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18.2.2 平行四边形的判定定理3

发布时间:2013-12-15 10:39:45  

.第18章 平行四边形

第2节 平行四边形的判定

第2课时 平行四边形的判定定理3

A 夯实基础练

一、选择题

1.能够判定四边形是平行四边形的条件是( )

A.一组对角相等 B.两条对角线互相垂直

C.两条对角线互相平分 D.一条邻角互补

2.如图所示 ,在四边形ABCD中,如果OA=OC,OB=OD,那么下列说法:①四边形是平行四边形;②△ABD≌△CDB;③AD=CD中,正确的有( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

3.(2013泸州)如图所示,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不判定这个四边形是平行四边形的是( )

A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC

C.AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,AD=

BC

4.(2013荆门)四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,给出下列四个条件:①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD。从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )○C

A.3种 B.4种 C.5种 D.6种

二、填空题

5.已知命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”,写出它的逆命题:______。

6.如图所示,将△ABC绕AC边的中点O旋转180后与原三角形拼成的四边形一定是_____形。 ?

1

7.如图所示,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,EF过点O,若OA=OC,OB=OD,则图中全等的三角形有___对。○C

三、解答题

8.在平面直角坐标系中,有A(0,1),B(-1,0),C(1,0),D(0,-1)四点坐标。试问四边形ABCD是否是平行四边形?为什么?

9.如图所示,?ABCD中,AC、BD相交于,且OE=OF,求证:AECF是平行四边形。

10.如图所示 ,已知AC∥DE且AC=DE,AD,CE交于点B,AF,DG分别是△ABC,△BDE的中线,求证四边形AGDF是平行四边形。

2

11.已知:如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于

点O,E、F是直线AC上的两点,并且AE=CF.求证:四边

形BFDE是平行四边形.

12.如图,在平行四边形ABCD中,点E是边AD的中点,BE的延长线与CD的延长线相交于点F.

(1)求证:△ABE≌△DFE;

(2)试连接BD、AF,判断四边形ABDF的形状,并证明你的结论.

3

B 培优综合练

1.在△ABC中,AB=7,AC=5,AD是边BC的中线,那么AD的取值范围是( )

A.0<AD<12 B.2<AD<12

C.0<AD<6 D.1<AD<6

2.如图所示,E、F是□ABCD对角线BD上的两点,请你添加一个适当的条件:_____,使四边形AECF是平行四边形。

3.如图所示,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,当E,F满足下列哪个条件时,四边形DEBF不一定是平行四边形( )

A.OE=OF B.DE=BF

C.∠ADE=∠CBF D.∠ABE=∠

CDF

4.如图所示,?AECF的对角线相交于点O,DB经过点O,分别与AE,CF交于B,D。求证:四边形ABCD是平行四边形。

5.如图所示,已知:Rt△ABC中,?ACB?90。

(1)尺规作图:作∠BAC的平分线AM交BC于点D(只保留作图痕迹,不写作法);

(2)在(1)所作图形中,将Rt△ABC沿某条直线折叠,使点A与点D重合,折痕EF交AC于点E,交AB于点F,连接DE、DF,再展回到原图形,得到四边形AEDF。 ? 4

①试说明四边形AEDF为平行四边形;

②若AB=10,BC=8,在折痕EF上有一动点P,求PC+PD的最小值。

C 拔尖拓展练

1.如图所示,在

BF的长度相等吗?

?ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AF=CE,?则线段DE?与

答案:

【A】1.C

2.C 点拨:根据已有的条件可以证明四边形ABCD是平行四边形,结合其性质可判断①②正确,③不一定成立。

3. D 点拨:本题考查平行四边形的常见判定方法,选项A根据定义可知四边形是平行四边形;选项B、C可根据平行四边形的判定定理得出结论,选项D中的条件不充分,不一定能证明四边形是平行四边形。

4.B 点拨:主要考查了平行四边形的判定,易出现漏解,共有以下四种选法:①②、③④、①③、①④,解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理。

5.平行四边形的对角线互相平分。

5

6.平行四边形 点拨:根据对角线互相平分的四边形是平行四边形加以判断。

7.6 点拨:易出现漏解而错解成4对或5对,应先根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形,再利用其性质加以判断。

8.解:四边形ABCD是平行四边形。理由是:在四边形ABCD中,OA=OC,OB=OD,所以四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的)

9.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,又∵OE=OF,∴是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)

10证明:∵AC∥ED,∴∠C=∠E,∠CAB=∠EDB,∵AC=DE,∴△ABC≌△DBE,∴AB=DE,CB=EB。∵AF,DG分别是△ABC,△BDE的中线,∴BG=BF,∴四边形AGDF是平行四边形。

点拨:本题是三角形全等与平行四边形的判定综合证明题,通过求四边形AGDF的对角线互相平分得到结论。

11.分析:平行四边形的判定方法有多种,选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些,本题所给的条件为AE=CF,根据条件在图形中的位置,可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决.

解:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA=OC,OB=OD.

又∵AE=CF,

∴OE=OF.

∴四边形BFDE是平行四边形

点拨:平行四边形的判定方法共有五种,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.

12.分析:(1)可用ASA证明△ABE≌△DFE;

(2)四边形ABDF是平行四边形,可用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明 解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CF.

∴∠1=∠2,∠3=∠4

∵E是AD的中点,

∴AE=DE.

∴△ABE≌△DFE.

(2)解:四边形ABDF是平行四边形.

∵△ABE≌△DFE,

∴AB=DF

又∵AB∥DF

∴四边形ABDF是平行四边形.

点拨:此题主要考查平行四边形的判定和全等三角形的判定.

熟练掌握性质定理和判定定理 6

是解题的关键.平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应,每种方法都对应着一种性质,在应用时应注意它们的区别与联系.

【B】1.D 点拨:利用转化思想,作CE∥AB,交AD的延长线与E,易证四边形ABEC是平行四边形,根据三角形的三边关系可知EC-AC<2AD<EC+AC。

2.BE=DF 点拨:答案不唯一,添加该条件后,可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出结论。

3.B 点拨:添加选项A可根据对角线互相平分得到四边形DEBF是平行四边形;添加选项C或D可通过证明三角形全等找到四边形DEBF是平行四边形。只有添加选项B,无法证明四边形DEBF是平行四边形。

4.证明:∵四边形AECF是平行四边形。∴OE=OF,OA=OC,AE∥CF,∴∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO,∴△F,∴OD=OB,∵OA=OC,∴四边形ABCDDO≌△EBO(AAS)

是平行四边形。点拨:本题是平行四边形的性质与判定的综合题,平行四边形的对角线互相平分,对角线互相平分的四边形是平行四边形。

5.解:(1)如答图所示。

(2)①由折叠可知,EF垂直平分AD于O点,又∵AD平分∠BAC,∴△AEO≌△AFO,OE=OF,∴四边形AEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)。②已知D点关于直线EF的对称点为A,AC与EF的交点E即为所求的P点,PC+PD的最小

值为CP?DP?CE?DE?CE?AE?AC??6。

点拨:本题考查了尺规作图的方法,折叠问题以及平行四边形的判定.解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后线段相等.

【C】

1.解:线段DE与BF的长度相等;连结BD交AC于O点,连结

DF,BE,

如图所示.在ABCD中,DO=OB,AO=OC,又∵AF=EC,

7

∴AF-AO=CE-OC,即OF=OE,∴四边形DEBF是平行四边形,∴DE=BF.

点拨:本题若用三角形全等,也可以解答,但过程复杂,学了平行四边形性质后,要学会应用.

地脚:

方法技巧:1.转化思想(B1)。

易错点:

1.漏解而出错(A4、A7)

8

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