⊥x轴于G,MH⊥y轴于H,连接MC、MB.

∴MH=1,BG=2. ?????4′

2222∵MB=MC,∴BG+MG=MH+CH,

22即4+n=1+(3+n),解得n=-1,∴点M(-1,-1) ?????5′

(3)如图,由M(-1,-1),得MG=MH.

∵MA=MD,∴Rt△AMG≌RtDMH,∴∠1=∠2.

由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME≌△DMF.

若△DMF为等腰三角形,则△AME为等腰三角形. ?????6′ 设E(x,0),△AME为等腰三角形,分三种情况:

①AE=AM=5,则x=5-3,∴E(-3,0);

②∵M在AB的垂直平分线上,

∴MA=ME=MB,∴E(1,0) ?????7′

③点E在AM的垂直平分线上,则AE=ME. 222

AE=x+3,ME2=MG2+EG2=1+(-1-x)2,∴(x+3)2=1+(-1-x)2,解得x=?,∴E(?,0).

∴所求点E的坐标为(-3,0),(1,0),(?

14、(2013四川宜宾压轴题)如图,抛物线y1=x﹣1交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B,将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2,两条抛物线相交于点C.

(1)请直接写出抛物线y2的解析式;

(2)若点P是x轴上一动点,且满足∠CPA=∠OBA,求出所有满足条件的P点坐标;

274747,0) ?????8′ 4

(3)在第四象限内抛物线y2上,是否存在点Q,使得△QOC中OC边上的高h有最大值?若存在,请求出点Q的坐标及h的最大值;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题.

专题:代数几何综合题.

分析:(1)写出平移后的抛物线的顶点坐标,然后利用顶点式解析式写出即可;

(2)根据抛物线解析式求出点A、B的坐标,然后求出∠OBA=45°,再联立两抛物线解析式求出交点C的坐标,再根据∠CPA=∠OBA分点P在点A的左边和右边两种情况求解;

(3)先求出直线OC的解析式为y=x,设与OC平行的直线y=x+b,与抛物线y2联立消掉y得到关于x的一元二次方程,再根据与OC的距离最大时方程有且只有一个根,然后利用根的判别式△=0列式求出b的值,从而得到直线的解析式,再求出与x轴的交点E的坐标,得到OE的长度,再过点C作CD⊥x轴于D,然后根据∠COD的正弦值求解即可得到h的值.

解答:解:(1)抛物线y1=x﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为(4,﹣1),

所以,抛物线y2的解析式为y2=(x﹣4)﹣1;

(2)x=0时,y=﹣1, 22

y=0时,x2﹣1=0,解得x1=1,x2=﹣1,

所以,点A(1,0),B(0,﹣1),

∴∠OBA=45°, 联立, 解得,

∴点C的坐标为(2,3),

∵∠CPA=∠OBA,

∴点P在点A的左边时,坐标为(﹣1,0),

在点A的右边时,坐标为(5,0),

所以,点P的坐标为(﹣1,0)或(5,0);

(3)存在.

∵点C(2,3),

∴直线OC的解析式为y=x,

设与OC平行的直线y=x+b, 联立,

消掉y得,2x﹣19x+30﹣2b=0,

当△=0,方程有两个相等的实数根时,△QOC中OC边上的高h有最大值, 此时x1=x2=×(﹣

此时y=(22)=, ,

,﹣),使得△QOC中OC边上的高h有最大值, ﹣4)﹣1=﹣∴存在第四象限的点Q(2此时△=19﹣4×2×(30﹣2b)=0,

解得b=﹣,

, ∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=x﹣

令y=0,则x﹣=0,解得x=,

,0), 设直线与x轴的交点为E,则E(

过点C作CD⊥x轴于D,根据勾股定理,OC=则sin∠COD=解得h最大==×, =. =,

点评:本题是二次函数综合题型,主要考查了利用平移变换确定二次函数解析式,联立两函数解析式求交点坐标,等腰三角形的判定与性质,(3)判断出与OC平行的直线与抛物线只有一个交点时OC边上的高h最大是解题的关键,也是本题的难点.

三点,已知点A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0).

(1)求此抛物线的解析式.

(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点,(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.

①动点P在什么位置时,△PDE的周长最大,求出此时P点的坐标;

②连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时,求出对应的P点的坐标.(结果保留根号)

作矩形OABC,∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发,以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动;同时点Q从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒.

