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二元一次方程组应用题的常见类型分析

发布时间:2013-12-15 14:37:26  

二元一次方程组应用探索

二元一次方程组是最简单的方程组,其应用广泛,尤其是生活、生产实践中的许多问题,大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决,现将常见的几种题型归纳如下:

一、数字问题

例1 一个两位数,比它十位上的数与个位上的数的和大9;如果交换十位上的数与个位上的数,所得两位数比原两位数大27,求这个两位数.

二、利润问题

例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%;如果打八折出售可以盈利10元,问此商品的定价是多少?

分析:商品的利润涉及到进价、定价和卖出价,因此,设此商品的定价为x元,进价为y元,则打九折时的卖出价为0.9x元,获利(0.9x-y)元,因此得方程0.9x-y=20%y;打八折时的卖出价为0.8x元,获利(0.8x-y)元,可得方程0.8x-y=10.

解方程组??0.9x?y?20%y?x?200,解得?, 0.8x?y?10y?150??

因此,此商品定价为200元.

点评:商品销售盈利百分数是相对于进价而言的,不要误为是相对于定价或卖出价.利润的计算一般有两种方法,一是:利润=卖出价-进价;二是:利润=进价×利润率(盈利百分数).特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念.

三、配套问题

例3 某厂共有120名生产工人,每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个,如果一个螺栓与两个螺母配成一套,那么每天安排多名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每天生产出来的产品配成最多套?

分析:要使生产出来的产品配成最多套,只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套,根据

2=每天生产的螺母数×1.题意,每天生产的螺栓与螺母应满足关系式:每天生产的螺栓数×因

此,设安排x人生产螺栓,y人生产螺母,则每天可生产螺栓25x个,螺母20y个,依题意,得

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?x?y?120?x?20,解之,得?. ?50x?2?20y?1y?100??

故应安排20人生产螺栓,100人生产螺母.

点评:产品配套是工厂生产中基本原则之一,如何分配生产力,使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题,解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系,其中两种最常见的配套问题的等量关系是:

(1)“二合一”问题:如果a件甲产品和b件乙产品配成一套,那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍,即甲产品数乙产品数; ?ab

(2)“三合一”问题:如果甲产品a件,乙产品b件,丙产品c件配成一套,那么各种产品数应满足的相等关系式是:

四、行程问题

例4 在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站,A到B的距离为120千米,B到C的距离也是120千米.C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时分别在A、

以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场,正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令

C两个加油站驶去,后立即以相同的速度分别往A、结果往B站驶来的团伙在1小时后就被

其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住,而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上.问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少?

【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时,则 甲产品数乙产品数丙产品数. ??abc

??x?y?40?x?80?3?x?y??120,整理,得,解得, ???x?y?120y?40????x?y?120

因此,巡逻车的速度是80千米/时,犯罪团伙的车的速度是40千米/时.

点评:“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型,在这两种题型中都存

在着一个相等关系,这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间,具体表现在:

“相向而遇”时,两者所走的路程之和等于它们原来的距离;

“同向追及”时,快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离.

五、货运问题

典例5 某船的载重量为300吨,容积为1200立方米,现有甲、乙两种货物要运,其中甲种货物每吨体积为6立方米,乙种货物每吨的体积为2立方米,要充分利用这艘船的载重

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和容积,甲、乙两重货物应各装多少吨?

分析:“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”.设甲种货物装x吨,乙种货物装y吨,则

?x?y?300?x?y?300?x?150,整理,得?,解得?, ?6x?2y?12003x?y?600y?150???

因此,甲、乙两重货物应各装150吨.

点评:由实际问题列出的方程组一般都可以再化简,因此,解实际问题的方程组时要注意先化简,再考虑消元和解法,这样可以减少计算量,增加准确度.化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等.

六、工程问题

例6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务,要求在规定期限内完成,按照这个服装厂原来的生产能力,每天可生产这种服装150套,按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的4;现在工厂改进了人员组织结构和生产流程,每天可生产这种工作服2005

套,这样不仅比规定时间少用1天,而且比订货量多生产25套,求订做的工作服是几套?要求的期限是几天?

分析:设订做的工作服是x套,要求的期限是y天,依题意,得

4?150y?x?x?3375?5. ,解得??y?18??200?y?1??x?25?

点评:工程问题与行程问题相类似,关键要抓好三个基本量的关系,即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率,工作效率=工作量÷工作时间”.其次注意当题目与工作量大小、多少无关时,通常用“1”表示总工作量.

《二元一次方程组实际问题》赏析

【知识链接】

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步,即:

(1)审:通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数,并用字母表

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示其中的两个未知数;

(2)找:找出能够表示题意两个相等关系;

(3)列:根据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组;

(4)解:解这个方程组,求出两个未知数的值;

(5)答:在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上,写出答案.

【典题精析】

例1(2006年南京市)某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为6元/辆,小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车,这些车共缴纳停车费230元,问中、小型汽车各有多少辆?

解析:设中型汽车有x辆,小型汽车有y辆.由题意,得

?x?y?50, ?6x?4y?230.?

解得,??x?15, ?y?35.

故中型汽车有15辆,小型汽车有35辆.

例2(2006年四川省眉山市)某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示:

现在该公司收购了140吨蔬菜,已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨(两种加工不能同时进行).

(1)如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜,请完成下列表格:

(2)如果先进行精加工,然后进行粗加工,要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜,则应如何分配加工时间?

解:(1)全部直接销售获利为:100×140=14000(元);

全部粗加工后销售获利为:250×140=35000(元);

尽量精加工,剩余部分直接销售获利为:450×(6×18)+100×(140-6×18)=51800(元).

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(2)设应安排x天进行精加工, y天进行粗加工.

由题意,得??x?y?15, ?6x?16y?140.

?x?10,解得,? y?5.?

故应安排10天进行精加工,5天进行粗加工.

【跟踪练习】

为满足市民对优质教育的需求,某中学决定改变办学条件,计划拆除一部分旧校舍,建造新校舍,拆除旧校舍每平方米需80元,建新校舍每平方米需700元. 计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米,在实施中为扩大绿地面积,新建校舍只完成了计划的80%,而拆除旧校舍则超过了计划的10%,结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.

(1)求:原计划拆、建面积各是多少平方米?

(2)若绿化1平方米需200元,那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米?

答案:(1)原计划拆、建面积各是4800平方米、2400平方米;

(2)可绿化面积为1488平方米.

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