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解分式方程

发布时间:2013-12-15 11:42:07  

1、什么是方程? 含有未知数的等式叫做方程 2、解方程 2x ? 1 3x ? 1 11 ? ? 3 2 6 解 :2(2x ? 1)? 3(3x ? 1)? 11

去分母 去括号 移项变号

4x ? 2 ? 9x ? 3 ? 11 4x ? 9x ? 11 - 3 ? 2 ? 5x ? 10 x ? -2

合并同类项
系数化1

情景引入: 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江最大航 速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千 米所用时间相等,江水的水流速度为多少? 分析: 设江水的水流速度为v千米/时,

(20+v) 轮船顺流航行的速度为_________千米/时,
(20-v) 逆流航行的速度为_________千米/时,

100 20 ? v 顺流航行100千米所用时间为__________小时,
60 20 ? v 逆流航行60千米所用时间为__________小时.

情景引入: 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江最大航 速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千 米所用时间相等,江水的水流速度为多少? 等量关系: 顺流航行100千米所用时间=逆流航行60千米所用时间 列方程得:

100 60 ? 20 ? v 20 ? v

观察方程特征

分式方程
1、概念:分母中含有未知数的方程,叫做分式方程.
2、重要特征:①是等式 ②分母中含有未知数

3、与整式方程的区别:
整式方程的分母中不含有未知数 分式方程的分母中含有未知数

下列方程中哪些是分式方程?为什么?
1 (1)? ? 5? ? x 1 (3)? ? x ? ? 0 x 3 4 3 (5) ? ?7 x y
2

2 1 ( ? ? 2)? ? x?2 x x (4)? ? 1? ? 5 1 2 2 (6)? x ? ? 1 ? 2 x

如何解此分式方程?

100 60 ? 20 ? v 20 ? v
思路: 分式方程 方法: 去分母 整式分程去分母 2x ? 1 3x ? 1 11 ? ? 3 2 6 解 :2(2x ? 1)? 3(3x ? 1)? 11 方程两边同时乘以各分母 的最小公倍数 分式分程去分母
100 60 ? 20 ? v 20 ? v
转化

整式方程

方程两边同时乘以各分母 的最简公分母

100 60 ? 20 ? v 20 ? v
解 :方程两边同时乘以 ? v)(20? v), (20 得
100(20? v)? 60(20? v)
解得

v?5
检验: 将v=5代入原方程中,左边=4=右边, 因此v=5是原分式方程的解

答:江水的水流速度是5千米/时.

归纳:解分式方程的基本思路是 将分式方程化为整式方程 ,具体做法是 “去分母” ,即方程左右两边 同乘最简公分母 ,然后解方程即可.

1 10 ? 2 x ? 5 x ? 25
解 :方程两边同时乘以 x ? 5)(x ? 5),得 ( x ? 5 ? 10
解得

x?5

将x=5代入原方程检验,发现此时分母x-5和x2 25的值都为0,相应的分式无意义. 所以, x=5只是去分母后所得的整式方程x+5=10的解,而不 是原分式方程的解.因此,原分式方程无解.

100 60 为什么 去分母后所得的整式方程就是原分式 ? 20 ? v 20 ? v 1 10 去分母后所得整式方程的解却不 方程的解,而 ? 2 x ? 25 x ?5
是原分式方程的解呢

?问题出在哪一步呢? 解析: 问题出在第一步:去分母.根据方程的同解原理,方程两边同乘(或 同除以)一个不为0的数(或式),所得的方程是原方程的同解方程.而在分 式方程去分母时,方程两边同时乘以的是最简公分母,是含有未知数的式 子,并不能保证它不为0.

如果方程的解令最简公分母不为0,则去分母后所得的整式 方程与原分式方程同解;如果方程的解令最简公分母为0,则去分 母后所得的整式方程与原分式方程不是同解方程,即所得的解只 是整式方程的解,而不是原分式方程的解.

