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圆第四节(下)

发布时间:2013-12-14 15:47:18  

一、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形:(1)弧长公式:l?

n?R

; 180

O

l

n?R21

(2)扇形面积公式: S??lR

3602

n:圆心角 R:扇形多对应的圆的半径 l:扇形弧长 S:扇形面积

2、圆柱:

(1)圆柱侧面展开图

S表?S侧?2S底=2?rh?2?r2

D1C1

(2)圆柱的体积:V??r2h

(2)圆锥侧面展开图

(1)S表?S侧?S底=?Rr??r

2

1

(2)圆锥的体积:V??r2h

3

例1.操作与证明:如图所示,O是边长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够长,圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处,并将纸板绕O点旋转,求证:正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.

解题思路:如图所示,不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD?分别交于点M、N,连结OA、OD. ∵四边形ABCD是正方形

∴OA=OD,∠AOD=90°,∠MAO=∠NDO, 又∠MON=90°,∠AOM=∠DON ∴△AMO≌△DNO ∴AM=DN ∴AM+AN=DN+AN=AD=a

特别地,当点M与点A(点B)重合时,点N必与点D(点A)重合,此时AM+AN仍为定值a.故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.

例2.已知扇形的圆心角为120°,面积为300?cm2.

(1)求扇形的弧长;

(2)若将此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的轴截面面积为多少?

n?R2n?R 解题思路:(1)由S扇形=求出R,再代入L=求得.(2)若将此扇形卷成一个360180

圆锥,?扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长,就可求圆的半径,其截面是一个以底是直径,?圆锥母线为腰的等腰三角形.

解:(1)如图所示:

120?R2

∵300?= ∴R=30 360

∴弧长L=120???30=20?(cm) 180

(2)如图所示:

∵20?=20?r ∴r=10,

∴S轴截面=

=1×BC×AD 212×2×10×

(cm) 2

因此,扇形的弧长是20?cm卷成圆锥的轴截面是

cm2.

例1、如图,已知在⊙O中,AB=4,AC是⊙O的直径,AC⊥BD于F,∠A=30°.

(1)求图中阴影部分的面积;

(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.

解题思路:(1)法一:过O作OE⊥AB于E,则AE=1AB=23。 2

在Rt△AEO中,∠BAC=30°,cos30°=

AE∴OA=AE=cos30?22=4. 又∵OA=OB,∴∠ABO=30°.∴∠BOC=60°.

??CD?.∴∠COD =∠BOC=60°.∴∠BOD=120°. ∵AC⊥BD,∴BC

∴S阴影=nπ?OA=120π?42?16π.

360

360

3

2

法二:连结AD.

∵AC⊥BD,AC是直径,∴AC垂直平分BD。

??CD?。∴∠BAD=2∠BAC=60°,∴∠BOD=120°. ∴AB=AD,BF=FD,BC

∵BF=1AB=23,sin60°=AF, AF=AB〃sin60°=4×3=6。

2

AB2

∴OB2=BF2+OF2

.即2?(6?OB)2?OB2.∴OB=4.∴S阴影=1S圆=16π。

3

3

法三:连结BC.

∵AC为⊙O的直径, ∴∠ABC=90°。 ∵AB=4

,∴AC?AB??8

cos30?

∵∠A=30°, AC⊥BD, ∴∠BOC=60°,∴∠BOD=120°. ∴S

120π〃OA2=1×42〃π=16。 阴影=π

33360

以下同法一。

(2)设圆锥的底面圆的半径为r,则周长为2πr,∴2πr?

1204

π?4 ∴r?。 1803

?

例2.如图,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形.

(1)求这个扇形的面积(结果保留?).

(2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与 此扇形围成一个圆锥?请说明理由.

B

(3)当⊙O的半径R(R?0)为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由. 解题思路:(1)连接BC,由勾股定理求得:

n?R21AB?AC?S???

3602

B

(2)连接AO并延长,与弧BC和?O交于E,F,

EF?AF?AE?2弧BC

的长:l?n?R?

1802

?2?r? ? ?

圆锥的底面直径为:2r?

22

,?不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥. 2

n?R?

