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八上等腰、等边三角形

发布时间:2013-12-15 11:42:01  

斐斐课件园 http://www.ffkj.net 教育资源全免费 §14.3 等腰三角形

1.等腰三角形

知识要点

1.有两条边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边.两腰所夹的角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角.

?不等边三角形? 2.三角形按边分类:三角形??底边和腰不相等的等腰三角形

?等腰三角形?等边三角形(正三角形)??

3.等腰三角形是轴对称图形,其性质是:

性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)

性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

4.等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).

练习题

(第一课时)

一、选择题

1.等腰三角形的对称轴是( )

A.顶角的平分线 B.底边上的高

C.底边上的中线 D.底边上的高所在的直线

2.等腰三角形有两条边长为4cm和9cm,则该三角形的周长是( )

A.17cm B.22cm C.17cm或22cm D.18cm

3.等腰三角形的顶角是80°,则一腰上的高与底边的夹角是( )

A.40° B.50° C.60° D.30°

4.等腰三角形的一个外角是80°,则其底角是( )

A.100° B.100°或40° C.40° D.80°

5.如图,C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上,且AB=BC=CD=DE=EF,若∠A=18°,则∠GEF的度数是( )

AA.80° B.90° C.100° D.108°

G

E

C

AF EF

http://www.ffkj.net BDC

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二、填空题

6.等腰△ABC的底角是60°,则顶角是________度.

7.等腰三角形“三线合一”是指___________.

8.等腰三角形的顶角是n°,则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________.

9.如图,△ABC中AB=AC,EB=BD=DC=CF,∠A=40°,则∠EDF?的度数是_____.

10.△ABC中,AB=AC.点D在BC边上

(1)∵AD平分∠BAC,∴_______=________;________⊥_________;

(2)∵AD是中线,∴∠________=∠________;________⊥________;

(3)∵AD⊥BC,∴∠________=∠_______;_______=_______.

三、解答题

11.已知△ABC中AB=AC,AD⊥BC于D,若△ABC、△ABD的周长分别是20cm和16cm,?求AD的长.

12.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,求证:∠ABC=∠ADC.

A

BD

C

13.已知△ABC中AB=AC,点P是底边的中点,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D、E,? 求证:PD=PE.

四、探究题

14.如图,CD是△ABC的中线,且CD= 1AB,你知道∠ACB的度数是多少吗?由此你能得2

到一个什么结论?请叙述出来与你的同伴交流.

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A

C

答案:

1.D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.60

7.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 8.(90+

1

n)° 9.70° 10.略 11.6cm 2

12.连接BD,∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.∵CB=CD,∴∠CBD=∠CDB.∴∠ABC=∠ADC 13.连接AP,证明AP平分∠BAC.

14.∠ACB=90°.结论:若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形

练习题

(第二课时)

一、选择题

1.如图1,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=3cm,则CD等于( )

A.3cm B.4cm C.1.5cm D.2cm

A

ADCB

B

F

EA

D

E

F

B

(1) (2) (3)

2.△ABC中AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于D,则图中的等腰三角形有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.如图2,△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论:①△BDF和△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;?③△ADE的周长等于AB与AC的和;④BF=CF.其中正确的有( ) A.①②③ B.①②③④ C.①② D.①

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4.如图3,Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,角平分线AE交CD于H,EF⊥AB于F,则下列结论中不正确的是( )

A.∠ACD=∠B B.CH=CE=EF C.CH=HD D.AC=AF

二、填空题

5.△ABC中,∠A=65°,∠B=50°,则AB:BC=_________.

6.已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,要使AD?∥BC,?则△ABC?的边一定满足________.

7.△ABC中,∠C=∠B,D、E分别是AB、AC上的点,?AE=?2cm,?且DE?∥BC,?则AD=________.

8.一灯塔P在小岛A的北偏西25°,从小岛A沿正北方向前进30海里后到达小岛,?此时测得灯塔P在北偏西50°方向,则P与小岛B相距________.

三、解答题 A

9.如图,已知AB=AC,E、D分别在AB、AC上,BD与CE交于点

F,?且∠ABD=?∠ACE,

求证:BF=CF.

ED

F

B10.如图,△ABC中BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC

于F交BC于E,?