关于增根:
1、方程变形时,可能产生不适合原方程的根,这 种根叫做原方程的增根.在分式方程中,使最简公 分母为0的根是原方程的增根. 2、产生增根的步骤:去分母 3、增根必须满足的两个条件:

①是原方程去分母后所得的整式方程的解
②使原分式方程的最简公分母的值为0 4、解分式方程一定要验根,不只是检查解方程过 程中是否出现错误,也是为了检验是否出现增根

解分式方程的一般步骤:
1、去分母: 化分式方程为整式方程

方法: 方程两边同时乘以各分母的最简公分母 2、解整式方程

3、验根 方法:将方程的解代入最简公分母,若最简公分母不等 于0,则此解是原分式方程的解;若最简公分母等于0,则 此解不是原分式方程的解,原分式方程无解

2 3 例1、解方程 ? x ?3 x
解 :方程两边同时乘以x x - 3),得 (
2x ? 3x ? 9
解得

x?9
检验: x ? 9时, x(x - 3)? 0,x ? 9是原分式方程的解.

x 3 例2、解方程 ?1 ? x ?1 (x - 1)(x? 2)
解 :方程两边同时乘以 x - 1) x ? 2),得 ( (
x(x ? 2)?(x ? 1)(x ? 2)? 3
整理得 解得 检验:

x?2?3

易错点1:去分母时, 漏乘整式项

x ?1

x ? 1时, - 1)(x ? 2)? 0,x ? 1不是原分式 (x 方程的解, 原分式方程无解.

易错点2:不检验, 错把增根当成解

解:方程变形为 1 1 6-x - ? - x-2 x-2 3(x ? 2)(x-2)

1 1 6?x 例3、解方程 ? ? 2 2 ? x x ? 2 3x ? 12
过程提示:当分母 为可分解因式的多 项式时,先将其进 行因式分解

方程两边同时乘以3(x ? 2)(x-2), 得
-3(x? 2) 3(x ? 2)-(6-x) ?
整理得 解得

6 6 检验: x ?- 时,3(x+2)(x -2)? 0,x ?- 是原分式 7 7 方程的解

7x ? 6 ? 0 6 x ?- 7

易错点3:忽略 分数线的括号 作用

归纳:解分式方程的步骤及易错点:
去分母前:当分母为可分解因式的多项式时,先将其进行因式分解

1、去分母: 化分式方程为整式方程
方法:方程两边同时乘以各分母的最简 公分母

易错点:去分母时, 漏乘整式项;忽略分 数线的括号作用

2、解整式方程 3、验根
方法:将方程的解代入最简公分母,若最 简公分母不等于0,则此解是原分式方程 的解;

若最简公分母等于0,则此解不是 原分式方程的解,原分式方程无解

易错点:不检验, 错把增根当成解

2 4 1、 ? 2 ?0 x-1 x -1
2x 2 2、 - ?1 2x-5 2x ? 5
x-2 2x ? 13 3、 ? 3- 2 x ?3 x ?9
2

x ?1 m2 例4、若关于x的方程 ? 有增根,试求m的值 x ? 3 2x ? 6

解 :因为增根必使2x? 6 ? 0,所以增根必为x? 3
在原方程两边同时乘以 ? 3), 2(x 去分母, :2(x ? 1)? m 2 得
依题意知, ? 3是整式方程2(x? 1)? m 的解, x
2

所以2(3? 1)? m 2 ,则m ? ?2
解析:增根满足的两个条件: ①是原方程去分母后所得的整式方程的解 ②使原分式方程的最简公分母的值为0

x?a 3 例5、当a为何值时, 关于x的分式方程 ? ? 1无解? x ?1 x
解 :在原方程两边同时乘以 ? 1), x(x 去分母, 整理得 : ? 2)x ? 3 (a
无解
必为增根, 即令x(x- 1)? 0, 又由整式方程有解知x? 0, 所以增根必为x? 1,将x ? 1代入整式方程得a? 1

(1)当a? 2 ? 0时, ? ?2时, 即a 整式方程无解, 原分式方程

(2)当整式方程有解 由题知原分式方程无解则此解 时, ,

综上所述, ? -2或a ? 1时,原方程无解. a

分式方程的增根与无解问题:
1、分式方程有增根,即去分母后所得的整式方程 有解,此解令分式方程的最简公分母为0 2、分式方程无解有两种情况: ①是去分母后所得的整式方程无解 ②是去分母后所得的整式方程有解,此解是原分式

方程的增根

2 m 若分式方程 ?1? 有增根,求m x-3 3?x

本堂课学到的知识 1、分式方程的概念 2、分式方程的解法
?基本思路 : 化分式方程为整式方程 ? ?具体方法 : 去分母 ?必要步骤 : 验根 ?

3、增根及增根满足的条件 4、分式方程的增根与无解问题: 本堂课数学思想 化归、分类讨论

解关于x的方程: m n - ? 0(m ? n,mn ? 0) x x ?1

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