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一元二次方程的近似解与连分数

发布时间:2013-12-15 13:36:04  

一元二次方程的近似解与连分数

教科书上选取了一些具体值并将它们代入所要解的一元二次方程,大致估计出一元二次方程解的范围,再在这个范围内逐步加细赋值,进而逐步估计出一元二次方程的近似解.

下面介绍另外一种估计一元二次方程近似解的方法.

1以方程x2-3x-1=0为例,因为x≠0,所以先将其变形为x=3+.用 x

13+代替x,得 x

x=3+1=3+x113+x

1反复若干次用3+代替x,就得到 x

x=3+

3+

3+

3+

3+11111

13+x

形如上式右边的式子称为连分数.

1对整个式子的值的影响x

11将越来越小.因此可以根据需要,在适当时候把忽略不计.例如,当忽略x=3+xx可以猜想,随着替代次数的不断增加,右式最后的

1中的时,就得到x=3;当忽略x=3+x13+1

x中的11时,就得到x=3+;如此x3

等等.于是就可以得到一系列分数:

13,3+,3+3113+3,3+3+11

3+1

3,?

3,1033109=3.333?,=3.3,=3.30303?, 31033

可以发现它们越来越趋于稳定.事实上,这些数越来越近似于方程x2-3x-1=0的正根,而且它的算法也很简单,就是以3为第一个近似值,然后不断地“求倒数,再加3”而已.在计算机技术极为发达的今天,只要编一个极为简单的程序,计算机就能很快帮你算出它的多个近似值.有兴趣的同学不妨试一试!

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