求证:△DBE是等腰三角形.

D

B

E

AFC

四、探究题

11.如图,AF是△ABC的角平分线,BD⊥AF交AF的延长线于D,DE∥AC?交AB于E, 求证:AE=BE.

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E

B

D

答案:

1.A 2.C 3.A 4.C 5.1 6.AB=AC 7.2cm 8.30海里

9.连接BC,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∵∠ABD=∠ACE,∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC 10.证明∠D=∠BED

11.证明∠EAD=∠EDA,∠EBD=∠EDB分别得到AE=DE,BE=DE

C

2.等边三角形

知识要点

1.三条边都相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形. 2.等边三角形的性质:?等边三角形的三个内角都相等,?并且每一个内角都等于60° 3.等边三角形的判定方法:(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

4.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

典型例题

例:如图,△ABC是边长为1的等边三角形,BD=CD,∠BDC=120°,E、F分别在AB、AC上,且∠EDF=60°,求△AEF的周长.

分析:由∠BDC=120°和∠EDF=60°得到∠BDE+∠CDF=60°,?从而想到把这两个角拼在一起构造全等三角形,即延长AC至点P,使CP=BE,证明△BDE≌CDP,然后证明△DEF≌△DPF,得到EF=PF,从而把△AEF的周长转化为用△ABC的边长表示.

解:延长AC至点P,使CP=BE,连接PD.

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∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=∠ACB=60°

∵BD=CD,∠BDC=120°

∴∠DBC=∠DCB=30° ∴∠EBD=∠DCF=90°

∴∠DCP=∠DBE=90°

?BD?CD? 在△BDE和△CDP中??DBE??DCP

?BE?CP?

∴△BDE≌△CDP(SAS)

∴DE=DP,∠BDE=∠CDP

∵∠BDC=120°,∠EDF=60°

∴∠BDE+∠CDF=60° ∴∠CDP+∠CDF=60°

∴∠EDF=∠PDF=60°

?DE?DP? 在△DEF≌△DPF中??EDF??PDF

?DF?DF?

∴△DEF≌△DPF(SAS) ∴EF=FP ∴EF=FC+BE

∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AB+AC=2

练习题

一、选择题

1.正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I,则∠BIC等于( )

A.60° B.90° C.120° D.150°

2.下列三角形:①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;?③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;?④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )

A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④

3.如图,D、E、F分别是等边△ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF?的形状是( )

A.等边三角形 B.腰和底边不相等的等腰三角形

C.直角三角形 D.不等边三角形

A

FD

B

http://www.ffkj.net ADB

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4.Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2cm,则AB的长度是( )

A.2cm B.4cm C.8cm D.16cm

5.如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则对△ADE的形状最准备的判断是( )

A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定形状

二、填空题

6.△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,则∠B=_______.

7.已知AD是等边△ABC的高,BE是AC边的中线,AD与BE交于点F,则∠AFE=______.

8.等边三角形是轴对称图形,它有______条对称轴,分别是_____________.

9.△ABC中,∠B=∠C=15°,AB=2cm,CD⊥AB交BA的延长线于点D,?则CD?的长度是_______.

三、解答题

10.已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点,且AE=BD,求BE与CD?的夹角是多少度?

11.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC?于点D,?求证:?BC=3AD.

A

BDC

12.如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE?都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于H,①求证:△BCE≌△ACD;②求证:CF=CH;③判断△CFH?的形状并说明理由.

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A

B

D

四、探究题

13.如图,点E是等边△ABC内一点,且EA=EB,△ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分∠DBC,求∠BDE的度数.(提示:连接CE)

A

D

答案:

1.C 2.D 3.A 4.C 5.B 6.60° 7.60° 8.三;三边的垂直平分线 9.1cm 10.60°或120° 11.∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,

∴在Rt△ADC中CD=?2AD,?

∵∠BAC=120°,∴∠BAD=120°-90°=30°, ∴∠B=∠BAD,∴AD=BD,∴BC=3AD

12.①∵∠ACB=∠DCE=60°,∴∠BCE=∠ACD.

又∵BC=AC,CE=CD,∴△BCE≌△ACD; ②证明△BCF≌△ACH; ③△CFH是等边三角形.

13.连接CE,先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°,

再证明△BDE?≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°

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