(1)当点P移动到点D时,求出此时t的值;

(2)当t为何值时,△PQB为直角三角形;

2(3)已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=﹣(x﹣t)+t(t>0).问是否存在某一时

刻t,将△PQB绕某点旋转180°后,三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

与y轴交于点C,点D为顶点.

(1)求点B及点D的坐标.

(2)连结BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.

①若线段BD上一点P,使∠DCP=∠BDE,求点P的坐标.

②若抛物线上一点M,作MN⊥CD,交直线CD于点N,使∠CMN=∠BDE,求点M的坐标.

(1)求抛物线对应的函数关系式;

(2)动点Q从点O出发,以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动,同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动,过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒.

①当t为何值时,四边形OMPQ为矩形;

②△AON能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标;

(3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得△ADM是直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

B(3,),C(1,),动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动,动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动,当点P到达A点时,点Q也随之停止,设点P,Q运动的时间为t(秒).

(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;

(2)当点Q在CO边上运动时,求△OPQ的面积S与时间

t的函数关系式;

(3)以O,P,Q顶点的三角形能构成直角三角形吗?若能,请求出t的值;若不能,请说明理由;

(4)经过A,B,C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗?若能,请求出此时t的值(或范围),若不能,请说明理由).

的图象交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2);(x1<x2)

(1)当k=1,m=0,1时,求AB的长;

(2)当k=1,m为任何值时,猜想AB的长是否不变?并证明你的猜想.

(3)当m=0,无论k为何值时,猜想△AOB的形状.证明你的猜想.

(平面内两点间的距离公式).

24.(2013兰州,28,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x轴上两点,C、

D为y轴上的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物

线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线成为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,﹣),点M是抛物线C2:y=mx2﹣2mx﹣3m(m<0)的顶点.

(1)求A、B两点的坐标;

(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,求出△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由;

(3)当△BDM为直角三角形时,求m的值.

考点:二次函数综合题.

分析:(1)将y=mx2﹣2mx﹣3m化为交点式,即可得到A、B两点的坐标;

(2)先用待定系数法得到抛物线C1的解析式,过点P作PQ∥y轴,交BC于Q,用待定系数法得到直线BC的解析式,再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值;

(3)先表示出DM2,BD2,MB2,再分两种情况:①DM2+BD2=MB2时;②DM2+MB2=BD2时,讨论即可求得m的值.

解答:解:(1)y=mx2﹣2mx﹣3m=m(x﹣3)(x+1), ∵m≠0,

∴当y=0时,x1=﹣1,x2=3, ∴A(﹣1,0),B(3,0);

(2)设C1:y=ax2+bx+c,将A、B、C三点的坐标代入得:, 解得,

故C1:

y=x2﹣x﹣.

如图:过点P作PQ∥y轴,交BC于Q,

由B、C的坐标可得直线BC的解析式为:y=x﹣, 设P(x,x2﹣x﹣),则Q(x,x﹣),PQ=x﹣﹣(x2﹣x﹣)=﹣x2+x,

S△PBC

=PQ?OB=×(﹣x2+x)×3=﹣(x﹣)2+当x=时,S△PBC有最大值,Smax=×()2﹣﹣=﹣P(,﹣

);

(3)y=mx2﹣2mx﹣3m=m(x﹣1)2﹣4m,顶点M坐标(1,﹣4m), 当x=0时,y=﹣3m, ∴D(0,﹣3m),B(3,0),

∴DM2=(0﹣1)2+(﹣3m+4m)2=m2+1, MB2=(3﹣1)2+(0+4m)2=16m2+4, BD2=(3﹣0)2+(0+3m)2=9m2+9,

当△BDM为Rt△时有:DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2.①DM2+BD2=MB2时有:m2+1+9m2+9=16m2+4, 解得m=﹣1(∵m<0,∴m=1舍去);

②DM2+MB2=BD2时有:m2+1+16m2+4=19m2+9,解得m=﹣

(m=

舍去).

时,△BDM为直角三角形.

综上,m=﹣1或﹣

点评:考查了二次函数综合题,涉及的知识点有:抛物线的交点式,待定系数法求抛物线的解析式,待定系数法求直线的解析式,三角形的面积公式,配方法的应用,勾股定理,分类思想的运用,综合性较强,有一定的难度.

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