R 180?2?(3

)由勾股定理求得:AB?AC? 弧BC

的长:l?

?R 2

R 2?2?r??

圆锥的底面直径为:2r?

EF?AF?AE?2R?(2?

R

?2?且R?

0 2

R 2?(2?R?

即无论半径R为何值,EF?2r

? 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.

弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积

一、请准确填空(每小题3分,共24分)

1.两个同心圆的半径差为5,其中一个圆的周长为15π,则另一个圆的周长为_____.

2.已知a、b、c分别是正六边形的一边、最短对角线和最长对角线,则a∶b∶c为_____.

3.已知Rt△ABC,斜边AB=13 cm,以直线BC为轴旋转一周,得到一个侧面积为65π cm2的圆锥,则这个圆锥的高等于_____.

4.已知在同一平面内圆锥两母线在顶点最大的夹角为60°,母线长为8,则圆锥的侧面积为_____.

5.已知圆柱的底面半径长和母线长是方程4x2-11x+2=0的两个根,则该圆柱的侧面展开图的面积是_____.

6.圆内接正方形的一边切下的一部分的面积等于2π-4,则正方形的边长是_____,这个正方形的内切圆半径是_____.

7.要制造一个圆锥形的烟囱帽,如图1,使底面半径r与母线l的比r∶l=3∶4,那么在剪扇形铁皮时,圆心角应取_____.

8.将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中(如图2).设筷子露在杯

子外面的长为h cm,则h的取值范围是_____.

图1 图2

二、相信你的选择(每小题3分,共24分)

9.已知正三角形的边长为a,其内切圆的半径为r,外接圆的半径为R,则r∶a∶R等于

A.1∶2∶2 B.1∶2∶2 C.1∶2∶ D.1∶3∶2

、 、10.如图3,△ABC是正三角形,曲线ABCDEF?叫做“正三角形的渐开线”

,其中

 、?圆心依次按A、B、C循环,它们依次相连接,如果AB=1,那么曲线CDEF的长是

A.8π B.6π C.4π D.2π

11.如图4,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB、AC的夹角为120°,AB长为30 cm,贴纸部分BD长为20 cm,贴纸部分的面积为

A.800π cm2 B.500π cm2 C.800500π cm2 D.π cm2 33

和的长度12.已知如图5,两同心圆中大圆的半径OA、OB交小圆于C、D,OC∶CA=3∶2,则

比为

A.1∶1 B.3∶2 C.3∶5 D.9∶25

13.如图6,AB为半圆O的直径,C是半圆上一点,且∠COA=60°,设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3,则它们之间的关系是

A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3 C.S1<S3<S2 D.S3<S2<S1

FA

D

图4 图3 图5 图6

14.如图7中,正方形的边长都相等,其中阴影部分面积相等的有

(1) (2)

图7 (3) (4)

A.(1)(2)(3) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4)

15.如果圆锥的母线长为5 cm,底面半径为3 cm,那么圆锥的表面积为

A.39π cm2 B.30π cm2 C.24π cm2 D.15π cm2

16.一个圆台形物体的上底面积是下底面积的

1.如图8,放在桌面上,对桌面的压强是200 帕,翻过4

来放,对桌面的压强是

A.50帕

B.80帕 C.600帕 D.800帕

图8

三、考查你的基本功(共14分)

17.(6分)如图9,圆锥底面半径为r,母线长为3r,底面圆周上有一蚂蚁位于A点,它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点,请你给它指出一条爬行最短的路径,并求出最短路径

.

DE

B

图9

F

图10

18.(8分)如图10,等腰Rt△ABC中斜边AB=4,O是AB的中点,以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D、E,图中阴影部分的面积是多少?请你把它求出来.(结果用π表示)

19.(8分)铅球比赛要求运动员在一固定圆圈内投掷,推出的铅球必须落在40°角的扇形区域内(以投掷圈的中心为圆心).如果运动员最多可投7 m,那么这一比赛的安全区域的面积至少应是多少?(结果精确到0.1 m2)

20.(10分)如图11,有一直径是1 m的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形CAB. (1)被剪掉的阴影部分的面积是多少?

(2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径是多少?(结果可用根号表示

)

O

B

图11

图12

图13

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