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圆第三节(下)

发布时间:2013-12-14 15:47:17  

一、圆与圆的位置关系

外离(图1)? 无交点 ? d?R?r;

外切(图2)? 有一个交点 ? d?R?r;

相交(图3)? 有两个交点 ? R?r?d?R?r;

内切(图4)? 有一个交点 ? d?R?r;

内含(图5)? 无交点 ? d?R?r;

图1

图2

图4

图5

外离:两圆没有公共点,一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离:

内含:两圆没有公共点,一个圆上所有的点都在另一个圆的内部

(相切):外切:两圆只有一个公共点,除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部 内切:两圆只有一个公共点,除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部

相交:两圆只有两个公共点。

设两圆的半径分别为r1、r2,圆心距(两圆圆心的距离)为d,则有两圆的位置关系,d与r1和r2之间的关系.

外离?d>r1+r2

外切?d=r1+r2

相交?│r1-r2│<d<r1+r2

内切?d=│r1-r2│

内含?0≤d<│r1-r2│(其中d=0,两圆同心)

例1.两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如图1所示(点O,O′是圆心),分隔两个肥皂泡的

肥皂膜PQ成一条直线,TP、NP分别为两圆的切线,求∠TPN的大小.

(1) (2)

解题思路:要求∠TPN,其实就是求∠OPO′的角度,很明显,∠POO′是正三角形,如图2所示. 解:∵PO=OO′=PO′ ∴△PO′O是一个等边三角形 ∴∠OPO′=60°

又∵TP与NP分别为两圆的切线,∴∠TPO=90°,∠NPO′=90°

∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°

例2.如图1所示,⊙O的半径为7cm,点A为⊙O外一点,OA=15cm,

求:(1)作⊙A与⊙O外切,并求⊙A的半径是多少?

(1) (2)

(2)作⊙A与⊙O相内切,并求出此时⊙A的半径.

解题思路:(1)作⊙A和⊙O外切,就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rO+rA;(?2)?作OA与⊙O相内切,就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA-rO.

解:如图2所示,(1)作法:以A为圆心,rA=15-7=8为半径作圆,则⊙A??的半径为8cm

(2)作法:以A点为圆心,rA′=15+7=22为半径作圆,则⊙A的半径为22cm

例3.如图所示,点A坐标为(0,3),OA半径为1,点B在x轴上.

(1)若点B坐标为(4,0),⊙B半径为3,试判断⊙A与⊙B位置关系;

(2)若⊙B过M(-2,0)且与⊙A相切,求B点坐标.

(1)AB=5>1+3,外离.

(2)设B(x,0)x≠-2,则

半径为│x+2│,

①设⊙B与⊙A

当x>-2,平方化简得:x=0符题意,∴B(0,0),

当x<-2

-x-1,化简得x=4>-2(舍),

②设⊙B与⊙A

1,

当x>-2

,得x=4>-2,∴B(4,0),

当x<-2

-x-3,得x=0,

二、正多边形和圆

正多边形的中心:所有对称轴的交点;

正多边形的半径:正多边形外接圆的半径。

正多边形的边心距:正多边形内切圆的半径。

正多边形的中心角:正多边形每一条边所对的圆心角。

正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形,每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。

(1)正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在Rt?

BOD中进行:OD:BD:OB?2;

(2)正四边形

同理,四边形的有关计算在Rt?

OAE中进行,OE:AE:OA?

(3)正六边形

同理,六边形的有关计算在Rt?

OAB中进行,AB:OB:OA?2.

例1.如图,已知正六边形ABCDEF,其外接圆的半径是a,?求正六边形的周长和面积.

解题思路:要求正六边形的周长,只要求AB的长,已知条件是外接圆半径,因此自然而然,边长应与半径挂上钩,很自然应连接OA,过O点作OM⊥AB垂于M,在Rt△AOM??中便可求得AM,又应用垂径定理可求得AB的长.正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的.

解:如图所示,由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于

从而正六边形的边长等于它的半径.

360?=60°,??△OBC是等边三角形,6

因此,所求的正六边形的周长为6a 在Rt△OAM中,OA=a,AM=

11AB=a 22

利用勾股定理,可得边心距

=

1

2

a

∴所求正六边形的面积=6×

3

11

×AB×OM=6×a=

22

2

2

例2.在直径为AB的半圆内,划出一块三角形区域,如图所示,使三角形的一边为AB,顶点C在半圆圆周上,其它两边分别为6和8,现要建造一个内接于△ABC??的矩形水池DEFN,其中D、E在AB上,如图24-94的设计方案是使AC=8,BC=6.

(1)求△ABC的边AB上的高h. (2)设DN=x,且

h?DNNF

,当x取何值时,水池DEFN的面积最大? ?

hAB

(3)实际施工时,发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树,问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在,为了保护大树,请设计出另外的方案,使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.

N

h

A

B

解题思路:要求矩形的面积最大,先要列出面积表达式,再考虑最值的求法,初中阶段,尤其现学的知识,应用配方法求最值.(3)的设计要有新意,?应用圆的对称性就能圆满解决此题.

AC?BC8?6

=4.8 ?

AB10

h?DNNF10(4.8?x)

(2)∵h=且DN=x ∴NF= ?

hAB4.810120252252

则S四边形DEFN=x·(4.8-x)=-x+10x=-(x-x)

4.8251212

256023600252

=- [(x-)-]=-(x-2.4)+12

6251225x

252522

∵-(x-2.4)≤0 ∴-(x-2.4)+12≤12 且当x=2.4时,取等号

xx

解:(1)由AB·CG=AC·BC得h= ∴当x=2.4时,SDEFN最大.

(3)当SDEFN最大时,x=2.4,此时,F为BC中点,在Rt△FEB中,EF=2.4,BF=3.

? ∵BM=1.85,∴BM>EB,即大树必位于欲修建的水池边上,应重新设计方案. ∵当x=2.4时,DE=5 ∴AD=3.2,

由圆的对称性知满足条件的另一设计方案,如图所示: AB www.czsx.com.c此时,?AC=6,BC=8,AD=1.8,BE=3.2,这样设计既满足条件,又避开大树.

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