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专题十二(解直角三角形)

发布时间:2013-12-15 14:37:28  

专题十二 解直角三角形

利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形,解直角三角形有以下两方面的应用:

1.为线段、角的计算提供新的途径.

解直角三角形的基础是三角函数的概念,三角函数使直角三角形的边与角得以转化,突破纯粹几何关系的局限.

2.解实际问题.

测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题,许多问题可转化为解直角三角形获解,解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上,准确把实际问题抽象为几何图形,进而转化为解直角三角形.

【例题求解】

【例1】 如图,已知电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上,如果CD与地面成45°,∠A=60°,CD=4m,BC=(46?22)m,则电线杆AB的长为

思路点拨 延长AD交BC于E,作DF⊥BC于F,为解直角三角形创造条件.

【例2】 如图,在四边形ABCD中,AB=4?2,BC-1,CD=3,∠B=135°,∠C=90°,则∠D等于( )

A.60° B.67.5° C.75° D.无法确定

思路点拨 通过对内分割或向外补形,构造直角三角形.

注:因直角三角形元素之间有很多关系,故用已知元素与未知元素的途径常不惟一,选择怎样的途径最有效、最合理呢?请记住:有斜用弦,无斜用切,宁乘勿除.

在没有直角的条件下,常通过作垂线构造直角三角形;在解由多个直角三角形组合而成的问题时,往往先解已具备条件的直角三角形,使得求解的直角三角形最终可解.

【例3】 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,BC=l,D为BC边上一点,

tan

∠ADC是方程3(x2?1)?5(x?)?2的一个较大的根?求CD的长. 2xx1

思路点拨 解方程求出 tan∠ADC的值,解Rt△ABC求出AC值,为解Rt△ADC创造条件.

【例4】 如图,自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD,AB=3米,BC=0.5米 ,车厢底部距离地面1.2米,卸货时,车厢倾斜的角度θ=60°.问此时车厢的最高点A距离地面多少米?(精确到1米)

思路点拨 作辅助线将问题转化为解直角三角形,怎样作辅助线构造基本图形,展开空间想象,就能得到不同的解题寻路

【例5】 如图,甲楼楼高16米,乙楼坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°,此时,求:

(1)如果两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?

(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是多少米?

思路点拨 (1)设甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处,则图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高;(2)设点A的影子落在地面上某一点C,求BC即可.

注:在解决一个数学问题后,不能只满足求出问题的答案,同时还应对解题过程进行多方面分析和考察,思考一下有没有多种解题途径,每种途径各有什么优点与缺陷,哪一条途径更合理、更简捷,从中又能给我们带来怎样的启迪等. 若能养成这种良好的思考问题的习惯,则可逐步培养和提高我们分析探索能力.

学历训练

1.如图,在△ABC中,∠A=30°,tanB=,BC=,则AB的长为 .

2.如图,在矩形ABCD中.E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点,若tan∠AEH =4,四边形EFGH的周长为40cm,则矩形ABCD的面积为 . 313

3.如图,旗杆AB,在C处测得旗杆顶A的仰角为30°,向旗杆前北进10m,达到D,在D处测得A的仰角为45°,则旗杆的高为.

4.上午9时,一条船从A处出发,以每小时40海里的速度向正东方向航行,9时30分到达B处,从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向,那么B处船与小岛M的距离为( )

A.20海里 B.20海里 C.15海里 D.3

5.已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边,若关于x的方程(b?c)x2?2ax?c?b?0

有两个相等的实根,且sinB·cosA—cosB·sinA=0,则△ABC的形状为( )

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

6.如图,在四边形ABCD中,∠A=135°,∠B=∠D=90°,BC=23,AD=2,则四边形ABCD的面积是( )

A.42 B.4 C. 4 D.6

7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CD=1,已知AD、BD的长是关于x的方程x2?px?q?0的两根,且tanA—tanB=2,求p、q的值.

8.如图,某电信部门计划修建一条连结B、C两地的电缆,测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°,在B地测得C地的仰角为60°.已知C地比A地高200米,则电缆BC至少长多少米?(精确到0.1米)

9.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,∠CBD=30,则AD DC

10.如图,正方形ABCD中,N是DC的中点.M是AD上异于D的点,且∠NMB=∠MBC,则tan∠ABM= .

11.在△ABC中,AB=?2,BC=2,△ABC的面积为l,若∠B是锐角,则∠C的度数是 .

12.已知等腰三角形的三边长为 a、b、c,且a?c,若关于x的一元二次方程x2?2bx?c?0的两根之差为2,则等腰三角形的一个底角是( )

A. 15° B.30° C.45° D.60°

13.如图,△ABC为等腰直角三角形,若AD=AC,CE=BC,则∠1和∠2的大小关系是( )

A.∠1>∠2 B.∠1<∠2 C.∠1=∠2 D.无法确定

14.如图,在正方形ABCD中,F是CD上一点,AE⊥AF,点E在CB的延长线上,EF交AB于点G.

(1)求证:DF×FC=BG×EC;

(2)当tan∠DAF=时,△AEF的面积为10,问当tan∠DAF=1

32时,△AEF的面积是多少? 31313

15.在一个三角形中,有一边边长为16,这条边上的中线和高线长度分别为10和9,求三角形中此边所对的角的正切值.(能力题)

16.台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力.据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20

千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正在以

15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C处移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或超过四级,则称为受台风影响.

(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.

(2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?

(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?

17.如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物ABCD,且建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得,从A、D、C三点可看到塔顶端H.可供使用的测量工具有皮尺、测角器.

(1)请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物,设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案.具体要求如下:

①测量数据尽可能少;

②在所给图形上,画出你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离,用m表示;如果测D、C间距离,用n表示;如果测角,用α、β、γ等表示.测角器高度不计).

(2)根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度HG(用字母表示).

课外拓展:动脑证明

1.正弦定理: 得abc ??sinAsinBsinC

222b2?c2?a22.余弦定理:a=b+c-2bccosA, cosA?; 2bc

证明:如图ΔABC中, CH?bsinA,AH?bcosA,BH?c?bcosA

a2?CH2?BH2?b2sin2A?(c?bcosA)2

?b?c?2bccosA

当A、B是钝角时,类似可证。

22 B

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